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河南省菁师联盟2024届高三上学期8月联考数学试题（Word版附解析）
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这是一份河南省菁师联盟2024届高三上学期8月联考数学试题（Word版附解析），共22页。
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.
2．全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效.
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上.
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 复数，则以下为实数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的乘方和四则运算即可得到答案.
【详解】对A，，其不是实数，故A错误；
对B，，则其为实数，故B正确；
对C，，其不是实数，故C错误；
对D，，其不是实数，故D错误.
故选：B.
2. 全集，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意结合对数函数单调性求集合N，进而根据集合间的运算求解.
【详解】令，解得，所以，
因为，则，
所以.
故选：C.
3. 函数的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用特殊点法判断即可.
【详解】因为，
所以，故排除C；
，故排除B；
而，
所以在不可能单调递减，故排除D；
因为排除了BCD，而A又满足上述性质，故A正确.
故选：A.
4. 已知函数，则（ ）
A. 为奇函数
B. 为偶函数
C. 图象关于中心对称
D. 图象关于轴对称
【答案】C
【解析】
【分析】对于选项AB：根据函数的奇偶性定义对其判断；对于选项CD：根据函数中心对称或轴对称定义对其判断.
【详解】对于选项A：，则不是奇函数，故A错误；
对于选项B：，则不是偶函数，故B错误；
对于选项C：，
故的图象关于点中心对称，故C正确；
对于选项D：，则的图象不关于直线轴对称，故D错误；
故选：C.
5. ，两个相邻的零点分别为：，则以下是对称轴的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，求出，再利用余弦函数的性质求出对称轴作答.
【详解】依题意，函数的周期，，于是，
由，得，即，因此，
由，得，即图象的对称轴是，
当时，，即是图象的对称轴，B是；
显然，，都不可能化成的整数倍，即ACD不是.
故选：B
6. 高二1、2、3班各有升旗班同学人数分别为：1、3、3人，现从中任选2人参加升旗，则2人来自不同班的选法种数为（ ）
A. 12B. 15C. 20D. 21
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理、分步乘法计数原理列式计算作答.
【详解】依题意，选中高二1班的同学有种方法，高二1班的同学没选中有，
所以2人来自不同班的选法种数为.
故选：B
7. 圆台轴截面面积为，上下底面半径之比为，母线与底面所成角为，则圆台侧面积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】作出轴截面，利用等腰梯形面积公式求出上下底面半径和母线长，再利用圆台侧面积公式即可得到答案.
【详解】作出轴截面，则四边形为等腰梯形，，
过点作，
设上底面半径长为，则下底面半径长为，
则上底面直径，下底面直径，
则，则，
则，解得，
则上底面半径，下底面半径，
母线，则圆台侧面积.
故选：C.
8. 正四棱柱中，，二面角为，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】由二面角的大小求出，再利用几何法求出异面直线夹角的余弦作答.
【详解】在正四棱柱中，令，连接，如图，
由平面，平面，得，而，
平面，则平面，又平面，
于是，即是二面角的平面角，有，
而四边形是正四棱柱的对角面，则四边形为矩形，
令，由，得，显然，
因此是正三角形，，解得，则，
由于四边形是矩形，则有，从而是异面直线与所成的角，
.
故选：D
【点睛】方法点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中一条或两条，作出异面直线所成的角；
②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
③计算：求该角的值，常利用解三角形；
④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.
9. 教材《必修一》上有结论：对且，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用给定的结论计算判断AB；利用诱导公式结合A选项计算判断C；利用正弦函数性质判断D作答.
【详解】依题意，取，则，
，
因此，A正确；
，B错误；
由选项A知，，因此，C正确；
显然，D错误.
故选：AC
10. 双曲线左右焦点分别为，右支上有点，的面积为4，则（ ）
A. 双曲线的渐近线斜率为
B.
C.
D. 外接圆半径为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用双曲线的方程得到渐近线方程可判断A；利用双曲线的定义可判断B；利用的面积求得的坐标，从而利用向量垂直的坐标表示判断C；利用直角三角形的性质可判断D.
【详解】因为双曲线可化为，
所以，，，
则双曲线的渐近线方程为，即斜率为，故A正确；
由双曲线的定义可得，故B错误；
不妨设，因为的面积为4，
所以，则，
又，则，故，
所以，
则，
所以，则，故C正确；
因为为的中点，，所以为外接圆的圆心，
所以外接圆半径，故D正确.
故选：ACD.
