全等与相似三角形中的基本模型之十字架模型（解析版）

这是一份全等与相似三角形中的基本模型之十字架模型（解析版），共49页。试卷主要包含了矩形中的十字架模型，三角形的十字架模型等内容，欢迎下载使用。
模型1.矩形中的十字架模型（相似模型）
矩形的十字架模型：矩形相对两边上的任意两点联结的线段是互相垂直的，此时这两条线段的的比等于矩形的两边之比。通过平移线段构造基本图形，再借助相似三角形和平行四边的性质求得线段间的比例关系。
如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC，则.
如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC，则.
如图3，在矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，且EF⊥MN，则.
例1．（22·23下·湖南·九年级期中）如图，把边长为，的矩形对折，使点和重合，求折痕的长．
【答案】
【分析】先用勾股定理求的BD，再判断出△MNE∽△DBA，，代值计算即可；
【详解】解：如图，过点作，垂足为，连接，
在中，，，
∴，由折叠得，，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，∴，∴；
【点睛】此题是折叠问题，主要考查了折叠的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是判断出△MNE∽△DBA．
例2．（22·23下·山东·九年级期中）如图，在矩形中，，，在上有一点，若，则和之间有什么数量关系？然后请证明．
【答案】，见解析
【分析】由同角的余角相等，得到，然后证明，由相似三角形的性质，即可得到答案．
【详解】解：.
证明如下：∵四边形为正方形，，，
∴，，，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，以及同角的余角相等，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，正确得到．
例3．（江苏2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题）【探究证明】
（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明：如图①，在矩形中，，分别交于点E、F，分别交于点G、H，求证：；
【结论应用】（2）如图②，将矩形沿折叠，使得点B和点D重合，若，求折痕的长；
【拓展运用】（3）如图③，将矩形沿折叠．使得点D落在边上的点G处，点C落在点P处，得到四边形，若，求的长．

【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）如图，过作交于，过作交于，由矩形，可得，，则四边形、均为平行四边形，，，证明，即可证明，则，；
（2）由矩形的性质可得，由勾股定理得，由（1）可知，，即，计算求解即可；（3）如图，过点作交延长线于，由（1）可知，，即，解得，由勾股定理得，由折叠的性质可得，，，，设，则，在中，结合勾股定理即可解得，即，再证明，则，计算求解和的值，进而可得的长．
【详解】解：（1）如图，过作交于，过作交于，

∵四边形是矩形，∴，，，
∴四边形、均为平行四边形，∴，，
∵，，∴，
∴，∴，
又∵，∴，∴，∴；
（2）如图所示，连接，∵四边形是矩形，∴，，
由勾股定理得，
∵将矩形沿折叠，使得点B和点D重合，∴，
由（1）可知，，即，∴，∴的长．
（3）如图所示，过点作交延长线于，由折叠的性质可得，
由（1）可知，，即，解得，
∴在中，由勾股定理得，∴，
由折叠的性质可得，，，，
设，则，
∴在中，由勾股定理得，∴，
解得，∴，，
∵，∴，
又∵，∴，
∴，即，解得，，∴，
在中，由勾股定理得．
【点睛】本题考查了正方形、矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，折叠等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用以及正确作出辅助线构造相似三角形．
例4．（江苏2022-2023学年九年级10月诊断性抽测数学试题）【探究证明】：（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明．
如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H．求证：；【结论应用】：（2）如图2，在满足（1）的条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上，若，则的值为____________；【联系拓展】：（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=8，BC=CD=4，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，则=____________．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，如图1，得出AP=EF，GH=BQ，△PDA∽△QAB，然后运用相似三角形的性质就可解决问题；（2）只需运用（1）中的结论，就可得到
（3）过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3，得出四边形ABSR是矩形，由（1）中的结论可得设SC=x，DS=y，则AR=BS=4+x，RD=8-y，在Rt△CSD中根据勾股定理可得x2+y2=16①，在Rt△ARD中根据勾股定理可得（4+x）2+（8-y）2=64②，解①②就可求出x，即可得到AR，问题得以解决．
【详解】解：（1）过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，如图1，
∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC．
∴四边形AEFP、四边形BHGQ都是平行四边形，∴AP=EF，GH=BQ．
又∵GH⊥EF，∴AP⊥BQ，∴∠QAT+∠AQT=90°．
∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=∠D=90°，∴∠DAP+∠DPA=90°，
∴∠AQT=∠DPA．∴△PDA∽△QAB，∴∴

（2）如图2，∵EF⊥GH，AM⊥BN，
∴由（1）中的结论可得，∴ ∵∴
（3）过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3，
则四边形ABSR是平行四边形．∵∠ABC=90°，∴平行四边形ABSR是矩形，
∴∠R=∠S=90°，RS=AB=8，AR=BS．∵AM⊥DN，∴由（1）中的结论可得
设SC=x，DS=y，则AR=BS=4+x，RD=8-y，∴在Rt△CSD中，x2+y2=16①，
在Rt△ARD中，（4+x）2+（8-y）2=64②，
解由②、①组成的方程组得：，（舍去）∴AR=4+x= ，∴
【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解二元二次方程组等知识，运用（1）中的结论是解决第（2）、（3）小题的关键．
模型2.三角形的十字架模型（全等+相似模型）
1）等边三角形中的斜十字模型（全等+相似）：
如图1，已知等边△ABC，BD=EC（或CD=AE），
则①AD=BE，②AD和BE夹角为60°，③。

