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清单04 直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系 -2023-2024学年高二数学上学期期末常考题型+易错题（苏教版）
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【考点分布图】
【知识清单】
1、直线与圆的位置关系：
（1）直线与圆相交，有两个公共点；
（2）直线与圆相切，只有一个公共点；
（3）直线与圆相离，没有公共点．
2、直线与圆的位置关系的判定：
（1）代数法：
判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线与圆C有公共点．
有两组实数解时，直线与圆C相交；
有一组实数解时，直线与圆C相切；
无实数解时，直线与圆C相离．
（2）几何法：
由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断：
当时，直线与圆C相交；
当时，直线与圆C相切；
当时，直线与圆C相离．
3、圆的切线方程的求法
（1）点在圆上，如图．
法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于，即．
法二：圆心到直线的距离等于半径．
（2）点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出．
诠释：
因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．
常见圆的切线方程：
（1）过圆上一点的切线方程是；
（2）过圆上一点的切线方程是
．
4、求直线被圆截得的弦长的方法
（1）应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法．
（2）利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．
（3）利用弦长公式：设直线，与圆的两交点，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：=．
5、圆与圆的位置关系：
（1）圆与圆相交，有两个公共点；
（2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点；
（3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点．
6、圆与圆的位置关系的判定：
（1）代数法：
判断两圆的方程组成的方程组是否有解．
有两组不同的实数解时，两圆相交；
有一组实数解时，两圆相切；
方程组无解时，两圆相离．
（2）几何法：
设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为．
当时，两圆相交；
当时，两圆外切；
当时，两圆外离；
当时，两圆内切；
当时，两圆内含．
7、两圆公共弦长的求法有两种：
方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长．
方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．
8、两圆公切线的条数
与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．
（1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条；
（2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条；
（3）两圆相交时，只有2条外公切线；
（4）两圆内切时，只有1条外公切线；
（5）两圆内含时，无公切线．
9、圆系方程
（1）过直线与圆的交点的圆系方程是
（2）以为圆心的同心圆系方程是：；
（3）与圆同心的圆系方程是；
（4）过同一定点的圆系方程是．
【考点精讲】
考点1：直线与圆的位置关系
例1．（2023·黑龙江哈尔滨·高二黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学校考期中）已知，则圆与直线的位置关系是（ ）
A．相切B．相交C．相离D．不确定
例2．（2023·山西太原·高二统考期中）已知直线，圆，则直线l与圆C的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不确定
例3．（2023·河北石家庄·高二石家庄二中校考期中）已知，则圆与直线的位置关系是（ ）
A．相切B．相交C．相离D．不确定
例4．（2023·江苏无锡·高二校联考期中）若直线与曲线恰有一个公共点，则b的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例5．（2023·河南商丘·高二商丘市第一高级中学校联考期中）方程有两相异实根，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例6．（2023·河南信阳·高二统考期中）已知直线l：与圆C：，点，则下列说法不正确的是（ ）
A．若直线l与圆C相切，则B．若，则直线l与圆C相离
C．若，则直线l与圆C相交D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
考点2：直线与圆相交的性质——韦达定理及应用
例7．（2023·江苏苏州·高二苏州中学校考期中）如图，圆与x轴交于A、B两点，动直线：与x轴、y轴分别交于点E、F，与圆交于C、D两点．
(1)求中点M的轨迹方程；
(2)设直线、的斜率分别为、，是否存在实数k使得？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
例8．（2023·云南昆明·高一校考期中）已知圆C：
(1)证明：圆C恒过两个点．
(2)当时，若过点的直线l与圆C交于M，N两点，且，求直线l的斜率．
例9．（2023·广东东莞·高二校联考期中）已知直线：与圆：相交于，不同两点.
(1)求的范围；
(2)设是圆上的一动点（异于，），为坐标原点，若，求面积的最大值.
例10．（2023·山东烟台·高二校联考期中）已知点，，动点P满足，设P的轨迹为C．
(1)求C的轨迹方程；
(2)若过点A的直线与C交于M，N两点，求取值范围．
例11．（2023·甘肃甘南·高二校考期中）已知圆过点，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为.
(1)求圆的方程；
(2)若为圆上两个不同的点，为坐标原点，设直线的斜率分别为，当时，求的斜率的取值范围.
