河南省开封市通许县2023届高三冲刺（四）文科数学试题（Word版附解析）

这是一份河南省开封市通许县2023届高三冲刺（四）文科数学试题（Word版附解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若复数满足，则（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】应用复数的除法求复数即可.
【详解】由题设，则.
故选：C
2. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解一元二次不等式化简集合，再根据交集运算求解.
【详解】由，可得，解得,
所以.
因为，
所以.
故选:D.
3. 从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，取到的2个数之和为偶数的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】应用列举法求古典概型的概率即可.
【详解】任取2个不同数可能有、、、、、、、、、，共10种情况，
其中和为偶数的情况有、、、，共4种情况，
所以取到的2个数之和为偶数的概率为.
故选：D
4. 某学校组建了演讲，舞蹈，合唱，绘画，英语协会五个社团，全校2000名学生每人都参加且只参加其中二个社团，校团委从这2000名学生中随机选取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下不完整的两个统计图：

则选取的学生中，参加绘画社团的学生数为（ ）
A. 20B. 30C. 40D. 45
【答案】A
【解析】
【分析】由题图可求合唱的比例，由饼状图求出绘画的比例，从而可求解.
【详解】选取的学生中，合唱的比例为，
所以绘画的比例为，
所以选取的学生中，参加绘画社团的学生数为.
故选:A.
5. 如图为某几何体的正视图与侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据各项中的俯视图，结合已知图确定底面形状求体积，即可判断是否符合要求.
【详解】由正视图、侧视图知：几何体的高，
若俯视图为A、B，即几何体底面是等腰直角三角形，则，不满足；
若俯视图为C，即几何体底面是正方形，则，满足；
若俯视图为D，与正视图矛盾，没有对应几何体，不满足.
故选：C
6. 函数满足，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】写出各项对应的解析式，根据奇函数定义判断是否为奇函数即可.
【详解】A：，定义域为，不关于原点对称，不符合；
B：，定义域为关于原点对称，且，符合；
C：，定义域为，不关于原点对称，不符合；
D：，定义域为，不关于原点对称，不符合；
故选：B
7. 已知正方体，则（ ）

A. 直线与所成的角为B. 直线与所成的角为
C. 直线与平面所成的角为D. 直线与平面所成的角为
【答案】D
【解析】
【分析】对于选项A，设分别是的中点，连接，可得直线与所成的角为或其补角，根据勾股定理即可判断；对于选项B，由，可得直线与所成的角为或其补角，根据正方体的性质即可判断；对于选项C，由平面可得直线与平面所成的角为,根据正方体的性质即可判断；对于选项D，根据线面垂直的判定定理证明平面，可得为直线与平面所成的角，解三角形即可判断.
【详解】对于A：设分别是的中点，连接，
所以，所以直线与所成的角为或其补角.
,,
，
所以,即，即，
所以直线与所成的角为，故A错误；
对于B：由正方体的性质可得，
所以直线与所成的角为或其补角，
易知是等边三角形，所以,
所以直线与所成的角为，故B错误；
对于C：由正方体的性质平面，
所以直线与平面所成的角为,故C错误；
对于D：因为平面，平面，所以.
在正方形中，因为是中点，所以.
因为平面，
所以平面,
所以为直线与平面所成的角.
因为,，所以,所以，
所以直线与平面所成的角为，故D正确.
故选:D.

8. 已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】构造，利用导数判断其单调性可比较的大小关系.构造，利用导数判断其单调性可比较的大小关系.
【详解】，，，
设，
所以，
所以在上单调递增，所以，即.
所以，即.
设，
则，
所以在上单调递减，所以，即.
所以，即.
所以.
故选:C.
9. 将函数的图象向右平移个单位长度后，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象，若在区间内有5个零点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角函数图象的平移变换可得，再根据余弦函数的图象可得，求解即可.
【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，
再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象.
时，，
在轴右方的零点为
因为函数的图象在区间内有5个零点，
所以，解得.
故选:D.
10. 已知直线过抛物线的焦点，直线与抛物线相交于两点，若的中点到抛物线的准线的距离为，则（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】由直线所过定点及抛物线的焦点所在位置可求，设,联立直线与抛物线的方程，求出，根据即可求解.
【详解】因为直线过定点，抛物线的焦点在轴，且直线过抛物线的焦点，
所以抛物线的焦点坐标为，所以，解得，
所以抛物线的标准方程为.
联立，消去，可得，即.
设,
因为,
所以.
所以.
因为的中点到抛物线的准线的距离为，且抛物线的准线方程为,
所以，解得.
所以，即，解得.
故选:B.

