2024菏泽一中高一上学期12月月考试题数学含解析

这是一份2024菏泽一中高一上学期12月月考试题数学含解析，共21页。试卷主要包含了 已知函数，则， 函数的图象大致为， 已知，，，则，，的大小关系为， 下列命题是真命题的是， 下列说法正确的有， 已知，且，下列结论中正确的是等内容，欢迎下载使用。

一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每道题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的）
1 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A. 与B. 与
C. 与D. 与
3. 已知函数，则（ ）
A. 是奇函数，且在上是减函数B. 是奇函数，且在上是增函数
C. 是偶函数，且在上是减函数D. 是偶函数，且在上是增函数
4. 赣南脐橙，江西省赣州市特产，中国国家地理标志产品.赣南脐橙年产量达百万吨，原产地江西省赣州市已经成为脐橙种植面积世界第一，年产量世界第三，全国最大的脐橙主产区.假设某赣南脐橙种植区的脐橙产量平均每年比上一年增长，若要求该种植区的脐橙产量高于当前脐橙产量的6倍，则至少需要经过的年数为（ ）（参考数据：取）
A. 9B. 10C. 11D. 12
5. 函数的图象大致为（ ）
A B.
C. D.
6. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知，，，则，，的大小关系为
A. B. C. D.
8. 已知，若方程有四个不同的实数根，则的最小值是（ ）
A. 2B. 3C. 4D.
二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 下列命题是真命题的是（ ）
A 若，则
B. 若非零实数，，满足，，则
C. 若，则
D. 若，，则
10. 下列说法正确的有（ ）
A. 已知集合，全集，若，则实数的集合为
B. “”是“”的必要不充分条件
C. 命题，成立的充要条件是
D. “”是“”的充分必要条件
11. 已知，且，下列结论中正确的是（ ）
A. 的最小值是9B. 的最小值是
C. 的最大值是D. 的最小值是
12. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 幂函数图象过点，则
B. 函数的定义域为，则的定义域为
C. 已知，则
D. 关于的方程与的根分别为，则
三､填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分）
13. 用二分法研究函数的零点，第一次经计算，则第二次计算的的值为___．
14. 计算：_______．
15. 已知角的终边上一点，且，则____.
16. 已知函数的值域为，则实数a的取值范围是______．
四､解答题（本大题有6小题，共70分，其中第17题10分，第18-22题每题12分.）
17. 已知非空集合，，全集．
（1）当时，求；
（2）若是成立的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
18. 在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题.
已知_______．
（1）求的值；
（2）当为第三象限角时，求的值．
19. 某新能源公司投资280万元用于新能源汽车充电桩项目，且年内的总维修保养费用为万元，该项目每年可给公司带来200万元的收入.设到第且年年底，该项目的纯利润（纯利润=累计收入-累计维修保养费-投资成本）为万元.已知到第3年年底，该项目的纯利润为128万元.
（1）求实数的值.并求该项目到第几年年底纯利润第一次能达到232万元；
（2）到第几年年底，该项目年平均利润（平均利润=纯利润年数）最大？并求出最大值.
20. 已知.
（1）若的解集A是集合的真子集，求实数a的取值范围；
（2）若对，均有恒成立，求实数a的取值范围.
21. 已知函数，R．
（1）若为偶函数，求a值；
（2）令．若函数在上有两个不同的零点，求a的取值范围．
22. 已知函数的图象可由函数（且）的图象先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到，且.
（1）求的值；
（2）若函数，证明：；
（3）若函数与在区间上都是单调的，且单调性相同，求实数的取值范围.
菏泽一中高一12月份月考试题
数学试题
一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每道题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出集合，利用交集的定义可求得结果.
【详解】因为，因此，.
故选：B.
2. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A. 与B. 与
C. 与D. 与
【答案】B
【解析】
【分析】
求出各选项中两个函数的定义域，并化简函数解析式，利用函数相等的定义判断可得出结论.