例12．（2023·浙江嘉兴·高二校考期中）已知圆，过点的直线与交于点，，且.
(1)求圆的圆心坐标和半径：
(2)求的方程；
(3)设为坐标原点，求的值.
例13．（2023·湖北·高二荆州中学校联考期中）已知圆的半径为2，圆心在轴正半轴上，直线与圆相切．
(1)求圆的方程；
(2)若过点的直线与圆交于不同的两点，，且，为坐标原点，求直线的方程．
考点3：切线问题
例14．（2023·江苏盐城·高二校考期中）圆在点处切线的一般式方程为 ．
例15．（2023·广东东莞·高二校考期中）以圆上一点为切点的切线的一般式方程为 .
例16．（2023·浙江·高二校联考期中）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则 .
例17．（2023·甘肃武威·高二天祝藏族自治县第一中学校联考期中）过点且与圆C：相切的直线方程为 ．
例18．（2023·河南南阳·高二社旗县第一高级中学校联考期中）已知圆：，圆：，过圆上的一点P作圆的一条切线，切点为A，且，则实数m的取值范围是 .
例19．（2023·江苏淮安·高二校考阶段练习）过圆外一直线上一动点P作圆的切线，则切线长最小值为
例20．（2023·四川遂宁·高二四川省蓬溪中学校校考期中）已知圆的圆心在直线上，且与直线和轴都相切，则圆的方程为 .
考点4：切点弦问题
例21．（2023·河北·高二校联考期中）过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为 ．
例22．（2023·安徽宣城·高三统考期末）过点作圆的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB方程是 .
例23．（2023·安徽芜湖·高二期末）在平面直角坐标系中，过点，向圆C：引两条切线，切点分别为，则直线过定点 ．
例24．（2023·全国·模拟预测）过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则直线过定点 .
例25．（2023·广东·高三校联考开学考试）过点作圆的两条切线，切点分别为 、，则直线的方程为 ．
例26．（2023·湖南益阳·统考一模）已知直线，若P为l上的动点，过点P作的切线，切点为A、B，当最小时，直线的方程为 .
考点5：弦长问题
例27．（2023·广东东莞·高二校联考期中）已知圆，直线，直线l被圆C截得的弦长为
例28．（2023·广东江门·高二台山市第一中学校考期中）已知直线与圆交于A、B两点，若面积为，则m的值为 ．
例29．（2023·广东东莞·高二校考期中）直线与圆相交于两点，则的最小值为 .
例30．（2023·安徽宿州·高二校联考期中）已知直线及直线截圆所得的弦长均为8，则圆的半径是 ．
例31．（2023·广东东莞·高二东莞市东华高级中学校考期中）已知直线被圆截得的弦长为2，则的值为 .
例32．（2023·江苏无锡·高二校联考期中）已知圆：，过点的直线被圆截得的弦长为4，则直线的方程为
考点6：面积问题
例33．（2023·湖北黄冈·高二校联考期中）过直线上一点作圆：的两条切线，切点分别为，，则四边形的面积的最小值为 .
例34．（2023·云南昆明·高三昆明市第三中学校考阶段练习）在圆内，过点的最长弦和最短弦分别是和，则四边形的面积为（ ）
A．B．C．D．
例35．（2023·广东佛山·高二佛山一中校考期中）已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形面积为（ ）
A．B．C．D．
例36．（2023·四川成都·高二校考期中）过点引直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率等于（ ）
A．B．C．D．
例37．（2023·浙江·高二期末）已知圆，圆，若圆的切线交圆于、两点，则面积的取值范围是
A．B．C．D．
例38．（2023·福建莆田·高二校考期中）已知，为圆：的两条互相垂直的弦，且垂足为，则四边形ABCD面积的最大值为（ ）
A．4B．5C．8D．10
例39．（2023·北京·高二北京铁路二中校考期中）直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例40．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知圆，点为直线上的一个动点，是圆的两条切线，，是切点，当四边形（点为坐标原点）面积最小时，直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
考点7：直线与圆中的定点定值问题
例41．（2023·安徽合肥·高二合肥一中校联考期中）已知点，，动点满足，设动点的轨迹为曲线，过曲线与轴的负半轴的交点作两条直线分别交曲线于点（异于），且直线，的斜率之积为.