11. 平面区域被直线分成面积相等的两部分，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】因为平面区域表示以为圆心，半径为2的上半圆与x轴组成的封闭区域，直线表示倾斜角为，过定点的直线，根据面积关系可得，构建函数，利用判断其单调性，结合单调性逐项分析判断.
【详解】因为，整理得，表示以为圆心，半径为2的上半圆，
可知，表示以为圆心，半径为2的上半圆与x轴组成的封闭区域，
又因为直线，表示倾斜角为，过定点的直线，
设直线与半圆的另一个交点为，，
可知：，且，则，
可得直线的下半部分的面积为，
由题意可得：，
整理得，即.
令，则为的零点，
且，所以在上单调递增.
对于选项A：因为，即，故A错误；
对于选项B：因为，
且在上单调递增，所以，故B正确；
对于选项C：因为，则，
由选项B可知：，所以，故C错误；
对于选项D：因为，故D正确；
故选：BD.
12. 与交于为曲线上的动点，则（ ）
A. 到直线距离最小值为
B.
C. 存在点，使得为等边三角形
D. 最小值为1
【答案】ABD
【解析】
【分析】设，利用点到直线的距离结合基本不等式即可判断A，求出坐标，计算出的表达式，利用换元法和配方法即可判断BD，通过假设存在这样的等边三角形，利用等边三角形性质求出点的坐标，再进行验证即可.
【详解】设，
对A，则点到直线的距离，
当且仅当，即时等号成立，故A正确；
对B,D，联立有，解得或，
则不妨假设，，
则，，
令，，因为在上均为单调增函数，
则，在上也为单调增函数，且，时，，
时，，且函数图象在上连续不间断，则，
则，当，即，即或（舍去）时取等，故BD正确.
对C，若要为等边三角形，则首先点为线段的垂直平分线和曲线的交点，
因为，则的中点坐标为，
则垂直平分线的所在直线的方程为，即，
将其与曲线联立得解得或（舍去），
此时，
而，则，
则不存在点，使得为等边三角形，故C错误.
故选：ABD.
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用设点，再求出点坐标，写出相关向量，利用点到直线的距离公式、基本不等式以及换元法等进行求解相关最值.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知：，则大小关系是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用作差法结合不等式性判断作答.
【详解】由，得，因此，
显然，则，
所以大小关系是.
故答案为：
14. 抛物线焦点为，准线上有点是抛物线上一点，为等边三角形，则点坐标为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，推理论证与抛物线准线垂直，再借助抛物线定义求解作答.
【详解】抛物线焦点为，点在准线上，
在等边中，，因此长等于点到准线的距离，即有与抛物线准线垂直，
令抛物线准线与x轴交于点，则，由轴，得，
于是，
令，则，解得，
所以点坐标为.
故答案为：
15. 函数是上的增函数，则的取值范围_________．
【答案】
【解析】
【分析】求导，根据题意分析可得在上恒成立，进而可得，分和两种情况，结合对数函数单调性解不等式即可.
【详解】由题意可得：，
因为函数是上的增函数，
则在上恒成立，且，
可得，即
当时，则，可得，
且在上单调递增，则，解得；
当时，则，可得，
且在上单调递增，则，无解；
综上所述：的取值范围为.
故答案为：.
16. 数列满足：，则_________．
【答案】512
【解析】
【分析】根据题意可得，进而可得，故从第二项开始，数列是以公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式运算求解.
【详解】当时，则；
当时，可得，且，
则，
可得：从第二项开始，数列是以公比为2的等比数列，
综上所述：.
故答案为：512.
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 数列，满足：，且数列为等比数列，
（1）求通项公式；
（2）设，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意分析可知：数列为等比数列是以首项为2，公比为2的等比数列，结合等比数列的通项公式运算求解；
（2）根据题意利用分组求和结合等差、等比数列的求和公式运算求解.
【小问1详解】
由题意可得：，则，
所以数列为等比数列是以首项为2，公比为2的等比数列，
则，可得.
【小问2详解】
因为，
则
，
所以.
18. 锐角中，．
（1）求；
（2）内有点，求．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理求出边b，再利用余弦定理求出作答.
（2）设，利用表示线段，再利用正弦定理求出，然后利用三角形面积公式求解作答.
【小问1详解】
在锐角中，由余弦定理得，即，
整理得，解得或，
当时，，，
此时都是锐角，符合题意，，
当时，，即，是钝角，不符合题意，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，设，
由，得，，
在中，，由正弦定理得，
显然，由，
得，
即，
整理得，即，
显然，因此，
所以.
