河北省廊坊市第十八中学2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

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本试卷共8页．总分120分，考试时间120分钟．
注意事项：1．仔细审题，工整作答，保持卷面整洁．
2．考生完成试卷后，务必从头到尾认真检查一遍．
一、选择题（本大题共16个小题，共38分．1~6小题各3分．7~16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 若，则（ ）
A. 3B. 2C. 1D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是同底数幂的除法，直接根据同底数幂的除法运算法则即可得出答案．
【详解】解：，而，
∴，
故选B
2. 若分式的值为0，则x的值为（ ）
A. 1B. C. 1或D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】分式的值为零的条件是：分子为零，分母不为零，由此列方程与不等式，从而可得答案．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴，且，
由可得：，
由可得：，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查的是分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件是解题的关键．
3. 如图，在中，，，，则的长为（ ）更多课件教案等低价滋源(一定远低于各大平台价格)请 家 威杏 MXSJ663
A. 1B. C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三角形内角和定理，含的直角三角形．熟练掌握三角形内角和定理，含的直角三角形的性质是解题的关键．
由题意知，，根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
∴，
故选：C．
4. 多项式与多项式的公因式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了公因式，提公因式法、公式法进行因式分解．熟练掌握提公因式法、公式法进行因式分解是解题的关键．
利用提公因式法、公式法进行因式分解，然后判断作答即可．
【详解】解：由题意知，，，
∴公因式为，
故选：A．
5. 正六边形的一个内角是正m边形一个外角的4倍，则（ ）
A. 6B. 8C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了正多边形的内角和、外角和．熟练掌握正边形的内角和为、外角和为是解题的关键．
由题意知，正六边形的一个内角为，依题意得，，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，正六边形的一个内角为，
依题意得，，
解得，，
故选：D．
6. 下列正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查单项式乘以单项式、科学记数法，单项式乘以乘以多项式，多项式乘以多项式的运算，运用相关运算法则计算各选项即可
【详解】解：A. ，原选项计算错误，不符合题意；
B. ，原科学记数法表示错误，故此选项不符合题意；
C. ，原选项计算错误，不符合题意；
D. ，计算正确，符合题意，
故选：D
7. 如图，在中，是角平分线，，，则点D到边的距离为（ ）
A. 6B. 4C. 3D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，即可得解．本题利用三角形的面积先求解，从而可得答案．
【详解】解：如图，过点D作于点E，
∵是角平分线，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即点D到的距离．
故选B．
8. 下列式子运算结果为的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查分式的加减乘除运算，根据运算法则逐项计算即可判断．
【详解】解：A，，不合题意；
B，，不合题意；
C，，不合题意；
D，，符合题意；
故选D．
9. 从10米长的木条两边各截取一根x米长的木条．若得到的三根木条首尾顺次相接能组成三角形，则x的值可能为（ ）
A. 2B. C. 3D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形三边的关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差的绝对值小于第三边． 依据题意，三根木条的长度分别为x m，x m，，在根据三角形的三边关系即可判断．
【详解】解：由题意可知，三根木条的长度分别为x m，x m，，
∵三根木条要组成三角形，
∴，
解得：．
故选C．
10. 若m与n互为倒数，则的值为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查是倒数的含义，求解分式的值，先计算分式的乘法运算，再整体代入计算即可．
【详解】解：∵m与n互为倒数，
∴，
∴
；
故选A
11. 如图，在由小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑n个小正三角形，使它们和原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n的最小值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了利用轴对称设计图案，解题的关键是掌握常见图形的性质和轴对称图形的性质．由等边三角形有三条对称轴可得答案．
【详解】解：如图所示，n的最小值为3．
故选：C．
12. 如图，依据尺规作图痕迹，计算（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，角平分线的作图，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，理解作图含义是解本题的关键．本题先证明，求解，结合角平分线的作图可得答案．