(1)求曲线的方程；
(2)证明：直线过定点.
例42．（2023·安徽合肥·高二合肥一中校联考期中）已知圆过，两点，且圆心在直线上.
(1)求圆的方程；
(2)设直线与圆交于A，两点，在直线上是否存在定点，使得直线，的倾斜角互补？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
例43．（2023·北京·高二北京十五中校考期中）已知点，圆．
(1)求圆过点的切线方程；
(2)为圆与轴正半轴的交点，过点作直线与圆交于两点、，设、的斜率分别为、，求证：为定值．
例44．（2023·河南南阳·高二统考期中）已知圆．
(1)证明：圆过定点．
(2)当时，是否存在斜率为的直线交圆于、两点，使得以为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．
例45．（2023·安徽马鞍山·高二统考期中）平面直角坐标系中，直线，圆：，圆与圆关于直线对称，是直线上的动点．
(1)求圆的标准方程；
(2)过点引圆的两条切线，切点分别为，设线段的中点是，是否存在定点，使得为定值，若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．
例46．（2023·河北唐山·高二校联考期中）已知圆，过圆上一点作直线分别与圆交于两点，设直线的斜率为．
(1)若圆的切线在轴和轴上的截距相等，求切线方程；
(2)若，求证：直线恒过定点．
例47．（2023·浙江宁波·高二校联考期中）已知圆O的方程为，与x轴的正半轴交于点N，过点作直线与圆O交于A、B两点．
(1)若坐标原点O到直线AB的距离为1，求直线AB的方程；
(2)如图所示，作一条斜率为－1的直线交圆于R，S两点，连接PS，PR，试问是否存在锐角，，使得为定值?若存在，求出该定值，若不存在，说明理由．
考点8：圆与圆的位置关系
例48．（2023·新疆伊犁·高二校联考期中）圆：与圆：的位置关系是（ ）
A．相交B．外离C．内含D．外切
例49．（2023·辽宁沈阳·高二校联考期中）“”是“圆与圆相切”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
例50．（2023·四川雅安·高二雅安中学校联考期中）已知圆，圆，则“”是“圆与圆外离”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
例51．（2023·浙江嘉兴·高二校考期中）已知圆：与圆：，则两圆的位置关系是（ ）
A．相离B．外切C．相交D．内切
例52．（2023·山东潍坊·高二统考期中）已知圆：，圆：，则与的位置关系是（ ）
A．外切B．内切C．外离D．相交
考点9：两圆的公共弦问题
例53．（2023·浙江·高二温州中学校联考期中）已知圆与圆相交于A，B两点，则=（ ）
A．B．C．D．
例54．（2023·天津·高二校考期中）圆与圆的公共弦所在直线恒过点（ ）
A．B．C．D．
例55．（2023·海南海口·高二海口一中校考期中）圆：与圆：相交于A，B两点，则等于（ ）
A．B．C．D．
例56．（2023·浙江台州·高二台州一中校考期中）圆：与圆：的公共弦所在直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
例57．（2023·山西运城·高二校联考阶段练习）圆与圆相交于两点，则等于（ ）
A．B．C．D．
考点10：公切线问题
例58．（2023·黑龙江·高二统考期中）圆：和圆：的公切线的条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
例59．（2023·河北沧州·高二校联考期中）古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果.其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数（）的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点，动点满足，则点P的轨迹与圆的公切线的条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
例60．（2023·广西玉林·高二统考期中）已知圆：，圆：，则下列说法正确的是（ ）
A．圆与圆公共弦所在直线的方程为
B．圆与圆有两条公切线
C．是圆与圆的一条公切线
D．圆与圆上均恰有两点到直线的距离为2
例61．（2023·全国·高二专题练习）已知圆，圆，则下列不是，两圆公切线的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