2）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）：
如图2，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：1，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。
3）直角三角形中的十字模型：
如图3，在三角形ABC中，BC=kAB，AB⊥BC，D为BC中点，BF⊥AD，则AF：FC=2：k2，（相似）
例1.（22-23.广东九年级期中）如图，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且BD＝CE，AD与BE相交于点P．下列结论：①AE＝CD；②AP＝BE；③∠PAE＝∠ABE；④∠APB＝120°，其中正确的结论共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】先根据SAS定理得出△ABD≌△BCE，结合全等三角形的性质及三角形外角的性质进行判断．
【解答】解：①因为AC＝BC，BD＝CE，所以AE＝CD．故①正确，
②∵△ABC是等边三角形，∴∠ABD＝∠C＝60°，AB＝BC．
在△ABD与△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS）；∴AD＝BE．故②错误；
③由②知△ABD≌△BCE，所以∠DAB＝∠CBE，则∠PAE＝∠ABE，故③正确；
④∵由②知△ABD≌△BCE．∴∠BAD＝∠EBC，∴∠BAD+∠ABP＝∠ABD＝60°．
∵∠APE是△ABP的外角，∴∠APE＝∠BAD+∠ABP＝60°，∴∠APB＝120°，故④正确．故选：C．
例2．（22·23上·莆田·阶段练习）如图，等边的边长是6，点E，F分别在边上，，连接，相交于点P．
(1)求的度数；(2)若，求的值．
【答案】(1)(2)12
【分析】（1）证明，利用等边三角形的性质和三角形的内角和定理即可得解；
（2）证明，利用对应边对应成比例列式计算即可．
【详解】（1）解：∵是等边三角形，
∴，
又∵，∴，∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，∴
∴，∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质．根据等边三角形的性质和已知条件证明三角形全等是解题的关键．
例3．（22·23·南通·模拟预测）如图，已知是等边内的一点，且，延长，，分别交，于点D，E．若，，则的周长等于 ．

【答案】
【分析】作于点F，在等边中，，，可求，，根据勾股定理可求，再利用相似三角形的判定定理可得，根据相似三角形的性质得，即，求得，，，即可求的周长．
【详解】解：如图，作于点F，

∵在等边中，，∴，
由勾股定理得，，∵，∴，
在中，，
∵P是等边内的一点，且，∴，
∵，∴，又∵，∴，
∴，即，解得，，∴，
∴的周长．故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质，作出辅助线，求出的长是解题的关键．
例4．（22·23上·衢州·期末）如图，在等边ABC的AC，BC边上各取一点E，D，使AE＝CD，AD，BE相交于点O．（1）求证：AD＝BE；（2）若BO＝6OE，求CD的长．
（3）在（2）的条件下，动点P在CE上从点C向终点E匀速运动，点Q在BC上，连结OP，PQ，满足∠OPQ＝60°，记PC为x，DQ的长为y，求y关于x的函数表达式．
【答案】（1）见解析；（2）2；（3）
【分析】（1）只需要证明△BAE≌△ACD即可得到 答案 ；
（2）证明△CAD∽△OAE得到，然后求出OE和AD的长即可；
（3）过点E作EF⊥AB于F，过点O作OG∥AB交AC于G，先求出∴，，，从而得到三角形ABC的边长为6，再证明△OGE∽△BAE，得到，，，，最后证明△PQC∽△OPG，，由此求解即可．
【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，
又∵AE=CD，∴△BAE≌△ACD（SAS），∴AD=BE；

