2023-2024学年江西省高二上学期12月统一调研测试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江西省高二上学期12月统一调研测试数学试题含答案，共30页。试卷主要包含了，将本试卷和答题卡⼀并交回， 已知，，若点 共线，则， 圆等内容，欢迎下载使用。


江⻄省
2023—2024
学年⾼⼆年级
12 ⽉统⼀ 调研测试
数学
注意事项：
1.
答卷前
2.
，考⽣务必将⾃⼰的姓名、 准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
，选出每⼩题答案后，⽤铅笔把答题卡上对应题⽬的答案标号涂⿊.
需改动，
回答选择题时
回
⽤橡⽪擦⼲净后，再选涂其他答案标号.
答⾮选择题时，将答案写在答题卡上.
如
写
在本试卷上
.
⽆效
3.，将本试卷和答题卡⼀并交回.
考试结束后
在
⼀、选择题：本题共 8 ⼩题，每⼩题 5 分，共 40 分.
每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是
.
符合题⽬要求的
1. ⼆项式的展开式中的系数为（）
A. 128B. 56C.D.
2.⼀个⽅向向量，且在 轴上的截距为 2
则 的⽅程为（）
若直线 的，
A. B.
C.D.
3. 下列双曲线中与双曲线焦距不相等的是（）
A.B.
C.D.
4. 已知，，若点 共线，则（）
A.B.C.D.
5. 北⽃七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代纬书《春秋运⽃枢》就有记载，它们组成的图形像我国古代舀
酒的⽃，故命名北⽃七星 北⽃
.图，⽤点，
如
，，，，，表示某⼀时期的北⽃七星，其中 ，，，看作共线，其他任何三点均不
共线，过这七个点中任意两个点作直线，所得直线的条数为（）
A. 4B. 13C. 15D. 16
6.
已知点
， 是双曲线：（，）的左、右焦点，第⼀象限的点
在上，，点在 内，且点到 三边的距离均为 2
则渐近线⽅程为（）
，
A. B.
C.D.
7.
已知直线
与椭圆:有公共点,的右焦点为 , 则的离⼼
率的最⼤值为（）
AB.C.D.
8.
过点作圆
： 的切线 与 轴交于点 ，过点的直线 与 ，
轴及 轴围成⼀个四边形，且该四边形的所有顶点都在圆上，则点到直线的距离为（）
A.B.
D.
或
、：本题共 4 ⼩题，每⼩题 5 分，共 20 分.
或
每⼩题给出的选项中，有多项符合题⽬
⼆选择题
.
在
5，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
要求 全部选对的得分
9. 圆：与圆 ：没有公共点，则 的值可能是（）
AB. C. 2D. 4
10.
已知
，，，，则（）
A
点关于平⾯对称
B.
点关于 轴对称
C. 存在实数， ，使得
D.
可以构成空间的⼀组基
11. 2023
年国外某智库发布尖端技术研究国家竞争⼒排名，在极超⾳速和⽔下⽆⼈机等 23 个领域中，中国
在其中
1
1—6
.19 个领域中选取了 A， ，，，，六个领域，准备在 2024
，每天随机介绍其中⼀个领域，且每个领域只在其中⼀天介绍，则（）
年⽉⽇对公众进⾏介绍
A. A， 在后 3 天介绍的⽅法种数为 144
B.，相隔⼀天介绍的⽅法种数为 96
C.不在第⼀天，不在最后⼀天介绍的⽅法种数为 504
A
12.
在 ，之前介绍的概率为
：的焦点，且与交于点， ，点为坐标原点，点， 在
已知直线 经过抛物线
轴上的射影分别为，，点， 在 轴上的射影分别为，，则（）
A.
B.
C.7
的最⼩值为
D.
三、 填空题：本题共 4 ⼩题，每⼩题 5 分，共 20 分.
13.
若直线
与直线 平⾏，则 .
14.
若
15.
为
，且 ，则的值 .
，在四棱锥中，，，，两两垂直且相等，点为棱的中点，
如图
.
点在棱上，且，则点 到平⾯的距离为
16.
过的
三条⾼的垂⾜，分别作另外两边的垂线，则这六条垂线们垂⾜共圆，该圆称为的泰
勒圆，已知中，，，点在直线上⽅，过点 作的垂线，垂
.. .