例62．（2023·山东聊城·高二统考期末）已知圆：与圆：相内切，则与的公切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
考点11：圆系方程的应用
例63．过圆与的交点，且圆心在直线上的圆的方程是_______．
例64．已知圆与圆相交于A、B两点．
（1）求公共弦AB所在直线方程；
（2）求过两圆交点A、B，且过原点的圆的方程．
例65．已知圆．求证：对任意不等于的实数，方程是通过两个已知圆交点的圆的方程．
例66．已知圆和圆．
（1）求证：两圆相交；
（2）求过点，且过两圆交点的圆的方程．
（2023·北京通州·高二期中）经过点以及圆与圆交点的圆的方程为________．
【提升练习】
一、单选题
1．（2023·江苏盐城·高二盐城市第一中学校考期中）已知点P是直线上的动点，过点P引圆的两条切线PM，PN，M，N为切点，则PM的最小值为时，r的值为（ ）
A．1B．2C．D．
2．（2023·四川·高二校考期中）直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．或
3．（2023·四川达州·高二四川省万源中学校考期中）已知圆C: ，直线：，直线被圆C截得的弦长最短时，实数m的值为（ ）
A．B．C．1D．
4．（2023·北京通州·高二统考期中）过直线上一点作圆的两条切线，，切点分别为A，B，当直线，关于对称时，线段的长为（ ）
A．4B．C．D．2
5．（2023·江苏盐城·高二校考期中）已知，，动点满足，则点的轨迹与圆相交的弦长等于（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·天津武清·高二统考期中）在平面直角坐标系xOy中，若圆 (r>0)上存在点P，且点P关于直线的对称点Q在圆 上，则r的取值范围是（ ）
A．(2，+∞)B．[2，+∞)C．(2，8)D．[2，8]
7．（2023·江苏南京·高二期中）已知圆和两点、，若圆上存在一点，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
8．（2023·广东佛山·高二佛山市南海区九江中学校考阶段练习）已知圆：，过直线：上一点作圆的两条切线，切点分别为，，则（ ）
A．若点，则直线的方程为
B．面积的最小值为
C．直线过定点
D．以线段为直径的圆可能不经过点
9．（2023·河北唐山·高二校联考期中）已知圆，直线，直线与圆交于两点，则（ ）
A．直线恒过定点
B．当时，最长
C．当时，弦最短
D．最短弦长
10．（2023·山西太原·高二山西大附中校考期中）圆：与圆：，则下列说法正确的是（ ）
A．两圆公共弦所在的直线方程为B．两圆的位置关系为外切
C．公共弦长为D．两圆有四条公切线
11．（2023·江苏徐州·高二统考期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，，点满足．设点的轨迹为，则（ ）
A．轨迹的方程为
B．在轴上存在异于的两点，使得
C．当三点不共线时，射线是的角平分线
D．在轨迹上存在点，使得
三、填空题
12．（2023·广东东莞·高二东莞一中校考期中）已知圆心为的圆与直线：相切于点，则圆的方程为 .
13．（2023·江西·高二校联考阶段练习）已知斜率为1的直线与圆交于，两点，为弦的中点，若的横坐标为，则的取值范围为 .
14．（2023·安徽黄山·高二校联考期中）已知P为圆上一点，则点到P点的距离的最大值为 ．
15．（2023·河北张家口·高二校联考阶段练习）写出同时与圆和圆都相切的一条直线方程 .
四、解答题
16．（2023·福建福州·高二校联考期中）在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在轴上，
(1)若圆过点､点， 求圆的方程;
(2)若圆与直线相切，且原点不在圆外，求当圆的面积最小时圆的方程.
17．（2023·北京·高二北京市第十二中学校考期中）已知点及圆.
(1)求圆心的坐标及半径的大小；
(2)设过点的直线与圆交于两点，当时，求以线段为直径的圆的方程；
(3)设直线与圆交于两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.
18．（2023·湖北武汉·高二湖北省武昌实验中学校联考期中）已知圆，圆：，圆：，这三个圆有一条公共弦.
(1)当圆的面积最小时，求圆的标准方程；
(2)在（1）的条件下，直线同时满足以下三个条件：
（i）与直线垂直；
（ii）与圆相切；
（iii）在轴上的截距大于0，
若直线与圆交于，两点，求.
19．（2023·四川达州·高二四川省万源中学校考期中）已知圆过点和点，并且圆心在直线上.点是直线上一动点，过点引圆的两条切线、，切点分别为，.
(1)求圆的标准方程；
(2)当四边形的面积最小时，求点的坐标及直线的方程.