（2）由（1）得△BAE≌△ACD，∴∠ABO=∠CAD，AD=BE
∴∠BAO+∠ABO=∠AOE=∠EAO+∠BAO=∠BAC=∠C=60°，
又∵∠CAD=∠OAE，∴△CAD∽△OAE，∴，
∵，∴，∴，
∵CD=AE，∴，∴CD=2；
（3）如图所示，过点E作EF⊥AB于F，过点O作OG∥AB交AC于G，
∵∠FAG=60°，∠AEF=30°，∴，∴，
∴，∴，
∵OG∥AB，∴△OGE∽△BAE，∠OGE=∠BAC=60°
∴，∴，，∴，
∵∠AOE=60°，∴∠OEP=∠AOE+∠OAE=60°+∠OAE，
∵∠EPQ=∠C+∠PQC=∠OPQ+∠OPE，∠C=∠OPQ=60°，
∴∠OPE=∠CQP，∴△PQC∽△OPG，∴，
∵，
∴，∴，∵，∴．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
例5．（22·23上·合肥·阶段练习）如图，在RtABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，AE是BC边上的中线，过点B作BD⊥AE于点H，交AC于点D，则AD的长为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【分析】过点作于点，先根据等腰直角三角形的性质可得，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得，设，从而可得，然后根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得，从而可得的长，最后根据线段的和差即可得．
【详解】解：如图，过点作于点，
是的中线，，，
在中，，，
是等腰直角三角形，，
设，则，
，，，
在和中，，，
，即，解得，，
，故选：B．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．
例6．（22·23·内江·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D是线段AB上的一点，连接CD．过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF，给出以下三个结论：①；②若点D是AB的中点，则AF=AB；
③若，则S△ABC=6S△BDF；其中正确的结论的序号是（ ）
A．①②③B．①③C．①②D．②③
【答案】C
【分析】①先证明△AFG∽△CFB，然后根据相似三角形的性质得；
②由点D是AB的中点，易证得，再根据AC=AB即可求解；
③先判断出AF=AC，进而得出S△BDF=S△ABC，即S△ABC=12S△BDF．
【详解】∵∠ABC=90°，∠GAD=90°，∴AG//BC，∴△AFG∽△CFB，∴，
∵AB=BC，∴，故①正确．∵∠BCD+∠EBC=∠EBC+∠ABG=90°，∴∠BCD=∠ABG，
∵AB=BC，∠CBD=∠BAG=90°，∴△CBD≌△BAG，∴AG=BD，
∵BD=AB，∴，∴，∴，∵AC=AB，∴AF=AB，故②正确；
∵AG=BD，， ∴，∴，
∵，∴，∴AF=AC，∴S△ABF=S△ABC；
∵S△BDF=S△ABF，∴S△BDF=S△ABC，即S△ABC=12S△BDF，故③错误；故选C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，比例的基本性质，同底的两三角形的面积比是高的比，解本题的关键是用比例的基本性质推导线段的比，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
例7．（22-23下·武汉·二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D，E分别是边BC，AB上的点，∠ADC＝∠EDB，过点E作EF⊥AD，垂足为F，交AC于点G．
(1)如图（1），求证：△AGE∽△BDE；(2)如图（2），若点G恰好与顶点C重合，求证：BD＝CD；
(3)如图（1），若＝，直接写出的值．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)
【分析】（1）由题意易得出，从而得出．再根据等腰直角三角形的性质可知，即可证明；（2）过点B作交CE延长线于点M．由相似三角形的性质可知，．再根据平行线的性质和对顶角的性质可间接证明，．再由，即可证明，得出，．又易证，结合AC=CB，可证明，即可证明，从而证明；（3）过点E作于点T．设CD=a，即得出，．设DT=x，则．又易证，得出，从而可求出．由所作辅助线可知为等腰直角三角形，得出，，进而可求出．由，可求出．再根据相似三角形的性质得出，代入数据，即可求出，从而即可求出．
【详解】（1）证明：∵∠ACB＝90°，EF⊥AD，
∴，，∴．
∵，∴．
∵AC＝BC，∴，∴；
（2）如图，过点B作交CE延长线于点M．

∵，∴，．
∵，∴，∴．
∵，∴．
又∵，∴，∴，．
∵，∴，∴．
又∵AC=CB，∴，∴，∴；
（3）如图，过点E作于点T．设CD=a．
∵，∴，．设DT=x，则．
∵，，∴，∴，即，∴．
∵，∴为等腰直角三角形，∴，，
∴，∴．∵，∴．
∵，∴，即，∴，∴．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质以及勾股定理．正确的作出辅助线是解题的关键．
例8．（22·23下·鹰潭·一模）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：【观察与猜想】(1)如图①，在正方形中，点，分别是、上的两点，连接，，，求证．【类比探究】(2)如图②，在矩形中，，，点是边上一点，连接，，且，求的值．【拓展延伸】(3)如图③，在中，，点在边上，连接，过点作于点，的延长线交边于点若，，，求的值．
【答案】(1)见解析(2)(3)
【分析】（1）根据同角的余角相等，利用证明即可；
（2）根据同角的余角的相等，得，证明∽，则；
（3）过点作，延长交于点，首先根据，可得，则，再由同理得，得，进而解决问题．
【详解】（1）证明：如图，设与的交点为，

