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2024年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编（十一）
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这是一份2024年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编（十一），文件包含2024年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编十一原卷版docx、2024年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编十一解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共54页， 欢迎下载使用。
1．（2023·广东汕尾·高三校考期中）函数在区间上恰有三个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习）已知函数是定义域上的单调减函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习），则（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习）已知函数则下列说法正确的是（ ）
A．当时，B．有且仅有一个极值点
C．有且仅有两个极值点D．存在，使得
5．（2023·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知，，则（ ）
A．4B．6C．D．
6．（2023·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知函数的零点分别为，，…，（），则（ ）
A．B．C．0D．2
7．（2023·湖北黄冈·高三浠水县第一中学校考期中）人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术．在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．设，，则曼哈顿距离，余弦距离，其中（O为坐标原点）．已知，，则的最大值近似等于（ ）
（参考数据：，．）
A．0.052B．0.104C．0.896D．0.948
8．（2023·湖北·高三襄阳五中校联考期中）如图，已知，是双曲线C：的左、右焦点，以为圆心的圆与双曲线左右两支交于P、Q两点，且则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·江苏徐州·高三校考阶段练习）已知函数在区间上有且仅有1个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．（2023·江苏徐州·高三校考阶段练习）记数列的前项和为，满足，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
11．（2023·江苏南通·高三江苏省如皋中学校考阶段练习）对于两个函数与，若这两个函数值相等时对应的自变量分别为，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
12．（2023·江苏淮安·高三马坝高中校考期中）已知函数（）在上恰有2个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
13．（2023·江苏常州·高三江苏省前黄高级中学校考期中）水平桌面上放置了4个半径为2的小球，4个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相切.若用一个半球形的容器罩住四个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为（ ）
A．4B．C．D．6
14．（2023·江苏常州·高三江苏省前黄高级中学校考期中）设实数，若不等式对恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
15．（2023·江苏连云港·高三统考期中）若函数在上存在唯一的极值点，则正数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
16．（2023·江苏连云港·高三统考期中）设，，都是单位向量，且与的夹角为60°，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
17．（2023·河北石家庄·高三石家庄二中校联考期中）人教A版必修第一册第92页上“探究与发现”的学习内容是“探究函数的图象与性质”，经探究它的图象实际上是双曲线．现将函数的图象绕原点顺时针旋转得到焦点位于x轴上的双曲线C，则该双曲线C的离心率是（ ）
A．B．C．D．
18．（2023·重庆·高三重庆巴蜀中学校考期中）已知 Q 为抛物线 C: 上的动点，动点 M 满足到点A(2，0)的距离与到点F(F是C的焦点)的距离之比为 则|QM|+|QF|的最小值是（ ）
A．B．C．D．4
19．（2023·重庆·高三重庆巴蜀中学校考期中）若关于x的不等式 的解集中恰有三个整数解，则整数a的取值是（ ）(参考数据:ln2≈0.6931， ln3≈1.0986)
A．4B．5C．6D．7
二、多选题
20．（2023·广东汕尾·高三校考期中）已知函数满足：，且在上的导数，则不等式的整数解可以为（ ）
A．4B．3C．2D．1
21．（2023·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习）已知函数的定义域为，为的导函数，且，，若为偶函数，则下列一定成立的有
（ ）
A．B．
C．D．
22．（2023·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，若将函数的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列命题正确的是（ ）
A．函数的解析式为
B．函数的解析式为
C．函数在区间上单调递增
D．函数图象的一条对称轴是直线