⾜为若则的泰勒圆的标准⽅程为
、
四解答题
：本题共 6 ⼩题，共 70 分.
、.
解
答应写出⽂字说明证明过程或演算步骤
.
17.
1
已知点
，，圆：（）
上，求；
（ ）若点在直线
（ ）若圆的 .
2⼀条切线过原点且与直线平⾏，判断直线与圆的位置关系
18.
1
已知函数
.
（
）
，⽤⼆项式定理证明 能被 50 整除；
（ ）当时
2，，求 的值
（ ）设
19.
.
，，点在边上，且，把沿折起，使得点 到达
已知在正⽅形中
设
点处，.
， ， .
1， ， 表示 ；
（ ）⽤
2.
（ ）求
20.
，延⻓线与延⻓线交于点，是边⻓为 2正
已知四棱柱是直四棱柱
. .
三⻆
形 点，分别为，的中点，点为的中点
1，求平⾯ 与平⾯ 所成⼆⾯⻆的平⾯⻆为锐⻆时的余弦值；
（ ）若
（ ）若直线 .
2与平⾯所成⻆的正弦值为，求的⻓
21.
1
已知曲线
：.
，点是的⼀个焦点，点是上任意⼀点且 的最⼩值为 2求；
（ ）若为椭圆
（ ）已知点
，
.下⾯两个条件中选⼀
2，是上关于原点对称的两点，点是上与，不重合的点 在
个，判断是否存在过点的直线与交于点， ，且线段的中点为，若存在，求出直线
的⽅程由
；若不存在，请说明理.
①直线的斜率之积为
2
；②直线
， 的斜率之积为.
.
注：若选择多个条件分别解答，按第⼀个解答计分
22.
已知点是抛物线
：上与原点不重合的⼀点，直线与直线交于点，的焦
点为，直线与交于另⼀点 .
1：直线 轴；
（ ）证明
2与不重合的点 ， ， ， 都在上，且以 ， 为直径的圆都过点，直线 与
（ ）若
.
交于点，求的取值范围
江⻄省 2023—2024 学年⾼⼆年级 1 2 ⽉统⼀调研测试
数学
注意事项：
1 .答卷前，考⽣务必将⾃⼰的姓名、 准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每⼩题答案后，⽤铅笔把答题卡上对应题⽬的答案标号涂⿊.如需改动，
⽤橡⽪擦⼲净后，再选涂其他答案标号.回答⾮选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
⽆效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡⼀并交回.
⼀、 选择题：本题共 8 ⼩题，每⼩题 5 分，共 40 分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项 是符合题⽬要求的.
1 . ⼆项式的展开式中的系数为（）
A. 1 28B. 56C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据⼆项式定理得到通项公式，求出的系数.
【详解】 的展开式的通项公式为 ， 令 ，解得，
故的系数为 .
故选：B.
2. 若直线 的⼀个⽅向向量，且在 轴上的截距为 2，则 的⽅程为（）
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】
【分析】由⽅向向量求出直线的斜率，进⽽得到直线⽅程.
【详解】由直线 的⼀份⽅向向量，得 的斜率，
⼜ 在 轴上的截距为 2，所以 的⽅程为，即 . 故选：A.
3. 下列双曲线中与双曲线的焦距不相等的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出五个双曲线的焦距，得到答案.
【详解】由于 ，
可得双曲线 ， ， ， 的焦距都是， 双曲线 的焦距是.
故选：D.
4. 已知， ，若点共线，则 （） A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据共线得到⽅程，求出，，求出 ，得到模⻓.
【详解】因为点共线，所以与共线，
所以 ，解得，， 故 ， ，
.
故选：C.
酒的⽃，故命名北⽃七星.北⽃七星不仅是天上的星象，也是古⼈藉以判断季节的依据之⼀.如图，⽤点，
，，，，，表示某⼀时期的北⽃七星，其中 ，，，看作共线，其他任何三点均不 共线，过这七个点中任意两个点作直线，所得直线的条数为（）
A. 4B. 1 3C. 1 5D. 1 6
【答案】D
【解析】
【分析】解法⼀：间接⽅法，从总的条数中去掉不合要求的条数即可； 解法⼆：直接⽅法，分 3 种情况进⾏求解，再相加即可.