四边形是正方形，，，
，，，，
，在和中，，；
（2）解：如图，设与交于点，四边形是矩形，，
，，，，，
，，；
（3）解：如图3，过点作，延长交于点，
在中，，，，，
，，
，，，
，，，，
又，，，
，．
【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形中十字架模型是解题的关键．
课后专项训练
1．（22·23上·宜宾·期中）如图，在中，，点D是的中点，连结，过点B作分别交于点E、F．与过点A且垂直于的直线相交于点G，连接，现给出以下几个结论：①；②；③点F是的中点；④；⑤．
其中所有正确的结论是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①④⑤
【答案】B
【分析】根据题意证明，进而可确定①；由，，得出，进而判断结论② ，由，可得由，进而判断结论③，可得，进而由可得，即可判断③，根据，以及是的中点即可判断④和⑤．
【详解】依题意得，，，
，，，
又，，故①正确；
如图，标记如下角，
，，，，
，，∴，故②正确；
在与中，（ASA），，
又点是的中点，，，
，，
，，，
在与中，（SAS），，
是直角三角形，，，即点不是线段的中点，故③不正确；
是等腰直角三角形，，
，，
，，，，故④正确；
，，点是的中点，，
，即，故⑤错误．综上所述，①②④正确．故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形中线的性质，证明与是解题的关键．
2．（22·23下·重庆·阶段练习）如图，在正方形中，﹐E，F分别为，的中点，连接、，交于点G，将沿翻折得到，延长交延长线于点Q，连接，则的面积是（ ）
A．B．25C．20D．15
【答案】D
【分析】由已知可求QF=QB，在Rt△BPQ中，由勾股定理求得，可求出S△BQF=25，再证明△ABE≌△BCF（SAS），△BGE∽△BCF，由此得BF，GE，BG，过点G作GN⊥AB交AB于N，可证明△ANG∽△ABE，再由GA=AE-GE，可求得GN，根据S△QGF=S△BQF-S△BQG即可求解．
【详解】解：将沿翻折得到，PF=FC，∠PFB=∠CFB，
四边形是正方形∠FPB=90°，CD∥AB，
∴∠CFB=∠ABF，∴∠ABF=∠PFB，∴QF=QB，
∵PF=FC=，PB =AB=2，
在Rt△BPQ中，，∴，
∴QB=，∴S△BQF=，
∵AB=BC，BE=CF，∠ABE=∠BCF=90°，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠AEB=∠BFC，
又∵∠EBG=∠CBF，∴△BGE∽△BCF，，
∵CF=，BC=2，∴BF=5，∴GE=，BG=2，
过点G作GN⊥AB交AB于N，
∵∠GAN=∠EAB，∠ANG=∠ABE=90°，∴△ANG∽△ABE，∴
∵GA=AE-GE =∴GN=∴S△BQG=×QB×GN==10，
∴S△QGF=S△BQF-S△BQG=25-10=15，故选：D．
【点睛】本题考查折叠的性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质、三角形相似的判定和性质是解题关键．
3．（22·23·德州·二模）如图，正方形ABCD中，点E为BC边上的一点，连接AE，过点D作DM⊥AE，垂足为点M，交AB于点F．将△AMF沿AB翻折得到△ANF．延长DM，AN交于点P． 给出以下结论①；②；③；④若，则；．其中正确的是（ ）
A．①②③④B．①②③C．①②④D．③④
【答案】A
【分析】根据正方形的性质和余角的性质证明∠BAE=∠ADM，从而得到△ABE≌△DAF，可判断①；再由翻折的性质证明∠FAN=∠FAM=∠ADM，从而可得，得到，可判断③；再由得到相似比，可得面积之比，可判断④.
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB，∠ABC=∠BAD=90°，∴∠BAE+∠DAE=90°，
∵DM⊥AE，∴∠DMA=90°，即∠ADM+∠DAM=90°，
∴∠BAE=∠ADM，∴△ABE≌△DAF（AAS），故①正确；
∵△ANF由△AMF翻折得到，∴∠FAN=∠FAM=∠ADM，
∵∠P=∠P，∴，故②正确；
∴，∴，故③正确；
∵，∴AF：AD=2:3,则△APF和△DPA的相似比为2:3，
∴，∴，故④正确.故选A.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是读懂题意，根据已知条件证明.
4．（2023.江苏九年级期中）如图，在正方形中，为对角线，E为上一点，过点E作，与，分别交于点H、F，G为的中点，连接，，，．下列结论：①；②为等腰直角三角形；③：④若，则．其中正确的结论有（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【详解】设交于，过点作于．
∵四边形为正方形，，∴，
∴是等腰直角三角形，∴，
∴ ，即，故①正确，
∵，∴，∴，
∴，∴ ，，∵，