23．（2023·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知三棱锥P-ABC内接于球O，PA⊥平面ABC，，AB⊥AC，，点D为AB的中点，点Q在三棱锥P-ABC表面上运动，且，已知在弧度制下锐角，满足：，，则下列结论正确的是（ ）
A．过点D作球的截面，截面的面积最小为B．过点D作球的截面，截面的面积最大为
C．点Q的轨迹长为D．点Q的轨迹长为
24．（2023·湖北黄冈·高三浠水县第一中学校考期中）已知抛物线的焦点为，点为抛物线上两个位于第一象限的动点，且有．直线与准线分别交于两点，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，延长交准线于
25．（2023·湖北黄冈·高三浠水县第一中学校考期中）已知函数，，则（ ）
A．函数在上无极值点
B．函数在上存在极值点
C．若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值
D．若，则的最大值为
26．（2023·湖北·高三襄阳五中校联考期中）设，过定点A的动直线：与过定点B的动直线：交于点P，则下列说法正确的有（ ）
A．B．面积的最大值为
C．D．的最大值为
27．（2023·湖北·高三襄阳五中校联考期中）如图，正方体的棱长为4，点E、F、G分别在棱、、上，满足，，记平面与平面的交线为，则（ ）
A．存在使得平面截正方体所得截面图形为四边形
B．当时，三棱锥体积为
C．当时，三棱锥的外接球表面积为
D．当时，直线与平面所成的角的正弦值为
28．（2023·江苏徐州·高三校考阶段练习）已知函数，则下列结论正确的为（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于对称
C．的最小值为
D．在区间上单调递增
29．（2023·江苏南通·高三江苏省如皋中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，，点在圆上运动，下列说法正确的是（ ）
A．点到直线的距离最大值是
B．的最小值为
C．的最小值为10
D．过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，直线过定点
30．（2023·江苏淮安·高三马坝高中校考期中）在正方体中，E，F，G分别为BC，，的中点，则（ ）
A．直线与直线AF异面
B．直线与平面AEF平行
C．平面AEF截正方体所得的截面是等腰梯形
D．三棱锥A-CEF的体积是正方体体积的
31．（2023·江苏淮安·高三马坝高中校考期中）函数的定义域为，已知是奇函数，，当时，，则下列各选项正确的是（ ）
A．B．在单调递增C．D．
32．（2023·江苏常州·高三江苏省前黄高级中学校考期中）已知函数及其导函数的定义域均为，记.若满足，的图象关于直线对称，且，则（ ）
A．B．是奇函数
C．D．
33．（2023·江苏常州·高三江苏省前黄高级中学校考期中）已知函数，则（ ）
A．是奇函数B．的最大值大于
C．，D．，
34．（2023·江苏连云港·高三统考期中）定义在的函数满足，且当时，，则（ ）
A．是奇函数B．在上单调递减
C．D．
35．（2023·江苏连云港·高三统考期中）在正四棱柱中，，.H，，E分别为，，的中点，点M在直线上，，.下列说法正确的有（ ）
A．当时，与所成角的余弦值为
B．当时，点M到平面的距离为
C．当时，平面
D．若平面与平面所成锐二面角的余弦值为，则
36．（2023·河北石家庄·高三石家庄二中校联考期中）如图，有一只青蛙在正方形池塘的顶点ABCD之间跳跃，假设青蛙它跳向相邻顶点的概率为，跳向不相邻顶点的概率为，若青蛙一开始位于顶点A处，记青蛙跳跃n次后仍位于顶点A上的概率为，则下列结论中正确的是（ ）
A．青蛙跳跃2次后位于B点的概率为
B．数列是等比数列
C．青蛙跳动奇数次后只能位于点A的概率始终小于
D．存在整数，使得青蛙跳动n次后位于C点和D点的概率相等
37．（2023·重庆·高三重庆巴蜀中学校考期中）设函数的导函数为， 且满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
38．（2023·重庆·高三重庆巴蜀中学校考期中）已知平面向量a， t满足 则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为
B．若 则 的最大值为
C．若向量满足则 的最大值是
D．若向量满足，则 的最小值是2
三、填空题
39．（2023·广东汕尾·高三校考期中）已知，若直线关于轴对称的直线与圆有公共点，则实数的取值范围是 ．
40．（2023·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习）定义：若函数图象上存在相异的两点，满足曲线在和处的切线重合，则称是“重切函数”，，为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”.由上述定义可知曲线的“双重切线”的方程为 .
41．（2023·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习）已知不等式对任意恒成立，则实数的最小值是 ．
42．（2023·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知函数的定义域为，且，函数在区间内的所有零点为（i=1，2，3，…，n）．若，则实数a的取值范围是 ．
43．（2023·湖北黄冈·高三浠水县第一中学校考期中）素描是使用单一色彩表现明暗变化的一种绘画方法，素描水平反映了绘画者的空间造型能力．“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，图1是某同学绘制的“十字贯穿体”的素描作品．“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）．若该同学绘制的“十字贯穿体”由两个底面边长为4，高为的正四棱柱构成（图2），则一只蚂蚁从该“十字贯穿体”的点出发，沿表面到达点的最短路线长为 ．
44．（2023·湖北黄冈·高三浠水县第一中学校考期中）已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，则的最小值为 .