20．（2023·吉林松原·高二前郭尔罗斯县第五中学校考期中）在平面直角坐标系中，已知两个定点，，动点P满足，设动点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)过直线上一动点作曲线C的两条切线，切点为M，N，探究：直线MN是否过定点．
【考点分布图】
【知识清单】
1、直线与圆的位置关系：
（1）直线与圆相交，有两个公共点；
（2）直线与圆相切，只有一个公共点；
（3）直线与圆相离，没有公共点．
2、直线与圆的位置关系的判定：
（1）代数法：
判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线与圆C有公共点．
有两组实数解时，直线与圆C相交；
有一组实数解时，直线与圆C相切；
无实数解时，直线与圆C相离．
（2）几何法：
由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断：
当时，直线与圆C相交；
当时，直线与圆C相切；
当时，直线与圆C相离．
3、圆的切线方程的求法
（1）点在圆上，如图．
法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于，即．
法二：圆心到直线的距离等于半径．
（2）点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出．
诠释：
因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．
常见圆的切线方程：
（1）过圆上一点的切线方程是；
（2）过圆上一点的切线方程是
．
4、求直线被圆截得的弦长的方法
（1）应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法．
（2）利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．
（3）利用弦长公式：设直线，与圆的两交点，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：=．
5、圆与圆的位置关系：
（1）圆与圆相交，有两个公共点；
（2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点；
（3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点．
6、圆与圆的位置关系的判定：
（1）代数法：
判断两圆的方程组成的方程组是否有解．
有两组不同的实数解时，两圆相交；
有一组实数解时，两圆相切；
方程组无解时，两圆相离．
（2）几何法：
设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为．
当时，两圆相交；
当时，两圆外切；
当时，两圆外离；
当时，两圆内切；
当时，两圆内含．
7、两圆公共弦长的求法有两种：
方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长．
方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．
8、两圆公切线的条数
与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．
（1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条；
（2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条；
（3）两圆相交时，只有2条外公切线；
（4）两圆内切时，只有1条外公切线；
（5）两圆内含时，无公切线．
9、圆系方程
（1）过直线与圆的交点的圆系方程是
（2）以为圆心的同心圆系方程是：；
（3）与圆同心的圆系方程是；
（4）过同一定点的圆系方程是．
【考点精讲】
考点1：直线与圆的位置关系
例1．（2023·黑龙江哈尔滨·高二黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学校考期中）已知，则圆与直线的位置关系是（ ）
A．相切B．相交C．相离D．不确定
例2．（2023·山西太原·高二统考期中）已知直线，圆，则直线l与圆C的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不确定
例3．（2023·河北石家庄·高二石家庄二中校考期中）已知，则圆与直线的位置关系是（ ）
A．相切B．相交C．相离D．不确定
例4．（2023·江苏无锡·高二校联考期中）若直线与曲线恰有一个公共点，则b的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例5．（2023·河南商丘·高二商丘市第一高级中学校联考期中）方程有两相异实根，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例6．（2023·河南信阳·高二统考期中）已知直线l：与圆C：，点，则下列说法不正确的是（ ）
A．若直线l与圆C相切，则B．若，则直线l与圆C相离
C．若，则直线l与圆C相交D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
考点2：直线与圆相交的性质——韦达定理及应用
例7．（2023·江苏苏州·高二苏州中学校考期中）如图，圆与x轴交于A、B两点，动直线：与x轴、y轴分别交于点E、F，与圆交于C、D两点．
(1)求中点M的轨迹方程；
(2)设直线、的斜率分别为、，是否存在实数k使得？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
例8．（2023·云南昆明·高一校考期中）已知圆C：
(1)证明：圆C恒过两个点．
(2)当时，若过点的直线l与圆C交于M，N两点，且，求直线l的斜率．
例9．（2023·广东东莞·高二校联考期中）已知直线：与圆：相交于，不同两点.
(1)求的范围；
(2)设是圆上的一动点（异于，），为坐标原点，若，求面积的最大值.
例10．（2023·山东烟台·高二校联考期中）已知点，，动点P满足，设P的轨迹为C．
(1)求C的轨迹方程；
(2)若过点A的直线与C交于M，N两点，求取值范围．
例11．（2023·甘肃甘南·高二校考期中）已知圆过点，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为.
(1)求圆的方程；
(2)若为圆上两个不同的点，为坐标原点，设直线的斜率分别为，当时，求的斜率的取值范围.
