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湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高三数学上学期月考试卷（五）（Word版附解析）
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这是一份湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高三数学上学期月考试卷（五）（Word版附解析），共18页。试卷主要包含了已知若为上的奇函数，，则，下列关于概率统计说法中正确的是，89的模型比为0等内容，欢迎下载使用。
命题人：曾卫国 审题人：廖喜全 孔令然
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.若为虚数单位，则的虚部为（ ）
A. B.1 C. D.-1
2.若集合，则（ ）
A. B.
C.或 D.
3.已知不共线的两个非零向量，则“与所成角为锐角”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4.要得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度
5.已知若为上的奇函数，，则（ ）
A. B. C. D.-1
6.已知双曲线的左､右顶点分别为为的右焦点，的离心率为2，若为右支上一点，，记，则（ ）
A. B.1 C. D.2
7.已知二面角的平面角为与平面所成角为.记的面积为的面积为，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8.在长郡中学文体活动时间，举办高三年级绳子打结计时赛，现有根绳子，共有10个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束.则这5根绳子恰好能围成一个圈的概率为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9.下列关于概率统计说法中正确的是（ ）
A.两个变量的相关系数为，则越小，与之间的相关性越弱
B.设随机变量，若，则
C.在回归分析中，为0.89的模型比为0.98的模型拟合得更好
D.某人解答10个问题，答对题数为，则
10.已知等比数列的公比为，前项积为，若，则（ ）
A. B.
C. D.
11.已知定义在上的函数满足，且是奇函数，则（ ）
A.的图象关于点对称
B.
C.
D.若，则
12.是边上的点，其中，且.则面积的可能取值为（ ）
A. B. C. D.
三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.的展开式中的系数是__________.（用数字作答）.
14.函数的图象在处的切线与坐标轴所围成的图形的面积为__________.
15.四棱锥的底面是平行四边形，点分别为的中点，平面将四棱锥分成两部分的体积分别为，且满足，则__________.
16.已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，连接并延长交于点，连接，若存在点使成立，则的取值范围为__________.
四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分10分）
已知数列是等差数列，其前项和为，且.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
18.（本小题满分12分）
如图，在三棱锥中，平面.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的大小.
19.（本小题满分12分）
在中，角所对的边分别为，且.
（1）求；
（2）已知为边上的一点，若，求的长.
20.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）若对于任意的恒成立，求实数的取值范围.
21.（本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系中，为轴正半轴上的一个动点.以为焦点､为顶点作抛物线.设为第一象限内抛物线上的一点，为轴负半轴上一点，设，使得为抛物线的切线，且.圆均与直线切于点，且均与轴相切.
（1）试求出之间的关系；
（2）是否存在点，使圆与的面积之和取到最小值.若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
22.（本小题满分12分）
现有一种不断分裂的细胞，每个时间周期内分裂一次，一个细胞每次分裂能生成一个或两个新的细胞，每次分裂后原细胞消失，设每次分裂成一个新细胞的概率为，分裂成两个新细胞的概率为；新细胞在下一个周期内可以继续分裂，每个细胞间相互独立.设有一个初始的细胞，在第一个周期中开始分裂，其中.
（1）设结束后，细胞的数量为，求的分布列和数学期望；
（2）设结束后，细胞数量为的概率为.
（i）求；
（ii）证明：.
大联考长郡中学2024届高三月考试卷（五）数学
参考答案
1.D 【解析】因为，故选D.
2.B 【解析】不等式解得，则，，故选B.
3.C 【解析】因为不共线，可知与不共线，
则与所成角为锐角等价于，即，即，
所以“与所成角为锐角”是“”的充分必要条件.故选C.
4.B 【解析】，
，故选B.
5.C 【解析】由题意可得当时，，
因为为上的奇函数，所以，
所以，
所以（舍去），或，因为，所以.故选C.
6.A 【解析】设的焦距为，点，由的离心率为2可知，
因为，所以，将代入的方程得，即，
所以，
故.