45．（2023·湖北·高三襄阳五中校联考期中）对于任意的实数、，函数满足关系式，则 ．
46．（2023·湖北·高三襄阳五中校联考期中）已知，函数在上单调递减，则实数的取值范围是 ．
47．（2023·江苏徐州·高三校考阶段练习）在平行四边形中，已知，，，，则 ．
48．（2023·江苏淮安·高三马坝高中校考期中）三棱锥的四个顶点都在表面积为的球O上，点A在平面的射影是线段的中点，，则平面被球O截得的截面面积为 ．
49．（2023·江苏常州·高三江苏省前黄高级中学校考期中）已知是函数的一个零点，且，则的最小值为 ．
50．（2023·江苏常州·高三江苏省前黄高级中学校考期中）已知函数，过点可作曲线的3条切线，则实数a的取值范围为 .
51．（2023·江苏连云港·高三统考期中）如图，对于曲线G所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角，使得对于曲线G上的任意两个不同的点恒有成立，则称角为曲线G的相对于点O的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线G的相对于点O的“确界角”.已知曲线C：（其中e是自然对数的底数），点O为坐标原点，曲线C的相对于点O的“确界角”为，则 .
52．（2023·江苏连云港·高三统考期中）在平面直角坐标系xOy中，F是双曲线的右焦点，直线y＝2b与双曲线交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该双曲线的离心率为 ．
53．（2023·河北石家庄·高三石家庄二中校联考期中）若，，且，不等式恒成立，则m的取值范围为 ．
54．（2023·重庆·高三重庆巴蜀中学校考期中）已知数列{}满足，若对任意正整数都有恒成立，则k的取值范围是 .
55．（2023·重庆·高三重庆巴蜀中学校考期中）已知△ABC的面积为1，且AB=2BC，则当AC取得最小值时， BC的长为 .
四、双空题
56．（2023·江苏南通·高三江苏省如皋中学校考阶段练习）设，若方程恰有四个不相等的实根，则这四个根之和为 ；若方程有四个不相等的实根，且，则的取值范围为 ．
1．（2023·广东汕尾·高三校考期中）函数在区间上恰有三个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习）已知函数是定义域上的单调减函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习），则（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习）已知函数则下列说法正确的是（ ）
A．当时，B．有且仅有一个极值点
C．有且仅有两个极值点D．存在，使得
5．（2023·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知，，则（ ）
A．4B．6C．D．
6．（2023·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知函数的零点分别为，，…，（），则（ ）
A．B．C．0D．2
7．（2023·湖北黄冈·高三浠水县第一中学校考期中）人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术．在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．设，，则曼哈顿距离，余弦距离，其中（O为坐标原点）．已知，，则的最大值近似等于（ ）
（参考数据：，．）
A．0.052B．0.104C．0.896D．0.948
8．（2023·湖北·高三襄阳五中校联考期中）如图，已知，是双曲线C：的左、右焦点，以为圆心的圆与双曲线左右两支交于P、Q两点，且则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·江苏徐州·高三校考阶段练习）已知函数在区间上有且仅有1个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．（2023·江苏徐州·高三校考阶段练习）记数列的前项和为，满足，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
11．（2023·江苏南通·高三江苏省如皋中学校考阶段练习）对于两个函数与，若这两个函数值相等时对应的自变量分别为，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
12．（2023·江苏淮安·高三马坝高中校考期中）已知函数（）在上恰有2个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
13．（2023·江苏常州·高三江苏省前黄高级中学校考期中）水平桌面上放置了4个半径为2的小球，4个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相切.若用一个半球形的容器罩住四个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为（ ）
A．4B．C．D．6
14．（2023·江苏常州·高三江苏省前黄高级中学校考期中）设实数，若不等式对恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