【详解】解法⼀：⽤间接⽅法，过这七个点中任意两个点作直线，⼀共有 条， 其中从共线的 ，，，的四点任选两点，⼀共有 条，
所得直线条数为； 解法⼆：⽤直接⽅法，①过点 ，，，的直线只有 1 条；
②过，，中的任意两点作直线，可作 3 条；
③从 ，，，任取⼀点，从，，中任取 1 点作直线，可作直线条数为， 综上，所得直线的条数为.
故选：D.
6. 已知点，是双曲线： （，）的左、右焦点，第⼀象限的点 在上，，点在内，且点到三边的距离均为 2，则渐近线⽅程为（
）
A.B.
C. D.
【解析】
【分析】设 ， ，得到，， ，结合三⻆形
⾯积得到⽅程，求出， ，求出渐近线⽅程.
【详解】设 ， ，由双曲线定义可得， 因为 ，且焦距为 1 0，故由勾股定理得，
所以 ，，
⼜的⾯积 ，所以 ， 解得，所以，的渐近线⽅程为 . 故选：B
,
:
7. 已知直线与椭圆有公共点,的右焦点为,则的离⼼
率的最⼤值为（）
A. B.C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设椭圆的左焦点为,根据题意求得点关于直线对称的点,结合椭圆的定义及三
⻆形的两边之和⼤于第三边,得,再代⼊离⼼率公式运算即可.
【详解】由的右焦点为 ,得的左焦点为 ,
设点关于直线 对称的点为 ,则解得 , 则,
所以的离⼼率的最⼤值为.
故选：B.
8. 过点作圆： 的切线 与 轴交于点 ，过点的直线 与 ， 轴及 轴围成⼀个四边形，且该四边形的所有顶点都在圆上，则点到直线的距离为（）
A. B.
C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆的切线性质，结合点到直线距离公式、四边形的性质进⾏求解即可.
【详解】 化为标准⽅程为 ， 所以 ，圆 的半径为 ，设 ： ，
由直线 与圆相切得，解得， ：，
令得 ，
若 ， 交于点，且 ，设原点为， 因为，，
所以四边形对⻆互补，点，，，都在圆上， 点 为线段的中点， ，直线 的⽅程为 ，
到直线的距离为；
若，设 与 轴交于点，
四边形是等腰梯形，对⻆互补，点， ，，都在圆 上， 此时点既在线段的垂直平分线上，
⼜在线段的垂直平分线上，所以 ， 此时直线的⽅程为，
到直线的距离为 ，
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题的关键是利⽤圆的切线性质、四点共圆的性质.
、
⼆选择题：本题共 4 ⼩题，每⼩题 5 分，共 20 分.在每⼩题给出的选项中，有多项符合题
⽬要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9. 圆： 与圆 ： 没有公共点，则 的值可能是（）
A.B.C. 2D. 4
【答案】BD
【解析】
【分析】圆与圆没有公共点，则两圆外离或内含，从⽽得到不等式，求出答案.
【详解】圆： 的圆⼼为 ，半径为 1 ， 圆 ： 的圆⼼为 ，半径为 3， 圆 与圆 没有公共点，则两圆外离或内含， 所以 或 ，即 或 ， 所以 或 或 ，
不满⾜要求，满⾜要求
故选：BD.
1 0. 已知， ， ， ，则（） A. 点关于平⾯对称
B. 点关于 轴对称 C. 存实数， ，使得
D. 可以构成空间的⼀组基
【答案】AB
【解析】
【分析】AB 选项，根据三点的坐标特征得到 AB 正确；C 选项，假设存在实数，，使得
， 从 ⽽ 得 到 ⽅ 程 组 ， ⽅ 程 组 ⽆ 解 ， 故 C 错 误 ； D 选 项 ， 根 据 得到三向量平⾯，故 D 错误.
【详解】A 选项，与 的横坐标和纵坐标相同，竖坐标互为相反数， 故点关于平⾯对称，A 正确； B 选项，与 的横坐标相同，纵坐标和竖坐标互为相反数，
故点关于 轴对称，B 正确；
则，即，⽅程⽆解，
故不存在实数， ，使，故 C 错误； 对于 D，因为，
所以，， 共⾯，
不能构成空间的⼀组基，D 错误.
