微专题17　随机变量及其分布

这是一份微专题17　随机变量及其分布，共7页。试卷主要包含了基本技能练，创新拓展练等内容，欢迎下载使用。
1.(2023·新乡模拟)已知随机变量X的分布列为
则E(X)＝( )
A.eq \f(1,2) B.1
C.eq \f(4,3) D.eq \f(5,3)
2.设随机变量X，Y满足Y＝3X－1，X～B(2，p)，若P(X≥1)＝eq \f(5,9)，则D(Y)＝( )
A.4 B.5
C.6 D.7
3.(2023·天津模拟)某班级有50名学生，期末考试数学成绩服从正态分布N(120，σ2)，已知P(X>140)＝0.2，则X∈[100，140]的学生人数为( )
A.5 B.10
C.20 D.30
4.(2023·青岛调研)从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽取3次，每次抽取1件.若抽取的次品数为ξ，则E(5ξ＋1)＝( )
A.2 B.1
C.3 D.4
5.(多选)(2023·沈阳模拟)某产品的质量指标值服从正态分布N(100，σ2)，则下列结论正确的是( )
A.σ越大，则产品的质量指标值落在(99.9，100.1)内的概率越大
B.该产品的质量指标值大于100的概率为0.5
C.该产品的质量指标值大于100.01的概率与小于99.99的概率相等
D.该产品的质量指标值落在(99.9，100.2)内的概率与落在(100，100.3)内的概率相等
6.(多选)(2023·莆田质检)“50米跑”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，某地区高三男生的“50米跑”测试成绩ξ(单位：秒)服从正态分布N(8，σ2)，且P(ξ≤7)＝0.2.从该地区高三男生的“50米跑”测试成绩中随机抽取3个，其中成绩在(7，9)间的个数记为X，则( )
A.P(70.9
7.一个袋中装有大小质地完全相同的m个红球和2m个白球(m∈N*)，从中任取3个球.记取出的白球个数为ξ，若P(ξ＝1)＝eq \f(1,5)，则m＝________，E(ξ)＝________.
8.盒中有4个球，其中1个红球，1个黄球，2个蓝球，从盒中随机取球，每次取1个，取后不放回，直到蓝球全部被取出为止，在这一过程中取球次数为ξ，则ξ的均值E(ξ)＝________.
9.(2023·徐州质检)在一次以“二项分布的性质”为主题的数学探究活动中，某中学高三某小组的学生表现优异，发现的正确结论得到老师和同学的一致好评.设随机变量X～B(n，p)，记pk＝Ceq \\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.在研究pk的最大值时，小组同学发现：若(n＋1)p为正整数，则k＝(n＋1)p时，pk＝pk－1，此时这两项概率均为最大值；若(n＋1)p为非整数，当k取(n＋1)p的整数部分时，则pk是唯一的最大值.以此为理论基础，有同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数.当投掷到第20次时，记录到此时点数1出现5次，若继续再进行80次投掷试验，则当投掷到第100次时，点数1总共出现的次数为________的概率最大.
10.泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家泊松首次提出.泊松分布的概率分布列为P(X＝k)＝eq \f(λk,k！)e－λ(k＝0，1，2，…)，其中e为自然对数的底数，λ是泊松分布的均值.已知某种商品每周销售的件数相互独立，且服从参数为λ(λ>0)的泊松分布.若每周销售1件该商品与每周销售2件该商品的概率相等，则两周共销售2件该商品的概率为________.
11.(2023·石家庄质检)党的二十大已胜利闭幕，某市教育系统为深入贯彻党的二十大精神，组织党员开展了“学习二十大”的知识竞赛活动.随机抽取了1 000名党员，并根据他们的竞赛得分(满分100)按组别[60，70 )，[70，80 )，[80，90 )，[90，100]绘制了频率分布直方图(如图)，视频率为概率.
(1)若此次活动中获奖的党员占参赛总人数的20%，试估计获奖党员的最低得分；
(2)采用按比例分配的分层随机抽样的方法，从得分不低于80的党员中随机抽取7名党员，再从这7名党员中随机抽取3名，记得分在[90，100]内的人数为ξ，试求ξ的分布列和数学期望.
12.(2023·济南模拟)为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平，某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格：
记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为eq \(x,\s\up6(－))，s2，经计算eq \(∑,\s\up14(10),\s\d10(i＝1))(xi－eq \(x,\s\up6(－)))2＝1 690，eq \(∑,\s\up14(10),\s\d10(i＝1))xeq \\al(2,i)＝33 050.
(1)求eq \(x,\s\up6(－))；
(2)规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的人数为X，求X的分布列；
(3)经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布N(μ，σ2)，用eq \(x,\s\up6(－))，s2的值分别作为μ，σ2的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(30，82))的人数为Y，求Y的数学期望E(Y).
附：若ξ～N(μ，σ2)，
则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，
P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5，
P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3.
二、创新拓展练
13.(多选)已知随机变量X服从二项分布B(4，p)，其数学期望E(X)＝2，随机变量Y服从正态分布N(p，4)，且P(X＝3)＋P(Y＜a)＝1，则( )
A.p＝eq \f(1,4) B.p＝eq \f(1,2)
C.P(Y＞1－a)＝eq \f(1,4) D.P(Y＞1－a)＝eq \f(3,4)
14.(多选)现有两种核酸检测方式：(1)逐份检测；(2)混合检测：将其中k份核酸分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴性，则这k份核酸全为阴性，因而这k份核酸只要检测一次就够了；如果检测结果为阳性，为了明确这k份核酸样本究竟哪几份为阳性，就需要对这k份核酸再逐份检测，此时，这k份核酸的检测次数总共为k＋1次.假设在接受检测的核酸样本中，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是独立的，并且每份样本是阳性的概率都为p(0