河南省洛阳市强基联盟2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题（Word版附解析）

这是一份河南省洛阳市强基联盟2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题（Word版附解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知，则（ ）
A. B. 9C. 7D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，利用复数的运算法则，得到，求得的值，即可求解.
【详解】由，根据复数的运算法则，可得 ，
所以，所以.
故选：B.
2. 已知等边三角形，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量夹角的定义求解即可.
【详解】因为等边三角形，故与的夹角为，与的夹角和与的夹角互补，为.
故选：A
3. 已知向量，若，则实数的值是（ ）
A. -4B. -1C. 1D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量共线列方程，化简求得的值.
【详解】由于，
所以，解得.
故选：A
4. 在中，角的对边分别为，已知 则（ ）
A. 45°或135°B. 135°
C. 45°D. 60°或120°
【答案】C
【解析】
【分析】根据正弦定理求解即可.
【详解】由正弦定理得：得：，
因为，所以，所以.
故选：C
5. 若复数满足，则在复平面内对应的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用复数的四则运算解出，得到对应的点坐标即可求解.
【详解】由得，
所以z在复平面内对应的点为.
故选：D.
6. 已知的内角的对边分别是，则“是钝角三角形”是 “” 的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】先举出反例，得到充分性不成立，再由余弦定理得到必要性成立.
【详解】若△ABC中B为钝角，则C为锐角，，即有，故充分性不成立；
若，由余弦定理得即C为钝角，故必要性成立.
故选：B.
7. 已知向量的夹角为且|，，则在上投影向量的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义，结合向量坐标运算求解作答.
【详解】依题意，在上投影向量为，其中，
所以在上投影向量的坐标为.
故选：C
8. 在平行四边形中，，，，，且，则平行四边形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据条件，利用基底向量表示，即可求，再利用同角三角函数函数表示，最后根据平行四边形面积求解.
【详解】因为，，所以，
解得：，则，
所以.
故选：A.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 对于任意平面向量，下列说法错误的是（ ）
A. 若，则与不是共线向量
B.
C. 若，且，则
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据共线向量的定义即可判断A；根据数量积的运算律即可判断B；举反例即可判断C；根据数量积的定义即可判断D.
【详解】对于A，当时，，但是共线向量，故A错误；
对于B，根据数量积的分配律得，故B正确；
对于C，若，且，则，
不妨取，此时，故C错误；
对于D，表示的是与共线的向量，表示的是与共线的向量，
而向量的方向不确定，所以无法确定与是否相等，故D错误.
故选：ACD.
10. 若复数为纯虚数，则（ ）
A. 为实数B. 为实数
C. 为实数D. 为实数
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意，设且，得到，结合复数的运算法则，逐项判定，即可求解.
【详解】因为为纯虚数，设且，则，
由，所以A正确；
由，所以B错误；
由为实数，所以C正确；
由为实数，所以D正确.
故选：ACD.
11. 下列说法正确是（ ）
A. 若两个非零向量 共线，则必在同一直线上
B. 若向量与平行，与平行，则，方向相同或相反
C. 若非零向量与 是共线向量，则它们的夹角是0°或180°
D. 平行向量就是共线向量，共线向量就是平行向量
【答案】CD
【解析】
【分析】根据平面向量平行的概念和夹角的概念依次判断选项即可.
【详解】对选项A，若两个非零向量 共线，则与平行或在一条直线上，故A错误.
对选项B，若，与不平行，则满足向量与平行，与平行，故B错误.
对选项C，若非零向量与 是共线向量，则它们的夹角是0°或180°，故C正确.
对选项D，平行向量就是共线向量，共线向量就是平行向量，故D正确.
故选：CD
12. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ）
A. 若a>b，则
B. 若，则A>B
C. 若，则是等腰三角形
D. 若为锐角三角形，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据三角形的基本性质及正弦定理，正弦函数的单调性，逐项分析得出结果即可．
【详解】对于选项A，在中，大边对大角，若，则，
根据正弦定理可得，选项A正确；
同理，选项B正确；
对于选项C，若，由正弦定理可得，
即，所以即或即，
所以为等腰角三角形或直角三角形，选项C错误；
对于选项D，若为锐角三角形，则，
又正弦函数在上为单调增函数，
，即 ，选项D正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 设复数z满足，则___________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据复数的四则运算可求得，进而可求共轭复数以及模长.