【详解】对于A选项，函数的定义域为，函数的定义域为，
A选项中的两个函数不相等；
对于B选项，函数与的定义域均为，
且，，B选项中的两个函数相等；
对于C选项，函数与的定义域均为，且，
C选项中的两个函数不相等；
对于D选项，函数的定义域为，函数的定义域为，
D选项中两个函数不相等.
故选：B.
3. 已知函数，则（ ）
A. 是奇函数，且在上是减函数B. 是奇函数，且在上是增函数
C. 是偶函数，且在上是减函数D. 是偶函数，且在上是增函数
【答案】D
【解析】
【分析】首先判断函数的奇偶性，再结合对数函数的性质说明函数在上的单调性，即可判断.
【详解】函数定义域为，
且，所以为偶函数，函数图象关于轴对称，
当时，因为与在上单调递增，
所以在上单调递增.
故选：D
4. 赣南脐橙，江西省赣州市特产，中国国家地理标志产品.赣南脐橙年产量达百万吨，原产地江西省赣州市已经成为脐橙种植面积世界第一，年产量世界第三，全国最大脐橙主产区.假设某赣南脐橙种植区的脐橙产量平均每年比上一年增长，若要求该种植区的脐橙产量高于当前脐橙产量的6倍，则至少需要经过的年数为（ ）（参考数据：取）
A. 9B. 10C. 11D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】先根据条件建立对数不等式，从而得到，再利用换底公式即可求出的值，进而求出的范围得到结果.
【详解】假设当前该种植区的脐橙产量为1，经过年该种植区的脐橙产量为，
由题意得，得到，
又因为，
所以，故至少需要经过的年数为10.
故选：B.
5. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】判断函数的奇偶性排除两个选项，再结合特殊的函数值排除一个选项后得正确结论．
【详解】由，得，所以函数的定义域为，
因为，所以函数为偶函数，故排除AC；
又，故排除D.
故选：B.
6. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据对数函数与二次函数复合的函数的单调性判别方法即可得到答案.
【详解】设，令，解得或，
则的定义域为，
因为二次函数对称轴为，则其在单调递增，
而外函数在上单调递减，故在单调递减，
则实数的取值范围为，
故选：B.
7. 已知，，，则，，的大小关系为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】 ，，，再比较的大小.
【详解】，，，，故选A.
【点睛】本题考查了指对数比较大小，属于简单题型，同底的对数，指数可利用单调性比较大小，同指数不同底数，按照幂函数的单调性比较大小，或是和中间值比较大小.
8. 已知，若方程有四个不同的实数根，则的最小值是（ ）
A. 2B. 3C. 4D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合图像可知，由此可推得，，再利用二次函数的单调性即可得到的范围.
【详解】不妨设，
因为方程的根的个数即为与的交点个数，
由图象可得：若方程有四个不同的实数根，则，
又因为，且，
则，可得，
又因为，即，
可得，
所以当时，取到最小值.
故选：B.
【点睛】方法点睛：应用函数思想确定方程解的个数的两种方法
（1）转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题、数形结合、构建不等式(方程)求解；
（2）分离参数、转化为求函数的值域问题求解．
二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 若，则
B. 若非零实数，，满足，，则
C. 若，则
D. 若，，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】举反例可否定A；根据条件先判断c的符号，然后可判断B；根据对数函数单调性和真数范围，结合不等式性质可判断C；利用关系，由不等式性质可判断D.
【详解】A选项：当时，显然，A错误；
B选项：若非零实数，，满足，，则有，所以，B正确；
C选项：若，则，所以，C正确；
D选项：设，则，解得，
因为，所以，
又，所以，即，D正确.
故选：BCD
10. 下列说法正确的有（ ）
A. 已知集合，全集，若，则实数的集合为
B. “”是“”的必要不充分条件
C. 命题，成立的充要条件是
D. “”是“”的充分必要条件
【答案】BD
【解析】
【分析】对A，先化简集合，然后根据条件来解即可；
对B， 根据充分必要条件的定义来判断即可；
对C， 问题转化为求在区间有解即可；
对D， 由化简即可判断.
