四川省德阳市2024届高三一模数学（理）试题

这是一份四川省德阳市2024届高三一模数学（理）试题，共24页。试卷主要包含了 已知函数，设甲等内容，欢迎下载使用。

说明：
1.本试卷分第I卷和第II卷，共4页.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷､草稿纸上答题无效.考试结束后，将答题卡交回.
2.本试卷满分150分，120分钟完卷
第I卷（选择题共60分）
一､选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解不等式得到，进而根据交集结果得到答案.
【详解】，
因为，所以，
故实数的取值范围是.
故选：C
2. 设表示复数的点在复平面内关于实轴对称，且，下面关于复数的四个命题中正确的是（ ）
A. B.
C. 的共轭复数为D. 的虚部为
【答案】B
【解析】
【分析】结合复数的除法运算及共轭复数及复数的模即可求解.
【详解】由复数的点在复平面内关于实轴对称，且，更多课件教案等低价滋源(一定远低于各大平台价格)请 家 威杏 MXSJ663 则，则，
，A错误；
，B正确；
的共轭复数为，C错误；
的虚部为，D错误.
故选：B
3. 数学与建筑的结合造就建筑艺术品，如吉林大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，如图.若将该大学的校门轮廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成抛物线的一部分，且点在该抛物线上，则该抛物线的焦点坐标是（ ）
A. B. （0，－1）C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据点的坐标求得，由此求得抛物线的焦点坐标.
【详解】依题意在抛物线上，
所以，
所以，
故，且抛物线开口向下，
所以抛物线的焦点坐标为.
故选：A
4. 已知为共面的三个单位向量，且，则的取值范围是（ ）
A. [－3，3]B. [－2，2]
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先由数量积的运算律及条件化简 ，再由数量积的定义将，再化简结合余弦函数的值域求得答案.
【详解】由得，为共面的三个单位向量,
则，
则
由，则的取值范围是.
故选：D.
【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义与运算，向量垂直的应用，余弦函数的值域，属于中档题.
5. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图右侧曲线为半圆弧，则几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】几何体可看作半圆柱去掉底面为等腰直角三角形的三棱柱，求出半圆柱的体积和三棱柱的体积，相减后求出答案.
【详解】几何体可看作半圆柱去掉底面为等腰直角三角形的三棱柱，
其中半圆柱的体积为，三棱柱的体积为，
故几何体的体积为.
故选：A
6. 某班主任为了了解该班学生暑假期间去图书馆的情况，随机抽取该班15名学生，调查得到这15名学生暑假期间去图书馆的次数分别为（其中有一位学生的数据丢失记为），则下列结论中正确的个数是①这组数据的中位数可能是19；②这组数据的众数可能是18；③的值可以通过中位数的值确定；④的值可以通过全部数据的平均数确定.（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】将数据从小到大的顺序，结合中位数，众数，平均数的概念判断即可.
【详解】由题意，若，将这组数据按从小到大的顺序排列：，则中位数是19,①正确；
和，众数都是，②错误，
中位数是19时，，不确定，③错误；
平均值，
则与一一对应，即平均数确定则对应确定，④正确.
故选：B.
7. 小明同学过生日时，他和好朋友小天一起分享一个质地均匀但形状不规则的蛋糕，他们商量决定用刀把蛋糕平均分成两份（蛋糕厚度不计），你认为下面的判断中正确的是（ ）
A. 无论从哪个位置（某个点）切一刀都可以平均分成两份
B. 只能从某个位置（某个点）切一刀才可以平均分成两份
C. 无论从哪个位置（某个点）切一刀都不可以平均分成两份
D. 至少要切两刀才可以平均分成两份
【答案】A
【解析】
【分析】数学建模，结合根的零点定理即可判断.