故选：AB.
1 1 . 2023 年国外某智库发布尖端技术研究国家竞争⼒排名，在极超⾳速和⽔下⽆⼈机等 23 个领域中，中 国在其中 1 9 个领域领先.某科技博主从这 1 9 个领域中选取了 A， ， ， ， ， 六个领域，准备在 2024 年 1 ⽉ 1 —6 ⽇对公众进⾏介绍，每天随机介绍其中⼀个领域，且每个领域只在其中⼀天介绍，则（
）
A. A， 在后 3 天介绍的⽅法种数为 1 44 B.，相隔⼀天介绍的⽅法种数为 96
C.不在第⼀天，不在最后⼀天介绍的⽅法种数为 504 D. A 在 ，之前介绍的概率为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于 ABC：根据题意结合排列数、组合数分析求解；对于 D：根据排列组合结合古典概型分析求 解.
【详解】A， 在后 3 天介绍的⽅法种数为，A 正确；
，相隔⼀天介绍的⽅法种数为 ，B 错误；
不在第⼀天，不在最后⼀天介绍的⽅法种数为（或），C 正 确：
A 在 ，之前介绍的概率为 ，D 正确； 故选：ACD.
轴上的射影分别为，，点， 在 轴上的射影分别为，，则（）
A.
B.
C. 的最⼩值为 7
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】设直线 的⽅程为，联⽴⽅程组，求得 ，由 ，可判定 A 正
确；由 ，可判定 B 正确；由，结合基本不等式，可判定 C 错误；由 ，结合向量的运算，可判定 D 正确.
【详解】设 ， ，直线 的⽅程为，
联⽴⽅程组 ，整理得，可得， 由 ，所以 A 正确；
由 ，所以，所以 B 正确；
由 ，
当且仅当 时取等号，所以 C 错误； 由
，所以 D 正确.
故选：ABD.
三、 填空题：本题共 4 ⼩题，每⼩题 5 分，共 20 分.
1 3. 若直线与直线平⾏，则 .
【答案】2 或##或 2
【解析】
【分析】根据两直线平⾏得到⽅程，求出答案.
【详解】直线 与直线平⾏，则 ， 即，解得或.
当或时两直线不重合，满⾜题意， 所以或.
故答案为：2 或
1 4. 若，且，则的值
.
为
【答案】
【解析】
【分析】根据展开式中常数项和⼀次项系数相等得到⽅程，求出答案.
【详解】由题意得 的展开式中的常数项与⼀次项系数相等， 则 ，解得或 0（舍去）.
故答案为：
1 5. 如图，在四棱锥中，，，，两两垂直且相等，点为棱的中点， 点在棱上，且，则点 到平⾯的距离为 .
【答案】##
【解析】
【分析】建⽴空间直⻆坐标系，得到平⾯的法向量，从⽽得到点 到平⾯的距离.
【详解】以点 为原点，以，，所在直线分别为 ， ， 轴建⽴如图所示的空间直⻆坐标系， 则 ， ， ， ，
， ， ， 设平⾯的法向量为 ， 则 ,
取，则，故，
所以点 到平⽽的距离为 .
故答案为：
1 6. 过三条⾼的垂⾜，分别作另外两边的垂线，则这六条垂线们垂⾜共圆，该圆称为的泰 勒圆，已知中， ， ，点在直线上⽅，过点 作的垂线，垂

.
⾜为.若.则的泰勒圆的标准⽅程为
【答案】
【解析】
【分析】作出辅助线，得到的外接圆就是的泰勒圆，设（），由向量知识和直
线垂直求出，进⽽得到 ， 和 ，设出圆的标准⽅程，代⼊ 三个点的坐标，得到⽅程组，求出圆的标准⽅程.
【详解】过点作的垂线，垂⾜为，设的中点为， 因为 ，所以，
过点作，的垂线，垂⾜分别为，，
得
，
则的外接圆就是的泰勒圆， 设（），由
设，由 得，，
故，解得，
，
得
所以 ，
所以
由，解得，
故，，，
直线⽅程为，即，
联⽴直线与直线得 ，
解得，此时 ，所以 ， 同理可得 ，
设的外接圆为 ，
则，
解得 ，
所以
的泰勒圆的标准⽅程为
故答案为：
由此可得的外接圆为 ，
.