例12．（2023·浙江嘉兴·高二校考期中）已知圆，过点的直线与交于点，，且.
(1)求圆的圆心坐标和半径：
(2)求的方程；
(3)设为坐标原点，求的值.
例13．（2023·湖北·高二荆州中学校联考期中）已知圆的半径为2，圆心在轴正半轴上，直线与圆相切．
(1)求圆的方程；
(2)若过点的直线与圆交于不同的两点，，且，为坐标原点，求直线的方程．
考点3：切线问题
例14．（2023·江苏盐城·高二校考期中）圆在点处切线的一般式方程为 ．
例15．（2023·广东东莞·高二校考期中）以圆上一点为切点的切线的一般式方程为 .
例16．（2023·浙江·高二校联考期中）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则 .
例17．（2023·甘肃武威·高二天祝藏族自治县第一中学校联考期中）过点且与圆C：相切的直线方程为 ．
例18．（2023·河南南阳·高二社旗县第一高级中学校联考期中）已知圆：，圆：，过圆上的一点P作圆的一条切线，切点为A，且，则实数m的取值范围是 .
例19．（2023·江苏淮安·高二校考阶段练习）过圆外一直线上一动点P作圆的切线，则切线长最小值为
例20．（2023·四川遂宁·高二四川省蓬溪中学校校考期中）已知圆的圆心在直线上，且与直线和轴都相切，则圆的方程为 .
考点4：切点弦问题
例21．（2023·河北·高二校联考期中）过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为 ．
例22．（2023·安徽宣城·高三统考期末）过点作圆的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB方程是 .
例23．（2023·安徽芜湖·高二期末）在平面直角坐标系中，过点，向圆C：引两条切线，切点分别为，则直线过定点 ．
例24．（2023·全国·模拟预测）过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则直线过定点 .
例25．（2023·广东·高三校联考开学考试）过点作圆的两条切线，切点分别为 、，则直线的方程为 ．
例26．（2023·湖南益阳·统考一模）已知直线，若P为l上的动点，过点P作的切线，切点为A、B，当最小时，直线的方程为 .
考点5：弦长问题
例27．（2023·广东东莞·高二校联考期中）已知圆，直线，直线l被圆C截得的弦长为
例28．（2023·广东江门·高二台山市第一中学校考期中）已知直线与圆交于A、B两点，若面积为，则m的值为 ．
例29．（2023·广东东莞·高二校考期中）直线与圆相交于两点，则的最小值为 .
例30．（2023·安徽宿州·高二校联考期中）已知直线及直线截圆所得的弦长均为8，则圆的半径是 ．
例31．（2023·广东东莞·高二东莞市东华高级中学校考期中）已知直线被圆截得的弦长为2，则的值为 .
例32．（2023·江苏无锡·高二校联考期中）已知圆：，过点的直线被圆截得的弦长为4，则直线的方程为
考点6：面积问题
例33．（2023·湖北黄冈·高二校联考期中）过直线上一点作圆：的两条切线，切点分别为，，则四边形的面积的最小值为 .
例34．（2023·云南昆明·高三昆明市第三中学校考阶段练习）在圆内，过点的最长弦和最短弦分别是和，则四边形的面积为（ ）
A．B．C．D．
例35．（2023·广东佛山·高二佛山一中校考期中）已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形面积为（ ）
A．B．C．D．
例36．（2023·四川成都·高二校考期中）过点引直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率等于（ ）
A．B．C．D．
例37．（2023·浙江·高二期末）已知圆，圆，若圆的切线交圆于、两点，则面积的取值范围是
A．B．C．D．
例38．（2023·福建莆田·高二校考期中）已知，为圆：的两条互相垂直的弦，且垂足为，则四边形ABCD面积的最大值为（ ）
A．4B．5C．8D．10
例39．（2023·北京·高二北京铁路二中校考期中）直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例40．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知圆，点为直线上的一个动点，是圆的两条切线，，是切点，当四边形（点为坐标原点）面积最小时，直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
考点7：直线与圆中的定点定值问题
例41．（2023·安徽合肥·高二合肥一中校联考期中）已知点，，动点满足，设动点的轨迹为曲线，过曲线与轴的负半轴的交点作两条直线分别交曲线于点（异于），且直线，的斜率之积为.
(1)求曲线的方程；
(2)证明：直线过定点.