19. 四棱锥中，底面是矩形，平面为中点，．
（1）求；
（2）求二面角的正弦值．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量垂直的坐标表示求解作答.
（2）利用（1）中的坐标系，利用空间向量求出二面角的正弦作答.
【小问1详解】
四棱锥中，底面矩形，平面，则两两垂直，
以点为原点，射线分别为轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，
设，由，得，中点，
则，由，得，而，解得，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，，则，
设平面的法向量，则，令，得，
设平面的法向量，则，令，得，
令二面角的夹角为，则，，
所以二面角的正弦值为.
20. 已脱贫的西部地区某贫困县，巩固拓展脱贫攻坚成果，全面推进乡村振兴，在国家产业扶贫政策的大力支持下，利用当地自然条件，在山上发展果树种植，现已开始大量结果，为了普及果树种植技术，该县举办“果树种植技术知识竞赛”，竞赛规则如下：先进行预赛，预赛共进行四轮答题比赛，在每轮答题比赛中，选手可选易，中，难三类题中的一题，答对得分，答错不得分，四轮答题中，易，中，难三类题中的每一类题最多选两个，预赛的四轮答题比赛得分不低于10分的进入决赛，某选手A答对各题相互独立，答对每类题的概率及得分如下表：
（1）若选手A前两轮都选择了中等难度题，且对了一题，错了一题，请你为选手A计划后两轮应该怎样选择答题，使得进入决赛的可能性更大，并说明理由；
（2）选手A四轮答题中，选择了一个容易题，两个中等难度题，一个难题，已知容易题答对，记选手A预赛四轮答题比赛得分总和为，求随机变量的分布列和数学期望．
【答案】（1）都选择容易题进行答题；
（2）分布列见解析，.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，确定后两轮的选择方案，再利用相互独立事件的概率公式计算比较作答.
（2）求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出数学期望作答.
【小问1详解】
依题意，选手A前两轮都选择了中等难度题，两轮得分和为4，于是选手A后两轮的选择有3种方案，
方案一：都选择容易题，则必须都答正确，于是进入决赛的概率；
方案二：都选择难题，则必须都答正确，于是进入决赛的概率；
方案三：容易题、难题各选1道，则必须都答正确，于是进入决赛的概率，
显然，所以后两轮都选择容易题进行答题，进入决赛的可能性更大.
【小问2详解】
依题意，可能值为：，
则；；
；；
；，
所以的分布列为：
数学期望为.
21. 椭圆的左右顶点分别为是栯圆上一点，．
（1）求椭圆方程；
（2）动直线交椭圆于两点，求面积取最大时的的值．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，结合斜率坐标公式列式求出作答.
（2）结合（1）求出长，及点到直线的距离，列出三角形面积的函数关系，利用导数探讨函数最大值情况作答.
【小问1详解】
在椭圆中，，而在椭圆上，且，
因此，解得，显然，则，
所以椭圆方程为.
【小问2详解】
直线与椭圆交于两点，则，
把代入方程得：，由椭圆的对称性知，
点到直线的距离，
当时，得的面积，
令，
求导得，
由，得，
当或时，，当或时，，
因此函数在上递增，在上递减，
而，
，显然，
于是当时，函数取得最大值，此时面积取得最大值，
所以当面积取最大时，.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．
22. 有两个零点．
（1）时，求的范围；
（2）且时，求证：．
【答案】（1）
（2）证明见详解
【解析】
【分析】（1）将函数零点与方程的根联系起来，进一步分离参数构造新的函数，利用导数研究其性态即可求解.
（2）当时由及的两个零点之间的距离可得.
【小问1详解】
时，，
由题意的两个零点即为
方程的两个根，
分离参数即得，令，
对其求导得，设，
则，所以在定义域上面单调递减，
注意到，所以随的变化情况如下表：
所以有极大值（最大值），
又当时，；当时，，
若方程有两个根，
则，即的取值范围为.
【小问2详解】
因为，设，
所以当且时有，
进而有，且
的函数图像恒在的函数图象上方，不妨设的两个零点为（且），如图所示：
因此的两个零点在二次函数两个零点之内，
所以有，令，则其二次项系数、一次项系数、常数项分步为，其判别式，
又，所以，
综上，有，命题得证.
【点睛】关键点点睛：第一问的关键在于将函数零点转化为方程的根进一步分离参数，至于第二问的关键是进行放缩，进而去发现相应零点之间的变化.
