山东省新泰市第一中学2023-2024学年高二上学期第二次质量检测数学试卷(含答案)
展开一、选择题
1、抛物线的焦点到准线的距离为( )
A.B.C.D.4
2、若直线与直线平行,则a的值是( )
A.1或-2B.-1C.-2D.2或-1
3、如图,空间四边形OABC中,,,,点M在上,且,点N为BC中点,则( )
A.B.
C.D.
4、已知双曲线的左、右焦点分别为,,过的直线与C的左支交于A,B两点,且,,则C的渐近线为( )
A.B.C.D.
5、在数列中,,且,则数列的前15项和为( )
A.84B.102C.120D.138
6、已知F是双曲线的下焦点,是双曲线外一点,P是双曲线上支上的动点,则的最小值为( )
A.9B.8C.7D.6
7、已知等差数列的前n项和有最小值,且,则使成立的正整数n的最小值为( )
A.2022B.2023C.4043D.4044
8、已知圆,AB是圆C上的一条动弦,且,O为坐标原点,则的最小值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、已知圆和圆,下列说法正确的是( )
A.两圆的公共弦所在的直线方程为
B.圆O上有2个点到直线的距离为
C.两圆有两条公切线
D.点E在圆O上,点F在圆M上,的最大值为
10、如图的形状出现在南宋数学家扬辉所著的《详解九章算法·商功》中后人称为“三角垛”,“三角垛”最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球,…,设第n层有个球,从上往下n层球的总数为,则( )
A.B.
C.D.不存在正整数,使得为质数
11、如图,在棱长为2正方体中,E,F,G,H分别是,,CD,BC的中点,则下列说法正确的有( )
A.E,F,G,H四点共面
B.BD与EF所成角的大小为
C.在线段BD上存在点M,使得平面EFG
D.在线段上任取一点N,三棱锥的体积为定值
12、法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现:椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点Q的轨迹是以坐标原点为圆心,为半径的圆,这个圆称为蒙日圆.若矩形G的四边均与椭圆相切,则下列说法正确的是( )
A.椭圆C的蒙日圆方程为
B.若G为正方形,则G的边长为
C.若P是直线上的一点,过点P作椭圆C的两条切线与椭圆相切于M,N两点,O是坐标原点,连接OP,当为直角时,或
D.若H是椭圆C蒙日圆上一个动点,过H作椭圆C的两条切线,与该蒙日圆分别交于P,Q两点,则面积的最大值为18
三、填空题
13、已知点F为抛物线的焦点,点P在抛物线上,O为坐标原点,若的面积为2,则O到直线PF的距离为____________.
14、已知数列满足,则__________.
15、在以O为中心,、为焦点的椭圆上存在一点M,满足,则该椭圆的离心率为_____________.
16、已知椭圆,经过仿射变换,则椭圆变为了圆,并且变换过程有如下对应关系:①点变为;②直线斜率k变为,对应直线的斜率比不变;③图形面积S变为,对应图形面积比不变;④点、线、面位置不变(平行直线还是平行直线,相交直线还是相交直线,中点依然是中点,相切依然是相切等).过椭圆内一点作一直线与椭圆相交于C两点A,B,则的面积的最大值为______________.
四、解答题
17、已知数列的前n项和公式为:
(1)求出数列的通项公式,并判断这个数列是否是等差数列;
(2)求的最小值,并求取得最小值时n的值.
18、已知的三个顶点是,,.
(1)求AB边的高所在直线的方程;
(2)若直线l过点C,且点A,B到直线l的距离相等,求直线l的方程.
19、已知圆及点,动点P在圆O上运动,线段MP的中点为Q.
(1)求点Q的轨迹方程;
(2)过点作直线l与Q的轨迹交于A,B两点,满足,求直线l的方程.
20、已知平面内一动点到点的距离比到y轴的距离大1.
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)过点的直线l与C相交于A,B两点,在x轴上是否存在点M使得?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
21、如图,已知四棱锥底面ABCD是菱形,,O为边AD的中点,,,.
(1)证明:;
(2)试判断线段PC上是否存在点M使得二面角的余弦值为,若存在求出点M的位置;若不存在,请说明理由.