∴，∴是等腰直角三角形，故②正确，
∵，∴，
与不相似，故③错误，
，∴可以假设，则，
，，
是等腰直角三角形，，
，，
，故④错误，故选：．
5．（江苏2022-2023学年九年级月考数学试题）如图，在中，，，，垂足为，为的中点，与交于点，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】连结DE，根据勾股定理求出，然后证出DE是△ABC的中位线，得到DE∥AC，则△DEF∽△CAF，即可解决问题．
【详解】解：连结DE，如图所示，
在Rt△ABC中，，，∴，∴，
∵，为的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AC，∴△DEF∽△CAF，
∴，∴EF=AF，∵EF+AF=AE，∴EF==．故选D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中心性质，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理等知识．熟练掌握中位线定理，证明三角形相似是解题的关键．
6．（22·23下·贵港·一模）如图，在等边的，边上各任取一点，，且，，相交于点，下列三个结论：①若PC=2AP，则BO=6PO；②若，，则，③，其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】D
【分析】根据等边三角形的性质得到，根据线段的和差得到，过作交于，根据相似三角形的性质得到正确；过作于，解直角三角形得到正确；在根据全等三角形的性质得到，，根据相似三角形的性质得到正确．
【详解】解：是等边三角形，，
，，，，
过作交于，
∽，∽，，，
，，；故①正确；
过作于，则，
，，，，故正确；
在等边中，，，
在与中，，≌，，，
，∽，，，
故正确；故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
7．（2023.江苏九年级期中）如图，在正方形中，，点E，F分别在边，上，与相交于点G，若，则的长为 ．
【答案】
【详解】解：四边形是正方形，，，
，，，
，，，，
又，，，
，，，
，．故答案为：．
8．（22·23·山西·模拟预测）如图，中，，，点是边的中点，过点作，垂足为，延长交于点，则的长为 ．
【答案】
【分析】延长AD至G，使得DG=AD，连接CG，证明△ABD≌△GCD可得CG=AB，借助勾股定理和等面积法分别求出AE、EG、AB，再证明△AEF∽△GEC，根据相似三角形对应边成比例可求得AF，由此可求得FB．
【详解】解：延长AD至G，使得DG=AD，连接CG，
在△ABD和△GCD中，
∵ ,∴△ABD≌△GCD，∴∠G=∠GAB，CG=AB，
中，∵，，∴，
∵是边的中点，∴,∴，
∵，∴，
∴，即，即，
∴，，
∴，
在△AEF和△GEC中，∵，∴△AEF∽△GEC，
∴，即，解得，∴．故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定．能正确作出辅助线和借助勾股定理与等面积法求出相应线段的长度是解题关键．
9．（22·23上·深圳·期中）如图，在边长为7的等边中，D、E分别在边上，，，连接交于点P，则的长为 ．
【答案】
【分析】连接，取中点F，连接．由等边三角形的性质结合题意和所作辅助线易证为等边三角形，即得出，从而又易证，再根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理可求出，．易证，得出，从而可求出．即又易证，得出，进而证明，得出，代入数据，即可求出的长．
【详解】如图，连接，取中点F，连接．
∵为等边三角形，∴，．
∵，，∴．
∵，∴，∴为等边三角形，
∴，∴，∴，
∴．
∵在和中，，∴，
∴，∴，∴．
又∵，∴，∴，
∴，∴，∴，即，
解得：．故答案为：．
【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，综合性强，较难．正确作出辅助线是解题关键．
10．（22·23下·重庆·九年级期中）（1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：．
【问题解决】（2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：．
【类比迁移】（3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长．

【答案】（1）证明见解析，（2）证明见解析，（3）3
【分析】（1）由矩形的性质得，再证，即可得出结论；
（2）证，得，再证，得，然后由平行线的性质得，即可得出结论；
（3）延长至点，使，连接，，得，，再证是等边三角形，得，即可解决问题．
【详解】（1）证明：四边形是矩形，，，
，，，，；
（2）证明：四边形是正方形，，，，
，，，
，，点在的延长线上，，
又，，，
，，；
（3）解：如图3，延长至点，使，连接，

四边形是菱形，，，，
，，，
，，是等边三角形，，
，，即的长为3．
【点睛】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质、正方形的性质和菱形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
11．（福建2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试题）（1）如图①，在正方形中，为边上一点（点不与点重合），连接，过点作，交于点，则与的数量关系是： ；
问题探究：（2）如图②，在矩形中， ，，点，分别在边、上，点为线段上一动点，过点作的垂线分别交边、于点、点．若线段恰好平分矩形的面积，且，求的长；
问题解决：（3）如图③，在正方形中，为上一点，且，、分别为、上的动点，且，若，求的最小值．
【答案】（1）=；（2）；（3）
【分析】（1）证明△ABF≌△DAE（AAS），得DE=AF；（2）先判断EF过矩形的对称中心，作DI∥EF，AJ∥GH，证明△ADI∽△BAJ，从而求出BJ，进而求得；（3）设DF=a，则BE=2a，ME+2AF最小值可以看作在平面直角坐标系中，点H（2a，0）到定点I（3，4），J（0，8）的距离之和最小，进而求得．
【详解】解：（1）如图1，DE=AF，理由如下：
在正方形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，AD=AB，∴∠BAF+∠AFB=90°，
∵AF⊥DE，∴∠AOE=90°，∴∠BAF+∠AED=90°，
∴∠AFB=∠AED，∴△ABF≌△DAE（AAS），∴DE=AF，故答案是“=”；