容易题
中等题
难题
答对概率
答对得分
3
4
5
3
7
8
11
12
16
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.
2．全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效.
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上.
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 复数，则以下为实数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的乘方和四则运算即可得到答案.
【详解】对A，，其不是实数，故A错误；
对B，，则其为实数，故B正确；
对C，，其不是实数，故C错误；
对D，，其不是实数，故D错误.
故选：B.
2. 全集，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意结合对数函数单调性求集合N，进而根据集合间的运算求解.
【详解】令，解得，所以，
因为，则，
所以.
故选：C.
3. 函数的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用特殊点法判断即可.
【详解】因为，
所以，故排除C；
，故排除B；
而，
所以在不可能单调递减，故排除D；
因为排除了BCD，而A又满足上述性质，故A正确.
故选：A.
4. 已知函数，则（ ）
A. 为奇函数
B. 为偶函数
C. 图象关于中心对称
D. 图象关于轴对称
【答案】C
【解析】
【分析】对于选项AB：根据函数的奇偶性定义对其判断；对于选项CD：根据函数中心对称或轴对称定义对其判断.
【详解】对于选项A：，则不是奇函数，故A错误；
对于选项B：，则不是偶函数，故B错误；
对于选项C：，
故的图象关于点中心对称，故C正确；
对于选项D：，则的图象不关于直线轴对称，故D错误；
故选：C.
5. ，两个相邻的零点分别为：，则以下是对称轴的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，求出，再利用余弦函数的性质求出对称轴作答.
【详解】依题意，函数的周期，，于是，
由，得，即，因此，
由，得，即图象的对称轴是，
当时，，即是图象的对称轴，B是；
显然，，都不可能化成的整数倍，即ACD不是.
故选：B
6. 高二1、2、3班各有升旗班同学人数分别为：1、3、3人，现从中任选2人参加升旗，则2人来自不同班的选法种数为（ ）
A. 12B. 15C. 20D. 21
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理、分步乘法计数原理列式计算作答.
【详解】依题意，选中高二1班的同学有种方法，高二1班的同学没选中有，
所以2人来自不同班的选法种数为.
故选：B
7. 圆台轴截面面积为，上下底面半径之比为，母线与底面所成角为，则圆台侧面积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】作出轴截面，利用等腰梯形面积公式求出上下底面半径和母线长，再利用圆台侧面积公式即可得到答案.
【详解】作出轴截面，则四边形为等腰梯形，，
过点作，
设上底面半径长为，则下底面半径长为，
则上底面直径，下底面直径，
则，则，
则，解得，
则上底面半径，下底面半径，
母线，则圆台侧面积.
故选：C.
8. 正四棱柱中，，二面角为，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】由二面角的大小求出，再利用几何法求出异面直线夹角的余弦作答.
【详解】在正四棱柱中，令，连接，如图，
由平面，平面，得，而，
平面，则平面，又平面，
于是，即是二面角的平面角，有，
而四边形是正四棱柱的对角面，则四边形为矩形，
令，由，得，显然，
因此是正三角形，，解得，则，
由于四边形是矩形，则有，从而是异面直线与所成的角，
.
故选：D
【点睛】方法点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中一条或两条，作出异面直线所成的角；
②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
③计算：求该角的值，常利用解三角形；
④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.
9. 教材《必修一》上有结论：对且，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用给定的结论计算判断AB；利用诱导公式结合A选项计算判断C；利用正弦函数性质判断D作答.
【详解】依题意，取，则，
，
因此，A正确；
，B错误；
由选项A知，，因此，C正确；
显然，D错误.
故选：AC
10. 双曲线左右焦点分别为，右支上有点，的面积为4，则（ ）
A. 双曲线的渐近线斜率为
B.
C.
D. 外接圆半径为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用双曲线的方程得到渐近线方程可判断A；利用双曲线的定义可判断B；利用的面积求得的坐标，从而利用向量垂直的坐标表示判断C；利用直角三角形的性质可判断D.
【详解】因为双曲线可化为，
所以，，，
则双曲线的渐近线方程为，即斜率为，故A正确；
由双曲线的定义可得，故B错误；
不妨设，因为的面积为4，
所以，则，
又，则，故，
所以，
则，
所以，则，故C正确；
因为为的中点，，所以为外接圆的圆心，
所以外接圆半径，故D正确.
故选：ACD.