15．（2023·江苏连云港·高三统考期中）若函数在上存在唯一的极值点，则正数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
16．（2023·江苏连云港·高三统考期中）设，，都是单位向量，且与的夹角为60°，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
17．（2023·河北石家庄·高三石家庄二中校联考期中）人教A版必修第一册第92页上“探究与发现”的学习内容是“探究函数的图象与性质”，经探究它的图象实际上是双曲线．现将函数的图象绕原点顺时针旋转得到焦点位于x轴上的双曲线C，则该双曲线C的离心率是（ ）
A．B．C．D．
18．（2023·重庆·高三重庆巴蜀中学校考期中）已知 Q 为抛物线 C: 上的动点，动点 M 满足到点A(2，0)的距离与到点F(F是C的焦点)的距离之比为 则|QM|+|QF|的最小值是（ ）
A．B．C．D．4
19．（2023·重庆·高三重庆巴蜀中学校考期中）若关于x的不等式 的解集中恰有三个整数解，则整数a的取值是（ ）(参考数据:ln2≈0.6931， ln3≈1.0986)
A．4B．5C．6D．7
二、多选题
20．（2023·广东汕尾·高三校考期中）已知函数满足：，且在上的导数，则不等式的整数解可以为（ ）
A．4B．3C．2D．1
21．（2023·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习）已知函数的定义域为，为的导函数，且，，若为偶函数，则下列一定成立的有
（ ）
A．B．
C．D．
22．（2023·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，若将函数的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列命题正确的是（ ）
A．函数的解析式为
B．函数的解析式为
C．函数在区间上单调递增
D．函数图象的一条对称轴是直线
23．（2023·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知三棱锥P-ABC内接于球O，PA⊥平面ABC，，AB⊥AC，，点D为AB的中点，点Q在三棱锥P-ABC表面上运动，且，已知在弧度制下锐角，满足：，，则下列结论正确的是（ ）
A．过点D作球的截面，截面的面积最小为B．过点D作球的截面，截面的面积最大为
C．点Q的轨迹长为D．点Q的轨迹长为
24．（2023·湖北黄冈·高三浠水县第一中学校考期中）已知抛物线的焦点为，点为抛物线上两个位于第一象限的动点，且有．直线与准线分别交于两点，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，延长交准线于
25．（2023·湖北黄冈·高三浠水县第一中学校考期中）已知函数，，则（ ）
A．函数在上无极值点
B．函数在上存在极值点
C．若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值
D．若，则的最大值为
26．（2023·湖北·高三襄阳五中校联考期中）设，过定点A的动直线：与过定点B的动直线：交于点P，则下列说法正确的有（ ）
A．B．面积的最大值为
C．D．的最大值为
27．（2023·湖北·高三襄阳五中校联考期中）如图，正方体的棱长为4，点E、F、G分别在棱、、上，满足，，记平面与平面的交线为，则（ ）
A．存在使得平面截正方体所得截面图形为四边形
B．当时，三棱锥体积为
C．当时，三棱锥的外接球表面积为
D．当时，直线与平面所成的角的正弦值为
28．（2023·江苏徐州·高三校考阶段练习）已知函数，则下列结论正确的为（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于对称
C．的最小值为
D．在区间上单调递增
29．（2023·江苏南通·高三江苏省如皋中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，，点在圆上运动，下列说法正确的是（ ）
A．点到直线的距离最大值是
B．的最小值为
C．的最小值为10
D．过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，直线过定点
30．（2023·江苏淮安·高三马坝高中校考期中）在正方体中，E，F，G分别为BC，，的中点，则（ ）
A．直线与直线AF异面
B．直线与平面AEF平行
C．平面AEF截正方体所得的截面是等腰梯形
D．三棱锥A-CEF的体积是正方体体积的
31．（2023·江苏淮安·高三马坝高中校考期中）函数的定义域为，已知是奇函数，，当时，，则下列各选项正确的是（ ）
A．B．在单调递增C．D．
32．（2023·江苏常州·高三江苏省前黄高级中学校考期中）已知函数及其导函数的定义域均为，记.若满足，的图象关于直线对称，且，则（ ）
A．B．是奇函数
C．D．
33．（2023·江苏常州·高三江苏省前黄高级中学校考期中）已知函数，则（ ）
A．是奇函数B．的最大值大于
C．，D．，
34．（2023·江苏连云港·高三统考期中）定义在的函数满足，且当时，，则（ ）
A．是奇函数B．在上单调递减
C．D．