故选A.
7.C 【解析】作，垂足为，连接，
因为，即平面，
故平面平面，故，
又平面，故平面平面，平面平面，
则在平面内的射影在直线上，则为与平面所成角，即，
由于，故为二面角的平面角，即，
，
在中，，
则，
而，则，
则，
故，
故选C.
8.D 【解析】不妨令绳头编号为，可以与绳头1打结形成一个圆的绳头除了1，2外有种可能，假设绳头1与绳头3打结，那么相当于对剩下根绳子进行打结，令根绳子打结后可成圆的种数为，那么经过一次打结后，剩下根绳子打结后可成圆的种数为，由此可得，，
所以，所以，
显然，故；
另一方面，对个绳头进行任意2个绳头打结，总共有
所以.
所以当时，，故选.
二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
9.BD 【解析】对于，两个变量的相关系数为越小，与之间的相关性越弱，故A错误；
对于，随机变量服从正态分布，由正态分布概念知，若，
则，故B正确；
对于C，在回归分析中，越接近于1，模型的拟合效果越好，
为0.98的模型比为0.89的模型拟合的更好，故错误；
对于，某人在10次答题中，答对题数为，则数学期望，故D正确.
故选BD.
10.AC 【解析】因为等比数列的公比为且，则，所以，
又因为，则，所以，从而，
故对任意的，由可得，A对B错；，即，C对D错.
故选AC.
11.ABD 【解析】A选项，由题意知，，则，
所以图象的对称中心为正确；
选项，，
两式相减得，所以，B正确；
选项，由选项可得，的周期为4，又，
故，令得，，
得，所以错误；
选项，因为，令得，，
又，故，
中，令得，，
由，得，
又的周期为4，
则
，
所以，D正确.
故选ABD.
12.AB 【解析】由面积公式可得：
，
，
因为，故，
由可得，即，
建立如图所示的平面直角坐标系，
则，设，
则，整理得到：，
即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
故的边上的高的最大值为，故其面积的最大值为.故选.
三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.80 【解析】的通项为，
令，得的展开式中的系数是.
14.1 【解析】由题意可得，
则，
故的图象在处的切线方程为，即.令，
得；令，得，则所求图形的面积为.
15. 【解析】如图，延长交于点，连接交于点，
因为底面为平行四边形，所以与全等，
且与相似，相似比为，
设的面积为，则四边形的面积为，设点到底面的距离
为，
则，
又因为为的中点，所以，
而，所以，
所以，
所以，所以.
16. 【解析】设，则.显然当靠近右顶点时，，
所以存在点使等价于，
在中由余弦定理得，
即，解得，
同理可得，所以，
所以，
所以，当且仅当时等号成立.
由得，所以.
四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
17.【解析】（1）设等差数列的公差为，又，
所以解得，
所以的通项公式.
（2）由（1）知，
所以
.
18.【解析】（1）因为平面平面，
所以，同理，所以为直角三角形，
又因为，
所以，则为直角三角形，故，
又因为，所以平面.
（2）由（1）知平面，又平面，则，
以为原点，为轴，过且与平行的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
如图，则，
所以，
设平面的法向量为，
则即令，则，
所以，
设平面的法向量为，
则即
令，则，所以，
所以，
又因为二面角为锐二面角，
所以二面角的大小为.
19.【解析】（1），
根据正弦定理得，，
即，
，因为，
，所以，
.
（2），根据余弦定理得
.
.
在中，由正弦定理知，，
，
.
20.【解析】（1），
令，则，即，
解得的递增区间为；
令，则，即，
解得的递减区间为.
所以，的递增区间为，
递减区间为.
（2）因为对于任意的恒成立，
所以对于任意的恒成立，
当时，；
当时，，
令，
所以.
令，
所以在上恒成立，
所以在上单调递减，
所以，即在上恒成立
所以在上单调递减，所以，
所以.