11. 平面区域被直线分成面积相等的两部分，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】因为平面区域表示以为圆心，半径为2的上半圆与x轴组成的封闭区域，直线表示倾斜角为，过定点的直线，根据面积关系可得，构建函数，利用判断其单调性，结合单调性逐项分析判断.
【详解】因为，整理得，表示以为圆心，半径为2的上半圆，
可知，表示以为圆心，半径为2的上半圆与x轴组成的封闭区域，
又因为直线，表示倾斜角为，过定点的直线，
设直线与半圆的另一个交点为，，
可知：，且，则，
可得直线的下半部分的面积为，
由题意可得：，
整理得，即.
令，则为的零点，
且，所以在上单调递增.
对于选项A：因为，即，故A错误；
对于选项B：因为，
且在上单调递增，所以，故B正确；
对于选项C：因为，则，
由选项B可知：，所以，故C错误；
对于选项D：因为，故D正确；
故选：BD.
12. 与交于为曲线上的动点，则（ ）
A. 到直线距离最小值为
B.
C. 存在点，使得为等边三角形
D. 最小值为1
【答案】ABD
【解析】
【分析】设，利用点到直线的距离结合基本不等式即可判断A，求出坐标，计算出的表达式，利用换元法和配方法即可判断BD，通过假设存在这样的等边三角形，利用等边三角形性质求出点的坐标，再进行验证即可.
【详解】设，
对A，则点到直线的距离，
当且仅当，即时等号成立，故A正确；
对B,D，联立有，解得或，
则不妨假设，，
则，，
令，，因为在上均为单调增函数，
则，在上也为单调增函数，且，时，，
时，，且函数图象在上连续不间断，则，
则，当，即，即或（舍去）时取等，故BD正确.
对C，若要为等边三角形，则首先点为线段的垂直平分线和曲线的交点，
因为，则的中点坐标为，
则垂直平分线的所在直线的方程为，即，
将其与曲线联立得解得或（舍去），
此时，
而，则，
则不存在点，使得为等边三角形，故C错误.
故选：ABD.
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用设点，再求出点坐标，写出相关向量，利用点到直线的距离公式、基本不等式以及换元法等进行求解相关最值.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知：，则大小关系是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用作差法结合不等式性判断作答.
【详解】由，得，因此，
显然，则，
所以大小关系是.
故答案为：
14. 抛物线焦点为，准线上有点是抛物线上一点，为等边三角形，则点坐标为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，推理论证与抛物线准线垂直，再借助抛物线定义求解作答.
【详解】抛物线焦点为，点在准线上，
在等边中，，因此长等于点到准线的距离，即有与抛物线准线垂直，
令抛物线准线与x轴交于点，则，由轴，得，
于是，
令，则，解得，
所以点坐标为.
故答案为：
15. 函数是上的增函数，则的取值范围_________．
【答案】
【解析】
【分析】求导，根据题意分析可得在上恒成立，进而可得，分和两种情况，结合对数函数单调性解不等式即可.
【详解】由题意可得：，
因为函数是上的增函数，
则在上恒成立，且，
可得，即
当时，则，可得，
且在上单调递增，则，解得；
当时，则，可得，
且在上单调递增，则，无解；
综上所述：的取值范围为.
故答案为：.
16. 数列满足：，则_________．
【答案】512
【解析】
【分析】根据题意可得，进而可得，故从第二项开始，数列是以公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式运算求解.
【详解】当时，则；
当时，可得，且，
则，
可得：从第二项开始，数列是以公比为2的等比数列，
综上所述：.
故答案为：512.
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 数列，满足：，且数列为等比数列，
（1）求通项公式；
（2）设，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意分析可知：数列为等比数列是以首项为2，公比为2的等比数列，结合等比数列的通项公式运算求解；
（2）根据题意利用分组求和结合等差、等比数列的求和公式运算求解.
【小问1详解】
由题意可得：，则，
所以数列为等比数列是以首项为2，公比为2的等比数列，
则，可得.
【小问2详解】
因为，
则
，
所以.
18. 锐角中，．
（1）求；
（2）内有点，求．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理求出边b，再利用余弦定理求出作答.
（2）设，利用表示线段，再利用正弦定理求出，然后利用三角形面积公式求解作答.
【小问1详解】
在锐角中，由余弦定理得，即，
整理得，解得或，
当时，，，
此时都是锐角，符合题意，，
当时，，即，是钝角，不符合题意，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，设，
由，得，，
在中，，由正弦定理得，
显然，由，
得，
即，
整理得，即，
显然，因此，
所以.