11. 已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 为的一个极值点
C. 点是曲线的一个对称中心
D 函数有且仅有一个零点
【答案】B
【解析】
【分析】根据、是否成立判断A、C；利用导数研究在上的单调性，进而判断是否为极值点判断B；由，应用零点存在性判断零点的个数判断D.
【详解】A：，错；
B：，在上，则
时，时，
故，即是一个极小值点，对；
C：，故不是对称中心，错；
D：由解析式知：，，，
所以上存在零点，故不止一个零点，错.
故选：B
12. 已知若函数有两个零点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别利用导数求出函数在与上的单调性与最值，画出函数的图象，由题意可得与的图象有两个交点，数形结合求解即可.
【详解】当时，,
则,
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
所以时，.
当时，，
则，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
所以时，.
画出函数的图象如图所示：
因为函数有两个零点，
所以与的图象有两个交点，
由图可知或.
所以的取值范围为.
故选:C.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知两点，，若向量与垂直，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】求出，根据即可求解.
【详解】因为，，所以.
因为向量与垂直，
所以，解答.
故答案为:.
14. 的三个顶点到直线的距离分别为1，2，3，则该三角形的重心到直线的距离为__________（答案不唯一，填一个即可）．
【答案】1（答案不唯一）
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，利用重心坐标、点到直线的距离公式求得三角形的重心到直线的距离的范围，由此确定正确答案.
【详解】以平面内一点为原点，建立平面直角坐标系，
设，则，
设直线的方程为（不同时为），
不妨设，
设三角形的重心到直线的距离为，
则
，
则当同号时，取得最大值为，
当，
或时，
取得最小值为，也即过重心.
所以.
故答案为:1（答案不唯一）.
15. 折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其展开几何图是如图2的扇形，其中，，，点在上，则的最小值是__________．

【答案】
【解析】
【分析】若为中点，由、，应用向量数量积的运算律化简得，根据位置关系求最小值.
【详解】如下图，，
若中点，且，则，
则，
要使其最小，只需共线，

此时，由图知此时.
故答案为：.
16. 已知是双曲线的右顶点，点在上，为的左焦点，若的面积为，则的离心率为__________．
【答案】
【解析】
【分析】由题设可得，结合点在双曲线上及参数关系求出双曲线参数，即可得离心率.
【详解】由题设知：，则，

所以且，易知：，
又，故，且，
所以，则，
化简得，解得或（舍），
综上，，故，则离心率为.
故答案：
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：60分．
17 已知数列满足且．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题设得，应用累加法求通项公式即可；
（2）应用错位相减及等比数列前n项和公式求.
【小问1详解】
由题设，即，而，
所以，且，
所以，显然也满足上式，故.
【小问2详解】
由（1）知：，
所以，
则，
两式相减得：，
所以.
18. 在三棱台中，，分别是，的中点，，平面，且，．

（1）求证：；
（2）求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形、棱台、线面垂直的性质证四边形为矩形，并求得相关线段的长度，再证得到，根据面面垂直的判定、性质证平面，进而得到，最后由线面垂直的判定和性质证结论.
（2）由，结合棱锥体积公式求体积即可.
【小问1详解】
由，，则，是的中点，即，