例42．（2023·安徽合肥·高二合肥一中校联考期中）已知圆过，两点，且圆心在直线上.
(1)求圆的方程；
(2)设直线与圆交于A，两点，在直线上是否存在定点，使得直线，的倾斜角互补？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
例43．（2023·北京·高二北京十五中校考期中）已知点，圆．
(1)求圆过点的切线方程；
(2)为圆与轴正半轴的交点，过点作直线与圆交于两点、，设、的斜率分别为、，求证：为定值．
例44．（2023·河南南阳·高二统考期中）已知圆．
(1)证明：圆过定点．
(2)当时，是否存在斜率为的直线交圆于、两点，使得以为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．
例45．（2023·安徽马鞍山·高二统考期中）平面直角坐标系中，直线，圆：，圆与圆关于直线对称，是直线上的动点．
(1)求圆的标准方程；
(2)过点引圆的两条切线，切点分别为，设线段的中点是，是否存在定点，使得为定值，若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．
例46．（2023·河北唐山·高二校联考期中）已知圆，过圆上一点作直线分别与圆交于两点，设直线的斜率为．
(1)若圆的切线在轴和轴上的截距相等，求切线方程；
(2)若，求证：直线恒过定点．
例47．（2023·浙江宁波·高二校联考期中）已知圆O的方程为，与x轴的正半轴交于点N，过点作直线与圆O交于A、B两点．
(1)若坐标原点O到直线AB的距离为1，求直线AB的方程；
(2)如图所示，作一条斜率为－1的直线交圆于R，S两点，连接PS，PR，试问是否存在锐角，，使得为定值?若存在，求出该定值，若不存在，说明理由．
考点8：圆与圆的位置关系
例48．（2023·新疆伊犁·高二校联考期中）圆：与圆：的位置关系是（ ）
A．相交B．外离C．内含D．外切
例49．（2023·辽宁沈阳·高二校联考期中）“”是“圆与圆相切”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
例50．（2023·四川雅安·高二雅安中学校联考期中）已知圆，圆，则“”是“圆与圆外离”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
例51．（2023·浙江嘉兴·高二校考期中）已知圆：与圆：，则两圆的位置关系是（ ）
A．相离B．外切C．相交D．内切
例52．（2023·山东潍坊·高二统考期中）已知圆：，圆：，则与的位置关系是（ ）
A．外切B．内切C．外离D．相交
考点9：两圆的公共弦问题
例53．（2023·浙江·高二温州中学校联考期中）已知圆与圆相交于A，B两点，则=（ ）
A．B．C．D．
例54．（2023·天津·高二校考期中）圆与圆的公共弦所在直线恒过点（ ）
A．B．C．D．
例55．（2023·海南海口·高二海口一中校考期中）圆：与圆：相交于A，B两点，则等于（ ）
A．B．C．D．
例56．（2023·浙江台州·高二台州一中校考期中）圆：与圆：的公共弦所在直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
例57．（2023·山西运城·高二校联考阶段练习）圆与圆相交于两点，则等于（ ）
A．B．C．D．
考点10：公切线问题
例58．（2023·黑龙江·高二统考期中）圆：和圆：的公切线的条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
例59．（2023·河北沧州·高二校联考期中）古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果.其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数（）的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点，动点满足，则点P的轨迹与圆的公切线的条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
例60．（2023·广西玉林·高二统考期中）已知圆：，圆：，则下列说法正确的是（ ）
A．圆与圆公共弦所在直线的方程为
B．圆与圆有两条公切线
C．是圆与圆的一条公切线
D．圆与圆上均恰有两点到直线的距离为2
例61．（2023·全国·高二专题练习）已知圆，圆，则下列不是，两圆公切线的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
例62．（2023·山东聊城·高二统考期末）已知圆：与圆：相内切，则与的公切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
考点11：圆系方程的应用
例63．过圆与的交点，且圆心在直线上的圆的方程是_______．
例64．已知圆与圆相交于A、B两点．