【详解】对A， ，若，则，
当时，，当时，由或，或，故实数的集合为，故A不正确；
对B， “”不一定有“”，而“”一定有“”，“”是“”的必要不充分条件，故B正确；
对C，，成立，则化为：在区间有解，而在区间上的最小值为， ，故C不正确；
对D， ，且，“”是“”的充分必要条件，故D正确.
故选：BD
11. 已知，且，下列结论中正确的是（ ）
A. 的最小值是9B. 的最小值是
C. 的最大值是D. 的最小值是
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，直接由“乘1法”结合基本不等式即可判断；对于B，直接由基本不等式以及指数的运算性质即可判断；对于C，先由基本不等式得到的最大值为，进一步结合对数的运算性质即可判断；对于D，直接由“配凑法”以及基本不等式即可得解.
【详解】，且，
对于A，，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是9，所以A正确；
对于B，由，
当且仅当时等号成立，所以的最小值为，所以B正确；
对于C，由，解得，当且仅当时等号成立，
则的最大值为，的最大值是，所以C错误；
对于D，由，
得，当且仅当时等号成立，
则的最小值是，所以D正确.
故选：ABD.
12. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 幂函数的图象过点，则
B. 函数的定义域为，则的定义域为
C. 已知，则
D. 关于的方程与的根分别为，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】A中，利用待定系数法求出幂函数的解析式即可；
B中，根据函数的定义域求出的定义域，再求的定义域；
C中，，即可求出的值；
D中，利用函数图象的对称性，求出的关系，由此求得的值．
【详解】对于A，设幂函数，图象过点，则，解得，所以，选项A正确；
对于B，函数的定义域为，所以，即的定义域为，
令，解得，所以的定义域为，选项B错误；
对于C，已知，则时，有，选项C正确；
对于D，关于的方程与的根分别为，
则函数与的图象，分别与直线相交于点与点，
函数与互为反函数，图象关于直线对称，
直线也关于直线对称，所以点与点关于直线对称，
有，，所以，选项D正确．
故选：ACD．
三､填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分）
13. 用二分法研究函数的零点，第一次经计算，则第二次计算的的值为___．
【答案】##-0.484375
【解析】
【分析】根据零点存在定理确定零点所在区间，第二次计算区间中点处的函数值
【详解】解：因为，所以第二次应计算，
所以，
故答案为：
14. 计算：_______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据对数运算法则计算即可.
【详解】.
故答案为：
15. 已知角的终边上一点，且，则____.
【答案】
【解析】
【分析】利用正弦函数的定义列出关于m的方程，解之即可求得m的值.
【详解】由角的终边上一点，且，
可得，解之得或（舍）
故答案为：
16. 已知函数的值域为，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，令，转化为的值域取遍一切正实数，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解.
【详解】由函数，令，
令，可得，
要使得函数的值域为，
则的值域能取遍一切正实数，
当时，则满足，解得；
当时，可得，符合题意；
当时，则满足，此时函数的值域能取遍一切正实数，符合题意，
综上可得，实数的取值范围为.
故答案为：.
四､解答题（本大题有6小题，共70分，其中第17题10分，第18-22题每题12分.）
17. 已知非空集合，，全集．
（1）当时，求；
（2）若是成立的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】17. 或
18.
【解析】
【分析】（1）方法一，根据条件，直接利用补集、并集的运算法则，即可求出结果；方法二，利用，利用交集运算，求出，即可求出结果.
（2）根据条件得出是的真子集，再根据集合间的包含关系即可求出结果.
【小问1详解】
方法一：当时，，
所以或．
因为，
所以或，
所以或．
方法二：当时，，
故，
所以或．
【小问2详解】
因为是成立的充分不必要条件，
所以是的真子集，
当时，或
解得或，
综上，实数a的取值范围是．
18. 在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题.