（2）如图2，连接AC，交EF于O，
∵线段EF恰好平分矩形ABCD的面积，∴O是矩形的对称中心，∴BE=DF=1，
作DI∥EF，AJ∥GH，∵四边形ABCD是矩形，∴DF∥IE，
∴四边形DIEF是平行四边形，∴EI=DF=1，∴AI=AB-BE-EI=2，同理可得，AJ=GH，
∵EF⊥GH，∴DI⊥AJ，由（1）得，∠AID=∠AJB，
∴△ADI∽△BAJ，，，，
在Rt△ABJ中由勾股定理得，,
（3）如图3，作EG⊥AD于G，∵∴AM=3，
设DF=a，则BE=2a，∴GM=AM-AG=3-2a，在Rt△ADF中，,
在Rt△EGM中，
∴，，
ME+2AF最小值可以看作在平面直角坐标系中，点H（2a，0）到定点I（3，4），J（0，8）的距离之和最小，如图4，作J的对称点K，连接KI，
则KI与x轴的交点是H点，此时ME最小，作IK⊥y轴于T，
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是数形结合．
12．（22·23下·武汉·阶段练习）如图1，在中，，为边上一点，．
(1)求证：；(2)如图2，过点作于，交于点，若，求的值；
(3)如图，为延长线上一点，连接，且，若直接写出的值（用含的代数式表示）．
【答案】(1)见解析(2)(3)
【分析】（1）根据角相等证明Rt与Rt相似，然后根据对应边成比例，根据比例性质变换即可证明；（2）过点作，交的延长线于点，设，先证，再由得到为中位线，，再证≌，得到，得到，再由∽，得到；（3）作，作，交于，交于，设，根据锐角三角函数可求出，，证明，表示出，根据，而，得到，然后表示，进而求出；
【详解】（1）证明：∵，
∴∽，∴∴
（2）解：过点作，交的延长线于点，
∵，∴设，，∴，
∵，∴，
∴，，∴，
∵，，∴，∴，，∴，
∵，，∴≌，
∴，，∴，
∵，∴∽，∴．
（3）解：作，作，交于，交于；
设，∵
∴∴即：
∴，即∴，
∵，∴∴，
又∵∴
∴，∴，∴为中点
又，，∴，∴在Rt中，为中位线，
∴，∴，∴，
∵，而，∴，
而由可得，，∴∴为的角平分线，
又∴为的中线，，∴ ∴．
【点睛】本题考查了相似三角形、全等三角形、平行线分线段成比例、锐角三角函数等知识，正确作出辅助线，构造线段相等进行等量代换是求解的关键．
13．（21·22下·芜湖·一模）如图，在等边的边上各取一点E，D，使相交于点O．(1)求证：；(2)若，求的长．(3)在（2）的条件下，动点P在从点C向终点E匀速运动，点Q在上，连结，满足，记为x，的长为y，求y关于x的函数表达式，并写出x的取值范围．
【答案】(1)见解析(2)2(3).
【分析】（1）只需要证明△BAE≌△ACD即可得到 答案 ；
（2）证明△CAD∽△OAE得到，然后求出OE和AD的长即可；
（3）过点E作EF⊥AB于F，过点O作OG∥AB交AC于G，先求出∴，，，从而得到三角形ABC的边长为6，再证明
△OGE∽△BAE，得到，，，，最后证明△PQC∽△OPG，，由此求解即可．
【详解】（1）解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，
又∵AE=CD，∴△BAE≌△ACD（SAS），∴AD=BE；
（2）解：由（1）得△BAE≌△ACD，∴∠ABO=∠CAD，AD=BE
∴∠BAO+∠ABO=∠AOE=∠EAO+∠BAO=∠BAC=∠C=60°，
又∵∠CAD=∠OAE，∴△CAD∽△OAE，∴，
∵，∴，∴，
∵CD=AE，∴，∴CD=2；
（3）解：如图所示，过点E作EF⊥AB于F，过点O作OG∥AB交AC于G，有（2）得，
∵∠FAG=60°，∠AFE=30°，∴，∴，
∴，∴，∴，
∵OG∥AB，∴△OGE∽△BAE，∠OGF=∠BAC=60°
∴，∴，，∴，
∵∠AOE=60°，∴∠OEP=∠AOE+∠OAE=60°+∠OAE，
∵∠EPQ=∠C+∠PQC=∠OPQ+∠OPE，∠C=∠OPQ=60°，
∴∠OPE=∠CQP，∴△PQC∽△OPG，∴，
∵，
∴，∴，∵，∴．
∵动点P在CE从点C向终点E匀速运动，且满足，∴.
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
14．（22·23下·合肥·三模）已知：如图，等边中，点、分别在、边上，且，、相交于点，连接．

(1)当时，的度数为______；(2)当时，①求的值；②求证：．
【答案】(1)120°；(2)①；②见解析．
【分析】（1）根据，是等边三角形，通过点是外心即可求出度数；
（2）①作平行线构造相似三角形，得到边与边之间的数量关系，再利用等边三角形的性质证明三角形全等，进行等线段代换即可；
②取中点，证明和全等，即可证明．
【详解】：（1）∵是等边三角形，∴，，
∵，，∴,
∴，，∴点是的外心，
∴．故填：．
（2）①过作交延长线于.交延长线于．