【详解】
如图，在形状不规则的蛋糕上任取一点，则这一刀可转化为，
点的任意一条直线，过点的直线将图像分为两部分，
其面积为，
将直线以以为旋转中心，以轴正方向的夹角记为，，
得连续函数，作辅助函数，则
为连续函数，
设，
则，
根据零点定理，存在一点，使得，
即，
即过点作直线，使之以轴正方向的夹角为，改直线即为所求；
即无论从哪个位置（某个点）切一刀都可以平均分成两份.
故选：A
8. 是神经网络中重要的激活函数，又称Sigmid函数.则下列对该函数图象和情质的描述中正确的是（ ）
A. 的值域是
B. 的图象不是中心对称图形
C. 在上不单调
D. （其中是的导函数
【答案】D
【解析】
【分析】求出给定函数的导数，结合单调性，对称性，再逐项分析、计算并判断作答.
【详解】由函数，定义域为，
，，则，A错误；
因为，
所以，所以Sigmid雨数的图象的对称中心为，B错误；
求导得：，
，，则Sigmid函数是单调增函数，C错误；
，D正确.
故选：D
9. 已知函数，设甲：函数在区间上单调递增，乙：的取值范围是，则甲是乙的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数在区间上单调递增，结合正弦函数的单调性列出不等式组得的范围，然后根据充分、必要条件的定义得出结论．
【详解】甲：在区间上单调递增，
令，则，
∴，，即，，
又，故只能取，∴．
又∵乙：的取值范围是，
∴甲是乙的必要不充分条件．
故选：B．
10. 德阳某高校为迎接2023年世界新能源大会，决定选派一批志愿者参与志愿服务，计划首批次先选派1名志愿者，然后每批次增加1人，后因学生报名积极，学校决定改变派遣计划，若将原计划派遣的各批次人数看成数列，保持数列中各项先后顺序不变的情况下，在与之间插入，使它们和原数列的项依次构成一个新的数列，若按照新数列的各项依次派遣学生，则前20批次共派遣学生的人数为（ ）
A. 2091B. 2101C. 2110D. 2112
【答案】B
【解析】
【分析】先得到的通项公式，再分组求和即可.
【详解】由题意得，当时，，
当时，，
故，
，
故前20批次共派遣学生的人数为.
故选：B
11. 已知点在曲线上，那么的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】与相切于点，由几何意义得到最小值为0，当不与重合时，作出辅助线，由几何意义得到，求出最大值，从而得到取值范围.
【详解】可看作到直线的距离，
可看作到点的距离，
如图所示，
联立与得，，
则，此时，解得，故，
故与相切于点，
此时取得最小值，最小值为0，
当不与重合时，过点作⊥于点，
则，
数形结合可知，当运动至时，，
此时取得最大值，最大值为，
故的取值范围是.
故选：D
12. 已知函数定义域为且，，那么（ ）
A. 为偶函数B.
C. 是函数的极大值点D. 的最小值为
【答案】D
【解析】
【分析】令再令，联立所得结论可得，取，把变为，可得，联立两个结论可求得函数的解析式，根据函数的解析式逐项分析即可.
【详解】令，得
，
即，①
令，结合，
则，②
结合①②可得，
用代替得，
，③
对于中，
取得，把变为，结合，
得，④
联立③④，
可得,
对于A，，故A错误；
对于B，,故B错误；
对于C,，故C错误；
对于D,易得最小值为，故D正确，
故选：D.
第II卷（非选择题共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22.23题为选考题，考生根据要求作答.
二､填空题：共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡上.
13. 若展开式中的系数为20，则__________.（用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】求得展开式的通项，结合题意，列出方程，即可求解.
【详解】由二项式，可得展开式的通项为，
令，可得，所以展开式中的系数为，解得.
故答案为：.
14. 已知不等式组表示的平面区域为M，若直线分平面区域M为面积相等的两部分，则实数的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据约束条件,画出可行域,求出可行域顶点的坐标,再利用几何意义求面积即可
【详解】
不等式组,所表示的平面区域如图示:
由图可知,直线恒经过点,当直线再经过BC的中点时,平面区域被直线分为面积相等的两部分,
当，
时,代入直线的方程得，
故答案为 .