、
四解答题：本题共 6 ⼩题，共 70 分.解答应写出⽂字说明、 证明过程或演算步骤.
1 7. 已知点，，圆：（）.
（1 ）若点在直线上，求；
（2）若圆的⼀条切线过原点 且与直线平⾏，判断直线与圆的位置关系.
【答案】（1 ）
（2）直线与圆相离，理由⻅解析.
【解析】
【分析】（1 ）求出直线的⽅程，代⼊求值即可；
（2）在（1 ）的基础上得到切线⽅程，进⽽得到圆的半径，由点到直线距离与半径⽐较得到答案.
【⼩问 1 详解】
直线为 ，即， 因为点 在直线上，所以 ， 解得；
【⼩问 2 详解】 由（1 ）知，，
圆的⼀条切线过原点且与直线平⾏，该切线⽅程为，
所以圆的半径等于圆⼼ 到直线 的距离， 即 ，直线⽅程为， 圆⼼到直线的距离 ，
所以直线与圆相离.
1 8. 已知函数（）.
（1 ）当时，⽤⼆项式定理证明 能被 50 整除；
（2）设， ，求 的值.
【答案】（1 ）证明⻅解析
（2）3280
【解析】
【分析】（1 ）变形得到，利⽤⼆项式定理得到展开式，证明出结论；
（2）赋值法进⾏求解.
【⼩问 1 详解】
证明：当时， ， 因为
，
所以当时， 能被 50 整除.
【⼩问 2 详解】
当时，由已知得，
令，得 ，①
令，得 ，②
联⽴①②得，.
令，得，所以.
1 9. 已知在正⽅形中，，点在边上，且，把沿折起，使得点 到 达点处，.设，，.
（1 ）⽤ ，， 表示；
（2）求.
【答案】（1 ）
（2）.
【解析】
（2）利⽤空间向量的平⽅以及数量积之间的关系，以及解三⻆形等知识即可求解.
【⼩问 1 详解】
因为，且，，
所以
，
.
，
【⼩问 2 详解】
由题意得，
所以， ， ， ，， 所以
所以
.
，
20. 已知四棱柱是直四棱柱，延⻓线与延⻓线交于点，是边⻓为 2 的
正三⻆形.点，分别为，的中点，点 为 的中点.
（1 ）若，求平⾯与平⾯所成⼆⾯⻆的平⾯⻆为锐⻆时的余弦值；
（2）若直线与平⾯所成⻆的正弦值为 ，求的⻓.
【答案】（1 ）
（2）或 .
【解析】
（2）由（1 ）所建的空间直⻆坐标系，求得直线⽅向向量与平⾯法向量，可得答案.
【⼩问 1 详解】
取的中点，的中点，连接，，则，，两两相互垂直. 以点为原点，，， 所在直线分別为 轴、 轴、 轴，建⽴空间直⻆坐标系，
则，， .
因为，所以， ， ，
，， ，，
设是平⾯的⼀个法向量，则 ， 即，取 ，得 ，
设是平⾯的⼀个法向量，则 ，
即，取 ，得 ， 则，
所以平⾯与平⾯所成⼆⾯⻆的平⾯⻆为锐⻆时的余弦值为 ，
【⼩问 2 详解】
设（），则，，
，， ，
设 是平⾯的⼀个法向量，则
即取，得 ， 设直线与平⾯所成的⻆为 ，
则 ，
解得或 ，所以或 .
21 . 已知曲线：.
（1 ）若为椭圆，点是的⼀个焦点，点是上任意⼀点且 的最⼩值为 2，求；
（2）已知点，是上关于原点对称的两点，点是上与，不重合的点.在下⾯两个条件中选
⼀个，判断是否存在过点 的直线与交于点， ，且线段的中点为，若存在，求出直线 的⽅程；若不存在，请说明理由.
①直线的斜率之积为 2；②直线，的斜率之积为 . 注：若选择多个条件分别解答，按第⼀个解答计分.
【答案】（1 ）或
（2）选①，不存在，理由⻅解析；选②，存在，
【解析】
【分析】（1 ）分类讨论与，利⽤两点距离公式得到 关于 或 的⽅程，利⽤⼆次函数 与⼀次函数的性质即可得解；
（2）先利⽤点差法求得选①或选②时的值，再利⽤点差法或设⽽不求法，结合中点弦的性质求得直线 的⽅程，再进⽽必要的检验即可得解.