由为棱台，易知，且，故，
又，且，故四边形为平行四边形，
又平面，平面，则，
所以四边形为矩形，又，是的中点，故，
在中，且，
所以，易得，则，
由平面，平面，则平面平面，
由等腰三角形性质知，平面，平面平面，
所以平面，平面，则，
又，面，则面，
由面，则.
【小问2详解】
由，由（1）知：平面，
所以.
所以三棱锥的体积为.
19. 北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断．为了研究“冰墩墩”与“雪容融”在不同性别的人群中受欢迎程度是否存在差异，某机构从关注冬奥会公众号的微信用户中随机调查了200人，得到如下列联表：
参考公式：，其中．附表：
（1）完善列联表，并求女生中更喜欢“冰墩墩”的频率是多少？
（2）是否有90%的把握认为“对两个吉祥物的喜好倾向与性别有关”．
【答案】（1）；
（2）有90%的把握认为“对两个吉祥物的喜好倾向与性别有关”．
【解析】
【分析】（1）根据完善列联表，再求频率即可；
（2）根据公式求出，对比临界值表即可求解.
【小问1详解】
由列联表可得 ，解得，
故完善列联表如下：
故女生中更喜欢“冰墩墩”的频率是.
【小问2详解】
,
所以有90%的把握认为“对两个吉祥物的喜好倾向与性别有关”．
20. 已知点在椭圆上，直线交于，两点，直线，的斜率之和为0．
（1）求直线的斜率；
（2）求的面积的最大值（为坐标原点）．
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【分析】（1）代入，求出，得到曲线方程，当直线的斜率不存在时，不合要求，设，联立椭圆方程，求出两根之和，两根之积，由求出，得到；
（2）由求出，求出，并得到点到直线的距离为，表达出，从而求出的面积的最大值.
【小问1详解】
由题意得，解得，
代入椭圆方程中，，解得或6（舍去），
故，

当直线的斜率不存在时，关于轴对称，此时有对称性可知，直线，的斜率之和不为0，舍去；
设，联立椭圆方程得，，
则，则，
设，则，
，
故，
即，故，
即，
当时，，此时直线，
显然直线恒过，矛盾，
当时，经检验，满足题意，
故直线的斜率为1；
【小问2详解】
设，联立椭圆方程得，，
，解得，
，
点到直线的距离为，
故
，
故当，即时，取得最大值，最大值为.
【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．
21. 已知函数．
（1）若函数图象与直线相切，求实数的值；
（2）若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）;
（2）.
【解析】
【分析】（1）设切点坐标，根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而列出关于的方程组，解之即可;
（2）由题意可得只有一个根，易知，可转化为与的图象只有一个交点，根据导数研究函数的单调性，数形结合即可求解.
【小问1详解】
设直线与函数的图象相切于点，
因为,
所以，由②③可得④，易知.
由①得，代入④可得，
即，即，解得.
故.
【小问2详解】
令，可得，
由题意可得只有一个根.
易知不是方程的根，所以，
所以由，可得.
设，则与的图象只有一个交点.
，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
设，则，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
所以.
所以.
又，时，，时，，
画出函数的图象如图所示：

由图可知，若与的图象只有一个交点，
则.
所以实数的取值范围是.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（，为参数）．直线的参数方程为（为参数）．
（1）求曲线和直线的普通方程；
（2）直线与曲线相交于不同的两点，，，过且与直线平行的直线，与相交于，两点，求的值．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）消参求曲线的普通方程，讨论或、或并消参求直线方程；
（2）由题设排除或的情况，将两直线的参数方程代入曲线普通方程，结合韦达定理求目标式的值.
【小问1详解】
由，则曲线的普通方程为，
由，
若或时，则直线的普通方程为，
若或时；
综上，曲线的普通方程为，直线的普通方程为（或），或（或）.
【小问2详解】
若或，将代入，则，
整理得，令，则，
可设直线为代入，则，
整理得，令，则，
此时；
若或，此时直线与直线重合，均为，不满足题设；
综上，.
23. 已知函数，，且的解集为．
（1）求的值；
（2）设、、为正数，且，求的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据公式法解绝对值不等式，结合已知解集求参数值；
（2）由（1）得，应用柯西不等式求目标式的最大值，注意取值条件.
【小问1详解】
由题设的解集为，显然，
所以，即，可得.
【小问2详解】
由（1）知：，
，
当且仅当时等号成立，故最大值为.
男生
女生
总计
更喜欢“冰墩墩”
50
更喜欢“雪容融”
70
总计
100
100
200
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
男生
女生
总计
更喜欢“冰墩墩”
50
30
80
更喜欢“雪容融”
50
70
120
总计
100
100
200