19. 四棱锥中，底面是矩形，平面为中点，．
（1）求；
（2）求二面角的正弦值．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量垂直的坐标表示求解作答.
（2）利用（1）中的坐标系，利用空间向量求出二面角的正弦作答.
【小问1详解】
四棱锥中，底面矩形，平面，则两两垂直，
以点为原点，射线分别为轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，
设，由，得，中点，
则，由，得，而，解得，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，，则，
设平面的法向量，则，令，得，
设平面的法向量，则，令，得，
令二面角的夹角为，则，，
所以二面角的正弦值为.
20. 已脱贫的西部地区某贫困县，巩固拓展脱贫攻坚成果，全面推进乡村振兴，在国家产业扶贫政策的大力支持下，利用当地自然条件，在山上发展果树种植，现已开始大量结果，为了普及果树种植技术，该县举办“果树种植技术知识竞赛”，竞赛规则如下：先进行预赛，预赛共进行四轮答题比赛，在每轮答题比赛中，选手可选易，中，难三类题中的一题，答对得分，答错不得分，四轮答题中，易，中，难三类题中的每一类题最多选两个，预赛的四轮答题比赛得分不低于10分的进入决赛，某选手A答对各题相互独立，答对每类题的概率及得分如下表：
（1）若选手A前两轮都选择了中等难度题，且对了一题，错了一题，请你为选手A计划后两轮应该怎样选择答题，使得进入决赛的可能性更大，并说明理由；
（2）选手A四轮答题中，选择了一个容易题，两个中等难度题，一个难题，已知容易题答对，记选手A预赛四轮答题比赛得分总和为，求随机变量的分布列和数学期望．
【答案】（1）都选择容易题进行答题；
（2）分布列见解析，.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，确定后两轮的选择方案，再利用相互独立事件的概率公式计算比较作答.
（2）求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出数学期望作答.
【小问1详解】
依题意，选手A前两轮都选择了中等难度题，两轮得分和为4，于是选手A后两轮的选择有3种方案，
方案一：都选择容易题，则必须都答正确，于是进入决赛的概率；
方案二：都选择难题，则必须都答正确，于是进入决赛的概率；
方案三：容易题、难题各选1道，则必须都答正确，于是进入决赛的概率，
显然，所以后两轮都选择容易题进行答题，进入决赛的可能性更大.
【小问2详解】
依题意，可能值为：，
则；；
；；
；，
所以的分布列为：
数学期望为.
21. 椭圆的左右顶点分别为是栯圆上一点，．
（1）求椭圆方程；
（2）动直线交椭圆于两点，求面积取最大时的的值．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，结合斜率坐标公式列式求出作答.
（2）结合（1）求出长，及点到直线的距离，列出三角形面积的函数关系，利用导数探讨函数最大值情况作答.
【小问1详解】
在椭圆中，，而在椭圆上，且，
因此，解得，显然，则，
所以椭圆方程为.
【小问2详解】
直线与椭圆交于两点，则，
把代入方程得：，由椭圆的对称性知，
点到直线的距离，
当时，得的面积，
令，
求导得，
由，得，
当或时，，当或时，，
因此函数在上递增，在上递减，
而，
，显然，
于是当时，函数取得最大值，此时面积取得最大值，
所以当面积取最大时，.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．
22. 有两个零点．
（1）时，求的范围；
（2）且时，求证：．
【答案】（1）
（2）证明见详解
【解析】
【分析】（1）将函数零点与方程的根联系起来，进一步分离参数构造新的函数，利用导数研究其性态即可求解.
（2）当时由及的两个零点之间的距离可得.
【小问1详解】
时，，
由题意的两个零点即为
方程的两个根，
分离参数即得，令，
对其求导得，设，
则，所以在定义域上面单调递减，
注意到，所以随的变化情况如下表：
所以有极大值（最大值），
又当时，；当时，，
若方程有两个根，
则，即的取值范围为.
【小问2详解】
因为，设，
所以当且时有，
进而有，且
的函数图像恒在的函数图象上方，不妨设的两个零点为（且），如图所示：
因此的两个零点在二次函数两个零点之内，
所以有，令，则其二次项系数、一次项系数、常数项分步为，其判别式，
又，所以，
综上，有，命题得证.
【点睛】关键点点睛：第一问的关键在于将函数零点转化为方程的根进一步分离参数，至于第二问的关键是进行放缩，进而去发现相应零点之间的变化.
容易题
中等题
难题
答对概率
答对得分
3
4
5
3
7
8
11
12
16
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