考点：线性规划.
15. 某科学兴趣小组的同学认为生物都是由蛋白质构成的，高温可以使蛋白质变性失活，于是想初步探究某微生物的成活率与温度的关系，微生物数量（个）与温度的部分数据如下表：
由表中数据算得回归方程，预测当温度为时，微生物数量为__________个.
【答案】9
【解析】
【分析】求出样本点中心，代入回归方程得到，得回归方程，可进行预测.
详解】由表格数据可知，，，
因为点在直线上，所以，
即，故当时，，
即预测当温度为时，微生物数量为9个.
故答案为：9
16. 已知实数成公差非零的等差数列，集合，，若，则的最大值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】实数成公差非零的等差数列，则直线过定点，由，点在以为直径的圆上，可求圆外的点到圆上的点的最大距离.
【详解】成公差非零的等差数列，则，
动直线变形为，
令，解得，动直线过定点，
直线的一个法向量为，
若，则直线，点在以为直径的圆上，
圆心为中点，半径，
，则的最大值为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于发现直线，点在以为直径的圆上，问题转化为求圆外的点到圆上的点的最大距离.
三､解答题：解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知首项为的等比数列的前项和为，且成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的最大项.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设出公比，分和两种情况，根据条件得到方程，求出公比，进而求出通项公式；
（2）根据等比数列求和公式得到，换元后，利用函数单调性求出最大值.
【小问1详解】
由题意得，
设公比为，若，此时，此时不满足；
若，则，
故，即，
由于，故，解得或1（舍去），
故；
【小问2详解】
，故，
所以，
令，
由对勾函数可知在上单调递减，
故当时，取得最大值，最大值为，
故. 数列的最大项为
18. 在中，内角的对边分别为.若.
（1）若，求边上的中线的长；
（2）若是锐角三角形，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由条件结合正弦定理得，结合题意得的三边长，求得，在中利用余弦定理求出；
（2）由题意知：且．要使是锐角三角形，只要．由解得，由余弦定理得的表达式，进而可得的取值范围.
【小问1详解】
在中，由于，
所以，结合题意得，即
故的三边长分别为，
所以，
在中，，
故．
【小问2详解】
由题意知：且．
要使是锐角三角形，只要．
故，解得：，
又，
由，得，所以，
故的取值范围是
19. 设函数.
（1）求的单调区间；
（2）设为极小值点，且，求的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）将函数求导后，对值分类讨论即得；
（2）根据（1）的分析可得，且结合函数图像趋势知极小值点，且，继而求得，最后利用函数在区间的单调性即得.
【小问1详解】
因，
①当时，，在上递增；
②当时，由可得：，
则当时，，递增，当时，，递减，当时，，递增.
综上，当时，在上递增；
当时，的单调递增区间为：；单调递减区间为：.
【小问2详解】
因为极小值点，由（1）分析可知，，又因在上单调递减，在上单调递增，
且时，，时，，故，
又因，故，于是，因在上单调递增，
故，即，
故的取值范围是：.
20. 2023年11月，世界首届人工智能峰会在英国举行，我国因为在该领域取得的巨大成就受邀进行大会发言.为了研究不同性别的学生对人工智能的了解情况，我市某著名高中进行了一次抽样调查，分别抽取男､女生各50人作为样本.设事件“了解人工智能”，“学生为男生”，据统计.
（1）根据已知条件，填写下列列联表，是否有把握推断该校学生对人工智能的了解情况与性别有关？
（2）将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取30名学生，设其中了解人工智能的学生的人数为，求使得取得最大值时的值.
附：
【答案】（1）答案见详解
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件概率求得人数填写列联表，代入公式后求出观测值，将其与临界值比较即可求解；
（2）根据二项分布求出概率，根据单调性列出不等式组求解即可.