（1）求公共弦AB所在直线方程；
（2）求过两圆交点A、B，且过原点的圆的方程．
例65．已知圆．求证：对任意不等于的实数，方程是通过两个已知圆交点的圆的方程．
例66．已知圆和圆．
（1）求证：两圆相交；
（2）求过点，且过两圆交点的圆的方程．
（2023·北京通州·高二期中）经过点以及圆与圆交点的圆的方程为________．
【提升练习】
一、单选题
1．（2023·江苏盐城·高二盐城市第一中学校考期中）已知点P是直线上的动点，过点P引圆的两条切线PM，PN，M，N为切点，则PM的最小值为时，r的值为（ ）
A．1B．2C．D．
2．（2023·四川·高二校考期中）直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．或
3．（2023·四川达州·高二四川省万源中学校考期中）已知圆C: ，直线：，直线被圆C截得的弦长最短时，实数m的值为（ ）
A．B．C．1D．
4．（2023·北京通州·高二统考期中）过直线上一点作圆的两条切线，，切点分别为A，B，当直线，关于对称时，线段的长为（ ）
A．4B．C．D．2
5．（2023·江苏盐城·高二校考期中）已知，，动点满足，则点的轨迹与圆相交的弦长等于（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·天津武清·高二统考期中）在平面直角坐标系xOy中，若圆 (r>0)上存在点P，且点P关于直线的对称点Q在圆 上，则r的取值范围是（ ）
A．(2，+∞)B．[2，+∞)C．(2，8)D．[2，8]
7．（2023·江苏南京·高二期中）已知圆和两点、，若圆上存在一点，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
8．（2023·广东佛山·高二佛山市南海区九江中学校考阶段练习）已知圆：，过直线：上一点作圆的两条切线，切点分别为，，则（ ）
A．若点，则直线的方程为
B．面积的最小值为
C．直线过定点
D．以线段为直径的圆可能不经过点
9．（2023·河北唐山·高二校联考期中）已知圆，直线，直线与圆交于两点，则（ ）
A．直线恒过定点
B．当时，最长
C．当时，弦最短
D．最短弦长
10．（2023·山西太原·高二山西大附中校考期中）圆：与圆：，则下列说法正确的是（ ）
A．两圆公共弦所在的直线方程为B．两圆的位置关系为外切
C．公共弦长为D．两圆有四条公切线
11．（2023·江苏徐州·高二统考期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，，点满足．设点的轨迹为，则（ ）
A．轨迹的方程为
B．在轴上存在异于的两点，使得
C．当三点不共线时，射线是的角平分线
D．在轨迹上存在点，使得
三、填空题
12．（2023·广东东莞·高二东莞一中校考期中）已知圆心为的圆与直线：相切于点，则圆的方程为 .
13．（2023·江西·高二校联考阶段练习）已知斜率为1的直线与圆交于，两点，为弦的中点，若的横坐标为，则的取值范围为 .
14．（2023·安徽黄山·高二校联考期中）已知P为圆上一点，则点到P点的距离的最大值为 ．
15．（2023·河北张家口·高二校联考阶段练习）写出同时与圆和圆都相切的一条直线方程 .
四、解答题
16．（2023·福建福州·高二校联考期中）在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在轴上，
(1)若圆过点､点， 求圆的方程;
(2)若圆与直线相切，且原点不在圆外，求当圆的面积最小时圆的方程.
17．（2023·北京·高二北京市第十二中学校考期中）已知点及圆.
(1)求圆心的坐标及半径的大小；
(2)设过点的直线与圆交于两点，当时，求以线段为直径的圆的方程；
(3)设直线与圆交于两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.
18．（2023·湖北武汉·高二湖北省武昌实验中学校联考期中）已知圆，圆：，圆：，这三个圆有一条公共弦.
(1)当圆的面积最小时，求圆的标准方程；
(2)在（1）的条件下，直线同时满足以下三个条件：
（i）与直线垂直；
（ii）与圆相切；
（iii）在轴上的截距大于0，
若直线与圆交于，两点，求.
19．（2023·四川达州·高二四川省万源中学校考期中）已知圆过点和点，并且圆心在直线上.点是直线上一动点，过点引圆的两条切线、，切点分别为，.
(1)求圆的标准方程；
(2)当四边形的面积最小时，求点的坐标及直线的方程.
20．（2023·吉林松原·高二前郭尔罗斯县第五中学校考期中）在平面直角坐标系中，已知两个定点，，动点P满足，设动点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)过直线上一动点作曲线C的两条切线，切点为M，N，探究：直线MN是否过定点．
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