【⼩问 1 详解】
设 ，若，表示焦点在 轴上的椭圆，
由： 得 ，， 不失⼀般性，设 ，其中 ，则，， 则，
所以当时， 取得最⼩值， 所以，；
若，表示焦点在 轴上的椭圆，
由： 得 ，， 不失⼀般性，设，其中 ，则 ，， 则，
所以当 时， 取得最⼩值 ，
解得 ，综上得或 .
【⼩问 2 详解】 若选①，
设，则， ，设，则 ， 两式相减得，所以 ，
所以直线，的斜率之积为 ， 所以，的⽅程为 .
解法⼀：假设存在过点 的直线与交于点， ，且线段的中点为，
把，代⼊的⽅程得，，
两式相减得 ，即，
此时直线的⽅程为 ，即，
联⽴与 ，消去 得， 则 ，
所以不存在过点 的直线与交于点， ，且线段的中点为. 解法⼆：假设存在过点 的直线与交于点， ，且线段的中点为， 设 ， ，
则 ，直线的斜率存在，设直线的⽅程为 .
联⽴与 ，消去 得， 所以 ，解得，
此时直线的⽅程为 ，即，
联⽴与 ，消去 得， 此时 ，
所以不存在过点 的直线与交于点， ，且线段的中点为. 若选②，
设，则， ，设，则 ， 两式相减得，所以，
所以直线，的斜率之积为，
所以，的⽅程为 .
解法⼀：假设存在过点 的直线与交于点， ，且线段的中点为，
设 ， ，则 ，且 ，
点在椭圆内，过点的直线与有两个交点， ， ， 两式相减得 ，即 ，
所以直线的⽅程为 ，即，
所以存在过点 的直线与交于点， ，且线段的中点为. 解法⼆：假设存在过点 的直线与交于点， ，且线段的中点为， 设 ， ，
则 ，直线的斜率存在，设直线的⽅程为 . 点在椭圆内，过点 的直线与有两个交点，
联⽴与 ，消去 得，
所以 ，解得 ，
所以直线的⽅程为 ，即， 所以存在过点 的直线与交于点， ，且线段中点为.
【点睛】⽅法点睛：利⽤⻙达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1 ）设直线⽅程，设交点坐标为；
（2）联⽴直线与圆锥曲线的⽅程，得到关于 （或 ）的⼀元⼆次⽅程，注意的判断；
（3）列出⻙达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代⼊⻙达定理求解.
22. 已知点是抛物线： 上与原点不重合的⼀点，直线与直线交于点 ，的焦 点为，直线与交于另⼀点.
（1 ）证明：直线轴；
（2）若与不重合的点，，，都在上，且以，为直径的圆都过点，直线与 交于点，求 的取值范围.
【答案】（1 ）证明⻅解析
（2） .
【解析】
【分析】（1 ）设（），，设直线的⽅程为，与抛物线⽅程联⽴， 求出直线的⽅程令得可得答案；
（2）设 ， ，设直线 的⽅程为 与抛物线⽅程联⽴，结合⻙达定 理求出可得直线的⽅程过点 ，直线过点 得 ，求出
，结合 的范围可得的答案.
【⼩问 1 详解】
设（），，由题得，设直线的⽅程为， 由得，所以，，
直线的斜率为，所以直线的⽅程为，
令得 ，因为，所以直线轴；
【⼩问 2 详解】
设 ， ，由题意可得直线 斜率存在且不为零， 设直线的⽅程为（），
联⽴得
，
，
与，
所以
因为以为直径的圆过点，， 所以的斜率为 ，，
显然，当时直线的⽅程为，
整理得 ，把 ，代⼊得， 当 时，，即直线过点 ，
当即 时，因为，所以，
此时由，可得直线的⽅程为，过点，
所以直线过点，同理直线过点，
所以 ，
所以 ，
因为，，所以 ， 所以 的取值范围是 .
【点睛】关键点睛：第⼆问解题的关键点是利⽤⻙达定理可得直线 的⽅程与直线 过点
，从⽽求出 .