【小问1详解】
因为，
所以了解人工智能的女生为，
了解人工智能人数为，
则了解人工智能的男生有人，
结合男生和女生各有人，填写列联表为：
则，
故没有把握推断该校学生对人工智能的了解情况与性别有关.
【小问2详解】
由知，了解人工智能的频率为，
所以随机变量,
则
令，
解得，又，
所以，
所以当时，取得最大值.
21. 已知函数.
（1）若是函数的极值点，求；
（2）函数恰有一个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求得，结合，即可求得实数的值；
（2）令，转化为方程只有一个根，令，求得，若时，求得单调性，得到函数有两个零点；若，得到函数有一个零点；若时，分、和，三种情况，得出函数的单调性，结合函数的极值，即可求解.
【小问1详解】
解：由，可得，
因为是函数的极值点，可得，解得，
经检验，当时，符合题意，
所以实数的值为.
【小问2详解】
解：令，即，即，
因为函数恰有一个零点，即方程只有一个实数根，
令，可得，
①若时，可得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以，当时，函数取得极小值，且极小值为，
由时，可得，所以在有一个零点；
又由时，可得，
则，
令，可得，
设方程的两个根分别为，则，
所以在上以一个根，即在有一个零点；
综上，此时函数在上有两个零点，不符合题意；
②当时，，令，即，解得，
此时，函数在上有只有一个零点，符合题意；
③若时，令，解得或，
（i）若时，即时，此时
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以函数在上递增，在递减，在递增，
此时，当时，函数取得极大值，极大值为；
当时，函数取得极小值，极小值，
因为在递减，所以
且当，可得，
如图（1）所示，此时函数在上有只有一个零点，符合题意；
（ii）若时，即时，此时，
当时，，函数在上递增，
且，当，可得，
如图（2）所示，此时函数在上只有一个零点，符合题意；
（iii）若时，即时，此时,
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以函数在上递增，在递减，在递增，
且，且，
当，可得，
如图（3）所示，此时函数在上有只有一个零点，符合题意；
综上可得，实数的取值范围为.
【点睛】方法点睛：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：
1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围；
2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；
3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数图象，然后数形结合求解.
请考生在22，23二题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22. 欧拉公式（为虚数单位，）可以表示平面直角坐标系内的动点，其轨迹是圆，所以又称其为神奇的欧拉转盘.若表示的动点为.
（1）写出动点的轨迹的参数方程（为参数），并化为普通方程；
（2）在以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴的极坐标系中，直线过，，求直线被截得的线段的长.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用极坐标、参数方程、普通方程的关系转化计算即可；
（2）利用极坐标与直角坐标的转化及弦长公式计算即可.
【小问1详解】
依题意可知，
故的参数方程为，
消去得其普通方程为：；
【小问2详解】
易知化为直角坐标为，即
所以直线所过的点的直角坐标为及，
则直线的方程为：，
由（1）可知轨迹是以为圆心，为半径的圆，
圆心到直线的距离为，
所以轨迹被直线所截的线段长为.
23. 设.
（1）证明：不可能都是正实数；
（2）比较与6的大小关系并说明理由.
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用基本不等式及条件分类讨论证明即可；
（2）根据（1）的结论消元转化构造单变量函数，利用函数的单调性判定即可.
【小问1详解】
因为，所以只能是三个正数，或两负数一正数，
若均为正数，则，则，
所以，
又，与前提矛盾，
则不可能是三个正数，故不可能都是正实数；
【小问2详解】
由（1）的结论，不妨令为负数，为正数，
则，即，
令，易知单调递增，且，
由可知，
所以，
即.温度
4
8
10
18
微生物数量（个）
30
22
18
14
了解人工智能
不了解人工智能
合计
男生
女生
合计
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
了解人工智能
不了解人工智能
合计
男生
40
10
50
女生
30
20
50
合计
70
30
100