已知_______．
（1）求的值；
（2）当为第三象限角时，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据诱导公式及同角的三角函数关系，得出条件①②③的结论都为，根据同角三角函数的关系化简，代入即可；
（2）由及为第三象限角求出和，再根据诱导公式化简，代值计算即可．
【小问1详解】
若选①，则；
若选②，则，即，则；
若选③，则，即；
因为，
将代入，原式．
【小问2详解】
由（1）得，即，
由，则，解得，
因为为第三象限角，所以，则，
．
19. 某新能源公司投资280万元用于新能源汽车充电桩项目，且年内的总维修保养费用为万元，该项目每年可给公司带来200万元的收入.设到第且年年底，该项目的纯利润（纯利润=累计收入-累计维修保养费-投资成本）为万元.已知到第3年年底，该项目的纯利润为128万元.
（1）求实数的值.并求该项目到第几年年底纯利润第一次能达到232万元；
（2）到第几年年底，该项目年平均利润（平均利润=纯利润年数）最大？并求出最大值.
【答案】（1），该项目到第4年年底纯利润第一次能达到232万元.
（2）到第6年年底，该项目年平均利润最大，最大为万元
【解析】
【分析】（1）根据已知条件，由的值求得，由解不等式求得正确答案.
（2）利用函数的单调性求得的最大值，以及此时对应的.
【小问1详解】
依题意可得，，
已知，
且.
令，解得.
该项目到第4年年底纯利润第一次能达到232万元.
小问2详解】
年平均利润为，
令且，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
又.
到第6年年底，该项目年平均利润最大，最大为万元
20. 已知.
（1）若的解集A是集合的真子集，求实数a的取值范围；
（2）若对，均有恒成立，求实数a取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）不等式化为，再分，，讨论求解，再根据真子集的概念求解；
（2）将对一切的实数，均有恒成立，转化为对一切的实数，恒成立，由求解.
【小问1详解】
解：由，可得，
当时，不等式的解集为，
因为集合A是集合的真子集，可得，∴；
当时，不等式的解集为，，满足题意；
当时，不等式的解集为，
因为集合A是集合的真子集，可得，∴，
综上所述，实数a的取值范围是
【小问2详解】
对一切的实数，均有恒成立，
即对一切的实数，恒成立，
即对一切的实数，恒成立，
即，因为，
所以，
当且仅当，即时等号成立，所以，
故实数a的取值范围是.
21. 已知函数，R．
（1）若为偶函数，求a的值；
（2）令．若函数在上有两个不同的零点，求a的取值范围．
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【分析】（1）利用偶函数的性质求解即可；
（2）令求出函数的零点，利用已知条件中零点的范围求解即可.
【小问1详解】
由已知得函数为偶函数，
则，即，
化简整理得，即恒成立，故．
【小问2详解】
由得，
即，，
所以的两个零点为，，
因为，，且，所以，且，
解得，且．
故a的取值范围是．
22. 已知函数的图象可由函数（且）的图象先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到，且.
（1）求的值；
（2）若函数，证明：；
（3）若函数与在区间上都是单调的，且单调性相同，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据图象平移的性质得到平移后的解析式即可求出的值；
（2）由（1）求出解析式，代入即可证明；
（3）由（1）求出和解析式，根据函数性质列出关于增函数的不等式即可求出取值范围.
【小问1详解】
函数的图象向下平移2个单位长度后得到的图象，
再向左平移1个单位长度得到的图象，
所以.又，
所以（负值舍去）；
【小问2详解】
由（1）可知
所以；
【小问3详解】
由（1）可知，
若两函数在区间上都是增函数，
则在区间上恒成立，
可得解得，
若两函数在区间上都是减函数，
则在区间上恒成立，
可得该不等式组无解,
综上，实数的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于对函数增减性以及函数性质列出正确的不等式.