，，
∴，，
，，
为等边三角形，，，
，，，
设，则，，
，，，，，
②由①得：， ∴，
，取中点，连接，

由①得，，
，，，，
，，
，即．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定，解此题的关键是添加辅助线构造相似三角形．
15．（22·23上·咸阳·期末）【问题探究】
(1)如图①，在矩形中，点E为边上一点，于点F，点G为边上一点，连接，过点E作于点P，交于点H，求证：；
(2)【问题解决】如图②，矩形为某开发区的一片空地，点E、F分别为边、上的点，经测量，米，米，开发商现欲在边上找一点，使得四边形的面积为67600平方米，设计人员的设计过程如下：
①以点F为圆心，任意长为半径画弧，交于M、N两点；
②分别以点M、N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P；
③连接并延长，分别交、于点H、G．
请问：若按上述作法，得到的点G是否符合要求？请证明你的结论．
【答案】(1)见解析 (2)得到的点G符合要求，证明见解析
【分析】（1）由矩形，可得，，利用互余可得，从而可证得；
（2）由作图步骤可知，利用（1）的思路可证得，，利用矩形的性质可得米，利用勾股定理可得米，再利用相似三角形列出比例式，求得米，从而通过计算出的面积即可判断点G是否符合要求．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，∴．
∵于点P，∴，
∴，∴．
又∵，∴．
（2）解：得到的点G符合要求，理由如下：
过点F作于点K，如图②．
由作图过程可知，于点H，即，
∵四边形是矩形，∴，∴．
又∵，∴．
∵，∴四边形是矩形，∴．
∵米，米，∴米，米．
∵，∴，即，解得米，
∴（平方米），
∴得到的点G符合要求．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质及尺规作图作垂线，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
16．（广西2023年中考模拟数学试题）如图1，在正方形中，点是边上的一个动点（点与点不重合），连接，过点作于点，交于点．
（1）求证：；（2）如图2，当点运动到中点时，连接，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点作于点，分别交于点，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）.
【分析】（1）先判断出，再由四边形是正方形，得出，，即可得出结论；
（2）过点作于，设，先求出，进而得出，再求出，，再判断出，进而判断出，即可得出结论；
（3）先求出，再求出，再判断出，求出，再用勾股定理求出，最后判断出，得出，即可得出结论.
【详解】（1）证明：∵，
∴，∴，
∵四边形是正方形，∴，
∴，∴，∴；
（2）证明：如图2，过点作于，
设，∵点是的中点，∴，∴，
在中，根据面积相等，得，
∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∴，∴，
∵，∴，∴；
（3）解：如图3，过点作于，
，∴，
在中， ，∴，
∵，
∴，∴，∴，∴，
在中，，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，∴，∴
【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出是解本题的关键.
17．（22·23下·成都市·九年级期中）已知四边形中，、分别是、边上的点，与交于点．（1）如图①，若四边形是矩形，且，求证：； （2）如图②，若四边形是平行四边形，试探究：当与满足什么关系时，成立？并证明你的结论；（3）如图③，若，，，，请直接写出的值．

【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）
【分析】（1）由矩形的性质得出，由角的互余关系得出，即可得出；
（2）在的延长线上取点，使，由等腰三角形的性质得出．由平行四边形的性质得出，，证出，得出，因此．证明，得出对应边成比例，即可得出结论；
（3）连接、，交于点，作于，由勾股定理求出，由证明，得出，由等腰三角形的性质得出，，证明，得出对应边成比例求出，由勾股定理求出，由的面积求出，证明，得出对应边成比例，即可得出结果．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，∴，
又∵，，
∴，∴；
（2）解：当时，成立，理由如下：
如图所示，在的延长线上取点，使，则．

