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    山东省新泰市第一中学2023-2024学年高二上学期第二次质量检测数学试卷(含答案)

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    这是一份山东省新泰市第一中学2023-2024学年高二上学期第二次质量检测数学试卷(含答案),共20页。试卷主要包含了选择题,多项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。


    一、选择题
    1、抛物线的焦点到准线的距离为( )
    A.B.C.D.4
    2、若直线与直线平行,则a的值是( )
    A.1或-2B.-1C.-2D.2或-1
    3、如图,空间四边形OABC中,,,,点M在上,且,点N为BC中点,则( )
    A.B.
    C.D.
    4、已知双曲线的左、右焦点分别为,,过的直线与C的左支交于A,B两点,且,,则C的渐近线为( )
    A.B.C.D.
    5、在数列中,,且,则数列的前15项和为( )
    A.84B.102C.120D.138
    6、已知F是双曲线的下焦点,是双曲线外一点,P是双曲线上支上的动点,则的最小值为( )
    A.9B.8C.7D.6
    7、已知等差数列的前n项和有最小值,且,则使成立的正整数n的最小值为( )
    A.2022B.2023C.4043D.4044
    8、已知圆,AB是圆C上的一条动弦,且,O为坐标原点,则的最小值为( )
    A.B.C.D.
    二、多项选择题
    9、已知圆和圆,下列说法正确的是( )
    A.两圆的公共弦所在的直线方程为
    B.圆O上有2个点到直线的距离为
    C.两圆有两条公切线
    D.点E在圆O上,点F在圆M上,的最大值为
    10、如图的形状出现在南宋数学家扬辉所著的《详解九章算法·商功》中后人称为“三角垛”,“三角垛”最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球,…,设第n层有个球,从上往下n层球的总数为,则( )
    A.B.
    C.D.不存在正整数,使得为质数
    11、如图,在棱长为2正方体中,E,F,G,H分别是,,CD,BC的中点,则下列说法正确的有( )
    A.E,F,G,H四点共面
    B.BD与EF所成角的大小为
    C.在线段BD上存在点M,使得平面EFG
    D.在线段上任取一点N,三棱锥的体积为定值
    12、法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现:椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点Q的轨迹是以坐标原点为圆心,为半径的圆,这个圆称为蒙日圆.若矩形G的四边均与椭圆相切,则下列说法正确的是( )
    A.椭圆C的蒙日圆方程为
    B.若G为正方形,则G的边长为
    C.若P是直线上的一点,过点P作椭圆C的两条切线与椭圆相切于M,N两点,O是坐标原点,连接OP,当为直角时,或
    D.若H是椭圆C蒙日圆上一个动点,过H作椭圆C的两条切线,与该蒙日圆分别交于P,Q两点,则面积的最大值为18
    三、填空题
    13、已知点F为抛物线的焦点,点P在抛物线上,O为坐标原点,若的面积为2,则O到直线PF的距离为____________.
    14、已知数列满足,则__________.
    15、在以O为中心,、为焦点的椭圆上存在一点M,满足,则该椭圆的离心率为_____________.
    16、已知椭圆,经过仿射变换,则椭圆变为了圆,并且变换过程有如下对应关系:①点变为;②直线斜率k变为,对应直线的斜率比不变;③图形面积S变为,对应图形面积比不变;④点、线、面位置不变(平行直线还是平行直线,相交直线还是相交直线,中点依然是中点,相切依然是相切等).过椭圆内一点作一直线与椭圆相交于C两点A,B,则的面积的最大值为______________.
    四、解答题
    17、已知数列的前n项和公式为:
    (1)求出数列的通项公式,并判断这个数列是否是等差数列;
    (2)求的最小值,并求取得最小值时n的值.
    18、已知的三个顶点是,,.
    (1)求AB边的高所在直线的方程;
    (2)若直线l过点C,且点A,B到直线l的距离相等,求直线l的方程.
    19、已知圆及点,动点P在圆O上运动,线段MP的中点为Q.
    (1)求点Q的轨迹方程;
    (2)过点作直线l与Q的轨迹交于A,B两点,满足,求直线l的方程.
    20、已知平面内一动点到点的距离比到y轴的距离大1.
    (1)求动点P的轨迹C的方程;
    (2)过点的直线l与C相交于A,B两点,在x轴上是否存在点M使得?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
    21、如图,已知四棱锥底面ABCD是菱形,,O为边AD的中点,,,.
    (1)证明:;
    (2)试判断线段PC上是否存在点M使得二面角的余弦值为,若存在求出点M的位置;若不存在,请说明理由.
    22、如图,已知圆,动圆P过点且与圆内切于点N,记动圆圆心P的轨迹为E.
    (1)求E的方程;
    (2)过点的直线l(不与x轴重合)与E交于A,B两点,点C与点B关于x轴对称,直线AC与x轴交于点Q,已知点,试问是否为定值?若是,请求出该定值,若不是,请说明理由.
    参考答案
    1、答案:C
    解析:由可得抛物线标准方程为:,
    所以抛物线的焦点为,准线方程为,
    所以焦点到准线的距离为.
    故选:C.
    2、答案:C
    解析:由直线与直线平行,
    可得,解得,所以实数a的值为-2.
    故选:C.
    3、答案:B
    解析:因为,点N为BC中点,
    所以,,