35．（2023·江苏连云港·高三统考期中）在正四棱柱中，，.H，，E分别为，，的中点，点M在直线上，，.下列说法正确的有（ ）
A．当时，与所成角的余弦值为
B．当时，点M到平面的距离为
C．当时，平面
D．若平面与平面所成锐二面角的余弦值为，则
36．（2023·河北石家庄·高三石家庄二中校联考期中）如图，有一只青蛙在正方形池塘的顶点ABCD之间跳跃，假设青蛙它跳向相邻顶点的概率为，跳向不相邻顶点的概率为，若青蛙一开始位于顶点A处，记青蛙跳跃n次后仍位于顶点A上的概率为，则下列结论中正确的是（ ）
A．青蛙跳跃2次后位于B点的概率为
B．数列是等比数列
C．青蛙跳动奇数次后只能位于点A的概率始终小于
D．存在整数，使得青蛙跳动n次后位于C点和D点的概率相等
37．（2023·重庆·高三重庆巴蜀中学校考期中）设函数的导函数为， 且满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
38．（2023·重庆·高三重庆巴蜀中学校考期中）已知平面向量a， t满足 则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为
B．若 则 的最大值为
C．若向量满足则 的最大值是
D．若向量满足，则 的最小值是2
三、填空题
39．（2023·广东汕尾·高三校考期中）已知，若直线关于轴对称的直线与圆有公共点，则实数的取值范围是 ．
40．（2023·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习）定义：若函数图象上存在相异的两点，满足曲线在和处的切线重合，则称是“重切函数”，，为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”.由上述定义可知曲线的“双重切线”的方程为 .
41．（2023·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习）已知不等式对任意恒成立，则实数的最小值是 ．
42．（2023·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知函数的定义域为，且，函数在区间内的所有零点为（i=1，2，3，…，n）．若，则实数a的取值范围是 ．
43．（2023·湖北黄冈·高三浠水县第一中学校考期中）素描是使用单一色彩表现明暗变化的一种绘画方法，素描水平反映了绘画者的空间造型能力．“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，图1是某同学绘制的“十字贯穿体”的素描作品．“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）．若该同学绘制的“十字贯穿体”由两个底面边长为4，高为的正四棱柱构成（图2），则一只蚂蚁从该“十字贯穿体”的点出发，沿表面到达点的最短路线长为 ．
44．（2023·湖北黄冈·高三浠水县第一中学校考期中）已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，则的最小值为 .
45．（2023·湖北·高三襄阳五中校联考期中）对于任意的实数、，函数满足关系式，则 ．
46．（2023·湖北·高三襄阳五中校联考期中）已知，函数在上单调递减，则实数的取值范围是 ．
47．（2023·江苏徐州·高三校考阶段练习）在平行四边形中，已知，，，，则 ．
48．（2023·江苏淮安·高三马坝高中校考期中）三棱锥的四个顶点都在表面积为的球O上，点A在平面的射影是线段的中点，，则平面被球O截得的截面面积为 ．
49．（2023·江苏常州·高三江苏省前黄高级中学校考期中）已知是函数的一个零点，且，则的最小值为 ．
50．（2023·江苏常州·高三江苏省前黄高级中学校考期中）已知函数，过点可作曲线的3条切线，则实数a的取值范围为 .
51．（2023·江苏连云港·高三统考期中）如图，对于曲线G所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角，使得对于曲线G上的任意两个不同的点恒有成立，则称角为曲线G的相对于点O的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线G的相对于点O的“确界角”.已知曲线C：（其中e是自然对数的底数），点O为坐标原点，曲线C的相对于点O的“确界角”为，则 .
52．（2023·江苏连云港·高三统考期中）在平面直角坐标系xOy中，F是双曲线的右焦点，直线y＝2b与双曲线交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该双曲线的离心率为 ．
53．（2023·河北石家庄·高三石家庄二中校联考期中）若，，且，不等式恒成立，则m的取值范围为 ．
54．（2023·重庆·高三重庆巴蜀中学校考期中）已知数列{}满足，若对任意正整数都有恒成立，则k的取值范围是 .
55．（2023·重庆·高三重庆巴蜀中学校考期中）已知△ABC的面积为1，且AB=2BC，则当AC取得最小值时， BC的长为 .
四、双空题
56．（2023·江苏南通·高三江苏省如皋中学校考阶段练习）设，若方程恰有四个不相等的实根，则这四个根之和为 ；若方程有四个不相等的实根，且，则的取值范围为 ．
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