22、如图,已知圆,动圆P过点且与圆内切于点N,记动圆圆心P的轨迹为E.
(1)求E的方程;
(2)过点的直线l(不与x轴重合)与E交于A,B两点,点C与点B关于x轴对称,直线AC与x轴交于点Q,已知点,试问是否为定值?若是,请求出该定值,若不是,请说明理由.
参考答案
1、答案:C
解析:由可得抛物线标准方程为:,
所以抛物线的焦点为,准线方程为,
所以焦点到准线的距离为.
故选:C.
2、答案:C
解析:由直线与直线平行,
可得,解得,所以实数a的值为-2.
故选:C.
3、答案:B
解析:因为,点N为BC中点,
所以,,
故
.
故选:B.
4、答案:A
解析:如图.设,,则,
,在中由勾股定理:
,解得:,
在中,由勾股定理:
解得:,所以,
所以渐近线方程为:.
故选:A.
5、答案:C
解析:因为,所以是等差数列,
又,所以等差数列的公差,
所以,所以单调递减,且,
所以的前n项和,
所以数列的前15项和为
.
故选:C.
6、答案:A
解析:F是双曲线的下焦点,
,,,,
上焦点为,
由双曲线的定义可得
,当A,P,H三点共线时,取得最小值9.
故选:A.
7、答案:D
解析:因为等差数列的前n项和有最小值,
所以等差数列的公差,
因为,所以,,
所以,
又因为,
所以,即,故,
所以,
,
当时,;当时,;
故使成立的正整数n的最小值为4044.
故选:D.
8、答案:A
解析:圆,即,
圆心,半径,
设弦AB的中点为H,则,,且,
所以,
所以点H在以C为圆心,1为半径的圆上,所以,
所以的最小值为.
故选:A.
9、答案:BCD
解析:对于C,因为圆,所以圆心,半径为,
因为圆,可化为,
所以圆心,半径为,
则,所以两圆相交,
则两圆有两条公切线,故C正确;
对于A,两圆作差得,即,
所以公共弦所在的直线方程为,故A错误;
对于B,圆心到直线的距离为,
则,
所以圆O上有2个点到直线的距离为,故B正确;
对于D,,故D正确.
故选:BCD.
10、答案:BCD
解析:依题意因为,,,···,
以上n个式子累加可得︰,
又满足上式,所以,故,故A错误;
因,,,,
所以,故B正确;
因为,所以,故C正确;
因为,故当且为整数时,,
此时必为偶数,则为整数,且为合数,
则不存在正整数,使得为质数,D正确,
故选:BCD.
11、答案:AD
解析:以A为原点,以AB,AD,所在直线分别为x轴、y轴、z轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,,,,,,,
设,
则,
所以,解得,
故,即E,F,G,H四点共面,故A正确;
因为,,
所以,
所以BD与EF所成角的大小为,故B错误;
假设在线段BD上存在点M,符合题意,
设,则,
若平面EFG,则,,
因为,,
所以,此方程组无解,
所以在线段BD上不存在点M,使得平面EFG,故C错误;
因为,所以,
又平面EFG,平面EFG,所以平面EFG,
故上的所有点到平面EFG的距离即为B到平面EFG的距离,是定值,
又的面积是定值,
所以在线段上任取一点N,三棱锥的体积为定值,故D正确;
故选:AD.
12、答案:ABC
解析:A选项,,故椭圆C的蒙日圆方程为,A正确;
B选项,由题意,G为圆的内接矩形,
若G为正方形,设G的边长为t,则,解得,故B正确;
C选项,由题意得,直线与的交点即为所求P点,
则,解得或,
故或,故或,C正确.
D选项,由对称性可知,四边形BQHP为矩形,其中PQ为对角线,
且,
故,当且仅当时等号成立,故D错误.
故选:ABC.
13、答案:
解析:,设,因为,所以,不妨取,
则,,则,故O到PF距离为.
故答案为:.
14、答案:
解析:由题,,
则,则数列是以为首项,2为公差的等差数列,
则,,
即答案为.