∵四边形是平行四边形，∴，，
∴，，
∵，∴，
又∵，∴，
∴． ∴，∴，∴；
（3）解：如图所示，连接、，交于点，作于，
∵，，，∴，
在和中，，∴，∴，
∵，∴，，∴，
又∵，∴，∴，
∴，即，∴，
∴，∴，
∵，∴，解得，
∵，∴，∴，
又∵，∴，
∵，∴，∴，∴．
【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线，构造相似三角形是解答本题的关键．
18．（22·23上·莆田·期中）已知正方形，点为边的中点．
（1）如图1，点为线段上的一点，且，延长、分别与边、交于点、．
①求证：；②求证：．
（2）如图2，在边上取一点，满足，连接交于点，连接并延长交于点，求的值．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）
【分析】（1）①根据正方形的性质及∠ABG+∠BAG=90°证明△ABE≌△BCF即可求解；
②由直角三角形斜边上的中线性质得到MG=MA=MB，得到∠GAM=∠AGM，再证明△CGE∽△CBG得，由BE=CF=CG可得答案；
（2）延长AE、DC交于点N，证△CEN∽ΔBEA，故由AB=BC， ，知CN=BE，再由 且AM=MB，得到FC=CN=BE，设正方形的边长为a， BE=x，由，求出BE的长，即可求得．
【详解】解：（1）①∵四边形是正方形，
∴，，∴，
∵，∴，∴，
∵，，∴，∴，
②∵，点为的中点，
∴，∴，
又∵，，∴，
又，∴，∴，即，
由得，
由①知，∴，∴；
（2）延长、交于点，
∵四边形是正方形，∴，∴，
又∵，∴，∴，即，
∵，，∴，
∵，∴，∵，∴；
不妨设正方形的边长为1，，由可得，
解得：，（舍），∴，
则．
【点睛】此题主要考查相似三角形综合问题，解题的关键是熟知正方形与直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质.
19．（22-23·赤峰·模拟预测）问题情境：如图1，在正方形中，为边上一点（不与点、重合），垂直于的一条直线分别交、、于点、、．则、、之间的数量关系为 ．问题探究：在“问题情境”的基础上．
如图2，若垂足恰好为的中点，连接，交于点，连接，并延长交边于点求的度数；如图3，当垂足在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点落在点处，若正方形的边长为，的中点为，求的最小值．
问题拓展：如图4，在边长为的正方形中，点、分别为边、上的点，将正方形沿着翻折，使得的对应边恰好经过点，交于点分别过点、作，，垂足分别为、,若，请直接写出的长．
【答案】问题情境：问题探究：（1）；（2）2问题拓展：
【分析】问题情境：过点作分别交、于点、，证出四边形为平行四边形，得出，证明≌得出，即可得出结论；
问题探究：（1）连接，过点作，分别交、于点、，证出是等腰直角三角形，，，证明≌得出，得出是等腰直角三角形，得出，即可得出结论；
（2）连接交于点，则的直角顶点在上运动，设点与点重合时，则点与点重合；设点与点重合时，则点的落点为，由等腰直角三角形的性质得出，当点在线段上运动时，过点作于点，过点作交延长线于点，连接，证明≌得出，证明≌得出，，由正方形的性质得出，易得出，得出，，得出，故，点在线段上运动；过点作，垂足为，即可得出结果；
问题拓展：延长交于，交的延长线于，延长交于，则，，得出，由勾股定理得出，得出，证明∽，得出，，证明∽，得出，由折叠的性质得：，，，求出，，证明∽，得出，，证明∽，得出，得出．
【详解】问题情境：
解：线段、、之间的数量关系为：；理由如下：
四边形是正方形，，，，
过点作分别交、于点、，如图所示：

四边形为平行四边形，，
，，，
，，
在和中，，≌，，
，；
问题探究：解：（1）连接，过点作，分别交、于点、，如图所示：
四边形是正方形，四边形为矩形，，，，
是正方形的对角线，，是等腰直角三角形，，，
是的垂直平分线，，
在和中，，≌，
，，，是等腰直角三角形，
，即；
（2）连接交于点，如图所示：则的直角顶点在上运动，
设点与点重合时，则点与点重合；设点与点重合时，则点的落点为，
，，，
当点在线段上运动时，过点作于点，过点作交延长线于点，连接，
点在上，，
在和中，，≌，，
，，
，，，
，，，，，
，，
，，由翻折性质得：，
在和中，，≌，，，
是正方形的对角线，，易得，，，
，故，点在线段上运动；
过点作，垂足为，点为的中点，，则的最小值为；
问题拓展： 解：延长交于，交的延长线于，延长交于，如图：
则，，，在中，，，
，，∽，
，，，
，，，∽，
，即，解得：，
由折叠的性质得：，，，
，，，，∽，
，解得：，，
，，，，∽，
，即，解得：，．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．
20．（22·23下·山东·一模）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对矩形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
[观察与猜想](1)如图①，在正方形中，点、分别是、上的两点，连接、，，则的值为＝ ；(2)如图②，在矩形中，，，点是上的一点，连接，，且，则的值为 ．
[性质探究](3)如图③，在四边形中，．点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点．求证：；
[拓展延伸]已知四边形是矩形，，
(4)如图④，点是上的点，过点作，垂足为，点恰好落在对角线上．求的值；
(5)如图⑤，点是上的一点，过点作，垂足为，点恰好落在对角线上，延长、交于点．当时， ．
【答案】(1)1(2)(3)见解析(4)(5)
【分析】（1）由四边形是正方形，，证明，可得，即可得到答案；（2）由四边形是矩形，，证明，可得，即可得到答案；
（3）过作于，由，，得四边形是矩形，有，，可证，从而，即得；
（4）过作于点，于点，证明，有，而，，可得，有，故；
（5）连接、，证明，得，又，可得，故，由，可得，故，即可得，从而，有，所以．
【详解】（1）如图：
四边形是正方形，，，
，，
，，，故答案为：1；
（2）如图：四边形是矩形，，

，，，，
，，，故答案为：；
（3）证明：过作于，如图：，，四边形是矩形，
，，，
，，，，
，，
，，；
（4）过作于点，于点，如图：
，四边形是矩形，
，，，
四边形是矩形，，
于点，，，
，，，
，，，
，同理，，
，；
（5）连接、，如图：
，，，
，，，，
，，，
由（4）知，，，
，，，
，即，
，，，
，，故答案为：．
【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，综合性较强，熟练掌握正方形的性质和矩形的判定与性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于考试压轴题．