【详解】解：由作图可得：是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
由作图可得：是的角平分线，
∴；
故选C
13. 在中，，将沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是三角形的外角的性质，全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键，根据全等三角形的判定方法逐一分析判断即可．
【详解】解：A选项：满足两边对应相等且夹角相等，所以剪下的两个三角形全等；不符合题意；
B选项：满足两边对应相等且夹角相等，所以剪下的两个三角形全等；不符合题意；
C选项：如图，
∵，，
∴，
而，
∴剪下的两个三角形全等；不符合题意；
D选项：如图，
同理可得：，而，
但是不是两个角的夹边相等，两个三角形不一定全等，符合题意；
故选D
14. 《九章算术》中有题如下：把一封信送到里外的地方，若用慢马送，则晚1天送达；若用快马送，则早3天送达，已知快马的速度是慢马的2倍．甲、乙两人所列方程如下，甲：设规定时间为x天，则；乙：设慢马的速度为y里/天，则，则正确的是（ ）
A. 只有甲对B. 只有乙对C. 两人都对D. 两人都错
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用．解题的关键在于根据题意正确的列分式方程．
设规定时间为x天，慢马用时天，快马用时天，根据速度关系列分式方程得，；设慢马的速度为y里/天，则快马的速度为里/天，根据时间关系列分式方程得，；然后进行判断作答即可．
【详解】解：设规定时间为x天，慢马用时天，快马用时天，
依题意得，；甲正确，故符合要求；
设慢马速度为y里/天，则快马的速度为里/天，
依题意得，，乙错误，故不符合要求；
故选：A．
15. 如图，在等边三角形中，是中线，点P，Q分别在，上，且，动点E在上，则的最小值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．作点P关于的对称点，连接交于，此时的值最小．最小值．
【详解】解：是等边三角形，
，，
，，，
，，
如图，作点P关于的对称点，连接交于，
此时的值最小．最小值，

，
∴，
∴，而，
是等边三角形，
，
的最小值为3．
故选B．
16. 如图，有正方形A，B，现将B放在A的内部得图①（图中阴影部分是正方形），将A，B并列放置后构造新的正方形得图②．若图①，图②中阴影部分的面积分别为4，30，关于甲、乙的说法．甲：图②中新正方形的边长为6；乙：正方形A，B的面积差为16．判断正确的是（ ）

A. 甲对乙错B. 甲错乙对C. 甲和乙都对D. 甲和乙都错
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算与图形面积，完全平方公式的应用，利用平方差公式分解因式；根据图形列出算式是解题的关键．设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，根据题意可得，，然后进行化简计算即可解答．
【详解】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，
由图①得：
，
∴，
∴，
∴，
∴，（负根舍去）
由图②得：
，
∴，
∴，
∴，
∴图②所示的大正方形的面积

，
∴，（负根舍去），故甲说法错误；
∴．
故选：B．
二、填空题（本大题共3个小题，共10分．17小题2分，18～19小题各4分．每空2分）
17. 在中，，要使为等腰三角形，写出一个可添加的条件：______．
【答案】（或）
【解析】
【分析】本题考查的是等腰三角形的定义，等腰三角形的判定，熟记等腰三角形的定义与判定方法是解本题的关键．
【详解】解：∵中，，要使为等腰三角形，
∴可添加（或）．
故答案为：（或）
18. 已知关于x的分式方程.
（1）若，分式方程的解为______；
（2）若分式方程无解，则m的值为______．
【答案】 ①. ②. 3
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，分式方程无解．熟练掌握解分式方程，分式方程无解的情况是解题的关键．
（1）由题意知，，去分母化成整式方程，求解，然后检验即可；
（2）根据分式方程无解：分①分式方程转化为整式方程，整式方程无解；②分式方程转化为整式方程，整式方程有解，但分式方程的最简公分母为0，两种情况求解即可．
【详解】（1）解：由题意知，，
，
解得，，
检验，将代入，
∴是原分式方程的解，
故答案为：；
（2）解：，
，
解得，，
∵分式方程无解，
将代入得，，
解得，，
故答案为：3．
19. 如图，，与相交于点C．，．点P从点A出发，沿方向以的速度运动，同时点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，当点P回到点A时，P，Q两点同时停止运动．
（1）的长为______；
（2）连接，当线段经过点C时，点P的运动时间为______s．
【答案】 ①. 8 ②. 2或4
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是注意分情况讨论．
（1）证，可得答案；
（2）当线段经过点C时，证明，推出，分点P沿方向运动和沿方向运动两种情况，分别列式求解．
【详解】解：（1）∵，
∴，
在和中，
，
，
，
（2）当线段经过点C时，如下图所示：
在和中，
，
，
，
当点P沿方向运动时，，，
，
，
解得；
当点P沿方向运动时，，，
，
，
解得；
综上可知，t的值为或，
故答案为：（1）8；（2）2或4．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20. 按要求完成下列各小题．
（1）计算：；
（2）因式分解：；
（3）计算：
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先计算积的乘方运算，同底数幂的乘法运算，再合并同类项即可；