15、答案:
解析:因为,
所以,
因为与互补,且,
由余弦定理可得,
可得,所以.
故选:C.
16、答案:1
解析:,,,有仿射变换,
椭圆方程变换为:,
变换为,如图所示:
所以:
而:,所以:,即的最大面积为1.
故答案为:1.
17、答案:(1)是等差数列
(2)或8时,最小,最小值是
解析:(1)当时,有.
当时,有
.
又因为,
所以时也成立,
因此数列的通项公式为:.
因为,
所以是等差数列.
(2)(方法一)
因为,
又因为n是正整数,所以当或8时,最小,最小值是.
(方法二)由可知数列是递增的等差数列,
而且首项.
令,可得,
解得,而且0.
由此可知,或8时,最小,最小值是.
18、答案:(1),
(2),
解析:(1)直线AB的斜率为,
所以AB边的高所在直线的斜率为1,
所以AB边的高所在直线的方程为,.
(2)直线AB的斜率为-1,
若直线l与直线AB平行,则直线l的方程为,.
线段AB中点坐标为,
若直线l过,则直线l的方程为,.
19、答案:(1)
(2)或
解析:(1)解法1:设,,
由中点坐标公式可得:
解得:
由于点P在圆上,所以:,
代入可得:
化简可得点Q的轨迹方程为:.
解法2:设线段OM的中点为N,连接NQ,
Q为的中点, ,
点Q的轨迹为以N为圆心,1为半径的圆,则点Q的轨迹方程为:
.
(2)当k不存在时,直线l的方程为.此时圆心Q到直线l的距离为
所以:满足条件.
当k存在时,直线l的方程为,设圆心Q到直线l的距离为d,
则,所以:
而Q到直线l的距离为,解得:
此时直线l方程为:.
综上:满足条件的直线l的方程为:或.
20、答案:(1)
(2)在x轴上存在点使得
解析:(1)动点到定点的距离比到y轴的距离大1,
又,P到F的距离等于P到直线的距离,
动点P的轨迹为以为焦点的抛物线,
轨迹C的方程;
(2)设,,,
直线l过点,
设直线l方程:,
代入,可得,显然,
则,,
得
又,
得
,即
故在x轴上存在点使得.
21、答案:(1)见解析
(2)存在点M使得二面角的余弦值为,此时点M满足
解析:(1)连接PO,因为,所以,
因为底面ABCD是菱形,,所以,
因为O为边AD的中点,
所以,,
因为,
所以,
因此,即,
又因为,所以,
又,平面PAD,平面PAD,所以平面PAD,
又平面PAD,所以,即.
(2)由(1)知OA,OB,OP两两垂直,故以O为坐标原点,
OA,OB,OP为x,y,z轴建立如图示空间直角坐标系,
则,,,,,
于是,,,
令,
则,
取平面OBC的一个法向量为,设平面OBM的一个法向量为,
因为,所以,
又二面角锐二面角且设为,
所以,
即,(负值舍去),
故存在点M使得二面角的余弦值为,此时点M满足.
22、答案:(1)
(2)
解析:(1)设动圆圆心P的坐标为,动圆P的半径为r,
则由已知,,
消去r得,
故动圆圆心P的轨迹是以,为焦点的椭圆,设为,
则,,
则E的方程为;
(2)设直线l的方程为,,,,
联立,消去x得,
,
又直线AC的方程为
令,
得
,
即,
是定值,且为.
2023-2024学年山东省新泰市高二上学期第二次月考数学模拟试题(含答案): 这是一份2023-2024学年山东省新泰市高二上学期第二次月考数学模拟试题(含答案),共9页。
2023-2024学年山东省新泰市第一中学(实验部)高二上学期第二次月考数学试题含答案: 这是一份2023-2024学年山东省新泰市第一中学(实验部)高二上学期第二次月考数学试题含答案,共20页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2023-2024学年山东省新泰市第一中学东校高二上学期第二次质量检测数学试题含答案: 这是一份2023-2024学年山东省新泰市第一中学东校高二上学期第二次质量检测数学试题含答案,共21页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。