河南省新乡市卫辉市2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题

这是一份河南省新乡市卫辉市2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每小题3分，共15分）
1. 要使二次根式有意义，那么x的取值范围是（ ）
A. x＞2B. x＜2C. x≥2D. x≤2
【答案】C
【解析】
【分析】二次根式的性质：被开方数大于等于0．
【详解】解：根据题意，得
2x-4≥0，
解得，x≥2．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件．二次根式的被开方数是非负数．
2. 一元二次方程配方后可化为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案．
【详解】解：
，
故选C．
3. 在中，均为锐角，且，则形状是（ ）
A. 钝角三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形
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【分析】本题主要考查了根据特殊角三角函数值求角度数，非负数的性质，等边三角形的判定，先根据非负数的性质得到，则可得到，由此即可证明是等边三角形．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵均为锐角，
∴，
∴是等边三角形，
故选B．
4. 如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了求角的余弦值，勾股定理，先由网格的特点得到，进而利用勾股定理求出，在中，求出的值即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点C作于E，
由网格的特点可知，
∴，
∴，即，
故选B．
5. 如图，AD是△ABC的中线，点E在AD上，AD＝4DE，连接BE并延长交AC于点F，则AF：FC的值是（ ）
A. 3：2B. 4：3C. 2：1D. 2：3
【答案】A
【解析】
【分析】过点D作DG∥AC, 根据平行线分线段成比例定理，得FC=2DG，AF=3DG，因此得到AF：FC的值．
【详解】
解：过点D作DG∥AC，与BF交于点G．
∵AD=4DE，
∴AE=3DE，
∵AD是△ABC的中线，
∴
∵DG∥AC
∴，即AF=3DG
，即FC=2DG，
∴AF：FC=3DG：2DG=3：2．
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，正确作出辅助线充分利用对应线段成比例的性质是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共12分）
6. 一元二次方程的根的情况是______．
【答案】有两个不相等的实数根
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式．求根的判别式，进而得出答案．
【详解】解：∵，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根
故答案为：有两个不相等的实数根．
7. 一个布袋中有8个红球和16个黑球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别，从布袋中任取1个球是黑球的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，可知存在8+16=24种可能性，其中抽到黑球的有16种可能性，从而可以求出从布袋中任取1个球，取出黑球的概率．
【详解】解：∵一个布袋中放着8个红球和16个黑球，
∴从布袋中任取1个球，取出黑球的概率是，
故答案：．
【点睛】本题考查概率公式，解答本题关键是明确题意，求出相应的概率．
8. 如图是小刘做的一个风筝支架示意图，已知，，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，证明得到，由此求出的长即可求出的长．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
9. 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯（Eudxus，约前408年—前355年）发现：将一条线段分割成长、短两条线段、，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长比，即（此时线段叫做线段、的比例中项），这种分割称为黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．如图，若设线段，点是的黄金分割点，则的长为______（用含根号的式子表示）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了黄金分割的定义；根据已知线段的比例关系与已知条件，设，代入转化一元二次方程求解即可．
【详解】解：设，
依题意，，
∴
∴
即
解得：或（舍去）
故答案为：
三、解答题（共33分）
10. 已知关于x的方程的一个根是，求它的另一个根和m的值．
【答案】另一个根为，
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，设另一根a，根据根与系数的关系可得，然后求解即可；掌握一元二次方程根与系数的关系成为解题的关键．
【详解】解：设另一根为，
∵关于的方程的一个根为，
∴，
解得：，．
∴另一个根为，
11. 甲型流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有9人患了甲型流感，每天平均一个人传染了几人？
【答案】每天平均一个人传染了2人
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，开始有一个人患了甲型流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x个人，第一轮后共有人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，第二轮后共有人患了流感，而此时这个人数是9，据此列出方程求解即可．
【详解】解：每天平均一个人传染了x人，
由题意得，，
整理得，
解得或（舍去），
答：每天平均一个人传染了2人．
12. 如图，先把一矩形纸片对折，设折痕为，再把点叠在折痕线上，得到．过点折纸片使点叠在直线上，得折痕．
求证：；
你认为和相似吗？如果相似，给出证明；若不相似，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析;(2)相似,证明见解析.
【解析】
【分析】（1）△PBE和△QAB都是直角三角形，所以再证一对角相等即可．由∠ABE=90°得∠EBP+∠ABQ=90°，易证∠ABQ=∠PEB．得证．
（2）△PBE和△BAE都是直角三角形，利用（1）的结论，结合BP=BQ可证直角的两边对应成比例，得证．
【详解】∵，，
∴．
在与中，
∵，，
∴．（2）和相似．
∵，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴．
【点睛】本题考查了翻折变换与相似三角形的判定，解题的关键是熟练的掌握翻折变换的折叠问题与相似三角形的判定.
13. 通过前面学习，我们知道了和这三个特殊角的三角函数值，下面让我们一起尝试探究角的正切值吧！
（1）方法一：如图1，在中，，
方法二：如图2，在等腰三角形中，，
（2）根据角的正切值的探究过程，请尝试求角的正切值，直接写出答案．
【答案】（1）方法一：2，；方法二：，
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形，等边对等角，三角形内角和定理，正确理解题意作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
（1）方法一：如图所示，延长到点D，使，连接，先由等边对等角得到，再由三角形外角的性质得到，在中，设，则，，进而得到，在中，；方法二：过点E作，垂足为H，过点G作，垂足为P，根据等边对等角得到，由三线合一定理和三角形内角和定理得到，，在中，设，则，则，在中，；
（3）如图所示，在中，，延长到点D，使，连接，先根据等边对等角得到，，则由三角形外角的性质得到，在中，设，则，，则，在中，．
【小问1详解】
解：方法一：如图所示，延长到点D，使，连接，
∴，
∵，
∴，
在中，设，则，，
∴，
在中，，
∴；
故答案为：2；；
方法二：过点E作，垂足为H，过点G作，垂足为P，
∵在等腰三角形中，，，
∴，
∵，，
∴，，
在中，设，则，
∴，
在中，，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：如图所示，在中，，延长到点D，使，连接，
∴，，
∵，
∴，
在中，设，则，，
∴，
在中，
∴．
步骤
操作方法
具体过程
步骤一
在含角的直角三角形中构造角
延长到点D，使，连接．可以找到的角有______个．
图1
步骤二
找到含有角的直角三角形，并表示角的对边与邻边
在中，设，那么，
步骤三
计算角的正切值
则______
步骤
操作方法
具体过程
步骤一
在顶角为的等腰三角形中构造角
过点E作，垂足为H．过点G作，垂足为P．
可以找到的角有______个．
图2
步骤二
找到含有角的直角三角形，并表示角的对边与邻边
（请自己写出具体过程）
步骤三
计算角的正切值
则______