（2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可；
（3）先计算括号内的分式的减法运算，再计算分式的除法运算即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
；
【小问3详解】
．
【点睛】本题考查的是积的乘方运算，同底数幂的乘法运算，合并同类项，因式分解，分式的混合运算，熟记运算法则是解本题的关键．
21. 在平面直角坐标系中，四边形和四边形关于y轴对称，它们的顶点坐标如下表所示．
（1）将表格补充完整；
（2）在下图中画出四边形和四边形；
（3）直线与直线的交点M______（填“在”或“不在”）y轴上，点M的坐标为______．
【答案】（1），
（2）画图见解析 （3）在；．
【解析】
【分析】本题考查的是画轴对称，坐标与图形，轴对称的性质，熟记轴对称的性质是解本题的关键；
（1）根据关于y轴对称的图形的坐标性质补充表格即可；
（2）先根据坐标描点，再画图即可；
（3）根据轴对称的性质可得对称线段的交点位置，从而可得答案．
【小问1详解】
解：∵四边形和四边形关于y轴对称，
∴补充表格如下：
【小问2详解】
如图，
【小问3详解】
如图，
直线与直线的交点M在y轴上，点M的坐标为．
22. 如图，在中，是角平分线，是高，，，，垂足为F．
（1）求的度数；
（2）求的度数．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，角平分线等知识．熟练掌握角度之间的数量关系是解题的关键．
（1）由题意知，，根据，计算求解即可；
（2）由题意知，，，根据，计算求解即可．
【小问1详解】
解：由题意知，，
∵是角平分线，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：是的高，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
23. 如图，，，垂足分别为D，E，，相交于点O，．
（1）求证：；
（2）求证：点O在的平分线上．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理．熟练掌握全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理是解题的关键．
（1）证明，则，根据，可证；
（2）由（1）可知，，证明，则，根据到角两边距离相等的点在角平分线上可证结论．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即；
【小问2详解】
证明：由（1）可知，．
∵，
∴，
∴，
∴点O在的平分线上．
24. 认真观察下面这些等式，按其规律，完成下列各小题：
①；
②；
③；
④______；
…
（1）将横线上的等式补充完整；
（2）验证规律：设两个连续的正偶数为，（n为正整数），则它们的平方差是4的倍数；
（3）拓展延伸：判断两个连续的正奇数的平方差是8的倍数吗？并说明理由．
【答案】（1）
（2）验证见解析 （3）是，理由见解析
【解析】
【分析】此题主要考查了平方差公式的应用，正确发现数字变化规律是解题关键．
（1）根据已知算式写出即可；
（2）利用平方差公式计算得出答案；
（3）这两个偶数为为和，利用平方差公式计算得出答案．
【小问1详解】
解：由题意得：；
【小问2详解】
解：．
为正整数，
为正整数，
若两个连续的正偶数为，（n为正整数），则它们的平方差是4的倍数；
【小问3详解】
解：是；理由：
设两个连续的正奇数为，（m为正数）．
．
为正整数，
两个连续的正奇数的平方差是8的倍数．
25. 嘉嘉去文具店帮同学买笔，回来后和淇淇的对话如下．
设每支圆珠笔为x元．
（1）请你通过计算分析，洪淇为什么说嘉嘉搞错了？
（2）嘉嘉核实账单后，发现中性笔和圆珠笔的单价均为整数，每支中性笔与圆珠笔的差值算错了．其他都正确．若每支中性笔比圆珠笔贵m（）元，求出整数m的值．
【答案】（1）理由见解析．
（2）整数m的值为3．
【解析】
【分析】本题考查的是分式方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键；
（1）先表示两种笔的单价，再利用数量相等建立分式方程求解，再检验即可得到答案；
（2）先表示两种笔的单价，再利用数量相等建立分式方程求解，再结合，从而可得答案．
【小问1详解】
解：由题意可得，
解得，
经检验是分式方程的解．
此时圆珠笔的数量为．
圆珠笔的数量为整数，
不合题意，
嘉嘉搞错了；
【小问2详解】
由题意可得，解得．
经检验，符合题意．
中性笔和圆珠笔的单价均为整数，，
整数m的值为3．
26. 在等边三角形中，E是折线上的动点，D为射线上任意一点，且．
（1）如下图，当动点E在边上时，连接，，求证：；
（2）如下图，当动点E是边的中点，判断的形状，并说明理由；
（3）如下图，当动点E在边上时，求证：；[提示：需作辅助线]
（4）连接，若，是直角三角形，直接写出的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）是等腰三角形，理由见解析
（3）证明见解析 （4）的长为或．
【解析】
【分析】（1）先证明是等边三角形，再证明，，即可得到结论；
（2）先证明，再证明，即可得到结论；
（3）过点E作，再证明即可得到结论；
（4）分两种情况画图讨论：如图2，当时， 如图3，当时，再结合图形性质可得答案．
【小问1详解】
证明：是等边三角形，
，．
又，
是等边三角形，
，，
，，
即，．
在和中，
【小问2详解】
是等腰三角形；理由如下：
为的中点，是等边三角形，
，．
又，
，
，
，
是等腰三角形；
【小问3详解】
如图1，过点E作．
是等边三角形，
，．
∵，
，，
，
是等边三角形，
，
，即．
，
，
，即．
在和中，
，
，即；
【小问4详解】
的长为或．理由如下：
如图2，当时，是的高，即是的中线，
．
由（1）可知，，
；
如图3，当时，则，
，
．
由（3）可知，，
∴；
综上：的长为或．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，清晰的分类讨论，利用数形结合的方法解题是关键．四边形
C______
四边形
______
四边形
四边形