【详解】∵，则，
∴，故.
故答案为：.
14. 在中，角的对边分别为，且，，则 _________.
【答案】
【解析】
【分析】利用正弦定理及得到，求出，再利用正弦定理得到，代入得到答案.
【详解】由正弦定理得，
即，
，
∵，
∴，
，，
，
∴，
由正弦定理得，
所以 .
故答案为：
15. 已知平面向量，，若与的夹角为锐角，则的取值范围为____________.
【答案】
【解析】
【分析】已知条件可转化为，且与不共线，利用平面向量数量积的坐标公式以及共线公式列不等式，解出的取值范围．
【详解】因为与的夹角为锐角，所以，且与不共线，
，，即，且，
解得且
故答案为：
16. 如图，中华中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山峰的高气度，先在山脚A处测得山顶C处的仰角为60°，又利用无人机在离地面高400m的M处（即），观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，则山高___________m.
【答案】600
【解析】
【分析】确定，，，在中，利用正弦定理计算得到答案.
【详解】，则，,，
故，，
在中，由正弦定理得，即，
解得，则.
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知虚数z满足.
（1）求证：在复平面内对应的点在直线上；
（2）若是方程的一个根，求与.
【答案】（1）证明见解析
（2），
【解析】
【分析】（1）由题设可得，应用代数运算化简并确定点坐标，即可证结论；
（2）将复数代入方程求参数即可.
【小问1详解】
设，由，则，
所以，
所以在复平面内对应点为，在直线上.
【小问2详解】
同（1）设复数，因为z是方程的一个根，
所以，即，
所以且，得，
因为，所以，
把代入得：，
所以，.
18. 已知向量满足，，且.
（1）若，求实数的值；
（2）求与的夹角的余弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用数量积的运算律及向量垂直的充要条件即可求解；
（2）先数量积知识求出，的值，然后利用数量积的夹角公式求解即可.
【小问1详解】
因为，所以，
即，解得，若，
则，
即，即，解得.
【小问2详解】
因为，
又，
所以，
即与的夹角的余弦值为.
19. 已知内角的对边分别为，且.
（1）求角；
（2）若的周长为，且外接圆的半径为1，判断的形状，并求的面积.
【答案】（1）
（2）等边三角形，
【解析】
【分析】（1）由正弦定理及三角形的性质即可求角；
（2）利用正弦定理求出边长a，然后再根据周长和余弦定理列式解出b和c，从而判断性质和求解面积.
【小问1详解】
由题意，
由正弦定理得，
因为，
所以，因为，所以，所以，
又，所以.
【小问2详解】
设外接圆的半径为，则，由正弦定理得，
因为的周长为，所以，
由余弦定理得，即，所以，
由得，所以为等边三角形，
所以的面积 .
20. 如图，在等腰梯形中，，，，E是边的中点．
（1）试用，表示，；
（2）求的值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用几何图形，结合平面向量基本定理，利用基底表示向量；
（2）以向量为基底，表示向量，结合向量数量积的运算律和定义，即可求解.
【小问1详解】
，
，
．
【小问2详解】
由题意可知，，，
所以
．
21. 如图，在平面四边形中，，设.
（1）若，求的长度；
（2）若，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意求得，在中，利用余弦定理，即可求得的长；
（2）根据题意求得，得到，在中，利用正弦定理求得，进而求得的值.
【小问1详解】
解：由题意得且，
可得，
在中，，
由余弦定理可知：，
所以.
【小问2详解】
解：因为，所以，
又因为且，可得,
中，由正弦定理知，
所以，即，
可得，即.
22. 记的内角所对的边分别为，已知.
（1）求证：
（2）若的面积，求的最大值，并证明：当取最大值时，为直角三角形.
【答案】（1）证明见解析
（2），证明见解析
【解析】
【分析】(1)利用正弦定理边角互化结合余弦定理即可求解；(2)利用三角形面积公式结合基本不等式即可求解.
【小问1详解】
证明：由，
得，
代入，得，
所以，
由余弦定理，得，
所以，
所以.
【小问2详解】
由(1)知，
所以的面积，
所以，
当且仅当时取等号，所以的最大值为.
下面证明当，即时，为直角三角形.
把代入，得，
两边平方，得，所以，
因为，所以，即，
所以为直角三角形.