    故选:B.
    4、答案:A
    解析:如图.设,,则,
    ,在中由勾股定理:
    ,解得:,
    在中,由勾股定理:
    解得:,所以,
    所以渐近线方程为:.
    故选:A.
    5、答案:C
    解析:因为,所以是等差数列,
    又,所以等差数列的公差,
    所以,所以单调递减,且,
    所以的前n项和,
    所以数列的前15项和为
    .
    故选:C.
    6、答案:A
    解析:F是双曲线的下焦点,
    ,,,,
    上焦点为,
    由双曲线的定义可得
    ,当A,P,H三点共线时,取得最小值9.
    故选:A.
    7、答案:D
    解析:因为等差数列的前n项和有最小值,
    所以等差数列的公差,
    因为,所以,,
    所以,
    又因为,
    所以,即,故,
    所以,
    ,
    当时,;当时,;
    故使成立的正整数n的最小值为4044.
    故选:D.
    8、答案:A
    解析:圆,即,
    圆心,半径,
    设弦AB的中点为H,则,,且,
    所以,
    所以点H在以C为圆心,1为半径的圆上,所以,
    所以的最小值为.
    故选:A.
    9、答案:BCD
    解析:对于C,因为圆,所以圆心,半径为,
    因为圆,可化为,
    所以圆心,半径为,
    则,所以两圆相交,
    则两圆有两条公切线,故C正确;
    对于A,两圆作差得,即,
    所以公共弦所在的直线方程为,故A错误;
    对于B,圆心到直线的距离为,
    则,
    所以圆O上有2个点到直线的距离为,故B正确;
    对于D,,故D正确.
    故选:BCD.
    10、答案:BCD
    解析:依题意因为,,,···,
    以上n个式子累加可得︰,
    又满足上式,所以,故,故A错误;
    因,,,,
    所以,故B正确;
    因为,所以,故C正确;
    因为,故当且为整数时,,
    此时必为偶数,则为整数,且为合数,
    则不存在正整数,使得为质数,D正确,
    故选:BCD.
    11、答案:AD
    解析:以A为原点,以AB,AD,所在直线分别为x轴、y轴、z轴,
    建立如图所示的空间直角坐标系,
    则,,,,,,,,,,
    设,
    则,
    所以,解得,
    故,即E,F,G,H四点共面,故A正确;
    因为,,
    所以,
    所以BD与EF所成角的大小为,故B错误;
    假设在线段BD上存在点M,符合题意,
    设,则,
    若平面EFG,则,,
    因为,,
    所以,此方程组无解,
    所以在线段BD上不存在点M,使得平面EFG,故C错误;
    因为,所以,
    又平面EFG,平面EFG,所以平面EFG,
    故上的所有点到平面EFG的距离即为B到平面EFG的距离,是定值,
    又的面积是定值,
    所以在线段上任取一点N,三棱锥的体积为定值,故D正确;
    故选:AD.
    12、答案:ABC
    解析:A选项,,故椭圆C的蒙日圆方程为,A正确;
    B选项,由题意,G为圆的内接矩形,
    若G为正方形,设G的边长为t,则,解得,故B正确;
    C选项,由题意得,直线与的交点即为所求P点,
    则,解得或,
    故或,故或,C正确.
    D选项,由对称性可知,四边形BQHP为矩形,其中PQ为对角线,
    且,
    故,当且仅当时等号成立,故D错误.
    故选:ABC.
    13、答案:
    解析:,设,因为,所以,不妨取,
    则,,则,故O到PF距离为.
    故答案为:.
    14、答案:
    解析:由题,,
    则,则数列是以为首项,2为公差的等差数列,
    则,,
    即答案为.
    15、答案:
    解析:因为,
    所以,
    因为与互补,且,
    由余弦定理可得,
    可得,所以.
    故选:C.
    16、答案:1
    解析:,,,有仿射变换,
    椭圆方程变换为:,
    变换为,如图所示:
    所以:
    而:,所以:,即的最大面积为1.
    故答案为:1.
    17、答案:(1)是等差数列
    (2)或8时,最小,最小值是
    解析:(1)当时,有.
    当时,有
    .
    又因为,
    所以时也成立,
    因此数列的通项公式为:.
    因为,
    所以是等差数列.
    (2)(方法一)
    因为,
    又因为n是正整数,所以当或8时,最小,最小值是.
    (方法二)由可知数列是递增的等差数列,
    而且首项.
    令,可得,
    解得,而且0.
    由此可知,或8时,最小,最小值是.
    18、答案:(1),
    (2),
    解析:(1)直线AB的斜率为,
    所以AB边的高所在直线的斜率为1,
    所以AB边的高所在直线的方程为,.
    (2)直线AB的斜率为-1,
    若直线l与直线AB平行,则直线l的方程为,.
    线段AB中点坐标为,
    若直线l过,则直线l的方程为,.
    19、答案:(1)
    (2)或
    解析:(1)解法1:设,,
    由中点坐标公式可得:
    解得:
    由于点P在圆上,所以:,
    代入可得:
    化简可得点Q的轨迹方程为:.
    解法2:设线段OM的中点为N,连接NQ,
    Q为的中点, ,
    点Q的轨迹为以N为圆心,1为半径的圆,则点Q的轨迹方程为:

    (2)当k不存在时,直线l的方程为.此时圆心Q到直线l的距离为
    所以:满足条件.
    当k存在时,直线l的方程为,设圆心Q到直线l的距离为d,
    则,所以:
    而Q到直线l的距离为,解得:
    此时直线l方程为:.
    综上:满足条件的直线l的方程为:或.
    20、答案:(1)
    (2)在x轴上存在点使得
    解析:(1)动点到定点的距离比到y轴的距离大1,
    又,P到F的距离等于P到直线的距离,
    动点P的轨迹为以为焦点的抛物线,
    轨迹C的方程;
    (2)设,,,
    直线l过点,
    设直线l方程:,
    代入,可得,显然,
    则,,

    又,

    ,即
    故在x轴上存在点使得.
    21、答案:(1)见解析
    (2)存在点M使得二面角的余弦值为,此时点M满足
    解析:(1)连接PO,因为,所以,
    因为底面ABCD是菱形,,所以,
    因为O为边AD的中点,
    所以,,
    因为,
    所以,
    因此,即,
    又因为,所以,
    又,平面PAD,平面PAD,所以平面PAD,
    又平面PAD,所以,即.
    (2)由(1)知OA,OB,OP两两垂直,故以O为坐标原点,
    OA,OB,OP为x,y,z轴建立如图示空间直角坐标系,
    则,,,,,
    于是,,,
    令,
    则,
    取平面OBC的一个法向量为,设平面OBM的一个法向量为,
    因为,所以,
    又二面角锐二面角且设为,
    所以,
    即,(负值舍去),
    故存在点M使得二面角的余弦值为,此时点M满足.
    22、答案:(1)
    (2)
    解析:(1)设动圆圆心P的坐标为,动圆P的半径为r,
    则由已知,,
    消去r得,
    故动圆圆心P的轨迹是以,为焦点的椭圆,设为,
    则,,
    则E的方程为;
    (2)设直线l的方程为,,,,
    联立,消去x得,
    ,
    又直线AC的方程为
    令,

    ,
    即,
    是定值,且为.
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