综上，实数的取值范围为.
21.【解析】（1）由条件抛物线，点，
设，将其与抛物线的方程联立，消去得.①
因为与抛物线切于点，所以方程①的判别式为，解得.
进而，点.故.
由，则.②
（2）设圆的圆心分别为.
注意到，与圆均切于点，故.
设圆与轴分别切于，如图所示：
则分别为的角平分线，
故，
易知，则，
.
结合式②有.③
由三点共线得，
化简可得.④
令，于是，圆的面积之和为.
根据题意，仅需考虑取最小值的情形，根据③､④知
.
令，由.
当且仅当时，上式等号成立.此时，.
结合式（2）得.
故点的坐标为.
22.【解析】（1）2个结束后，的取值可能为，其中，
，
，
所以分布列为
.
（2）（i）表示分裂结束后共有2个细胞的概率，则必在某一个周期结束后分裂成2个细胞.
不妨设在第时分裂为2个细胞，之后一直有2个细胞，
此事件概率，
所以
.
（ii）代表分裂后有3个细胞的概率，设细胞在后分裂为2个新的细胞，这两个细胞在剩下的中，其中一个分裂为2个细胞，一个保持一直分裂为1个细胞，此事件的概率
，
得，
，
其中.
令，
记，令，得.
当单调递增；
当单调递减.
故，题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
B
C
B
C
A
C
D
BD
AC
ABD
AB
1
2
3
4
命题人：曾卫国 审题人：廖喜全 孔令然
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.若为虚数单位，则的虚部为（ ）
A. B.1 C. D.-1
2.若集合，则（ ）
A. B.
C.或 D.
3.已知不共线的两个非零向量，则“与所成角为锐角”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4.要得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度
5.已知若为上的奇函数，，则（ ）
A. B. C. D.-1
6.已知双曲线的左､右顶点分别为为的右焦点，的离心率为2，若为右支上一点，，记，则（ ）
A. B.1 C. D.2
7.已知二面角的平面角为与平面所成角为.记的面积为的面积为，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8.在长郡中学文体活动时间，举办高三年级绳子打结计时赛，现有根绳子，共有10个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束.则这5根绳子恰好能围成一个圈的概率为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9.下列关于概率统计说法中正确的是（ ）
A.两个变量的相关系数为，则越小，与之间的相关性越弱
B.设随机变量，若，则
C.在回归分析中，为0.89的模型比为0.98的模型拟合得更好
D.某人解答10个问题，答对题数为，则
10.已知等比数列的公比为，前项积为，若，则（ ）
A. B.
C. D.
11.已知定义在上的函数满足，且是奇函数，则（ ）
A.的图象关于点对称
B.
C.
D.若，则
12.是边上的点，其中，且.则面积的可能取值为（ ）
A. B. C. D.
三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.的展开式中的系数是__________.（用数字作答）.
14.函数的图象在处的切线与坐标轴所围成的图形的面积为__________.
15.四棱锥的底面是平行四边形，点分别为的中点，平面将四棱锥分成两部分的体积分别为，且满足，则__________.
16.已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，连接并延长交于点，连接，若存在点使成立，则的取值范围为__________.
四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分10分）
已知数列是等差数列，其前项和为，且.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
18.（本小题满分12分）
如图，在三棱锥中，平面.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的大小.
19.（本小题满分12分）
在中，角所对的边分别为，且.
（1）求；
（2）已知为边上的一点，若，求的长.
20.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）若对于任意的恒成立，求实数的取值范围.
21.（本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系中，为轴正半轴上的一个动点.以为焦点､为顶点作抛物线.设为第一象限内抛物线上的一点，为轴负半轴上一点，设，使得为抛物线的切线，且.圆均与直线切于点，且均与轴相切.
（1）试求出之间的关系；
（2）是否存在点，使圆与的面积之和取到最小值.若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
22.（本小题满分12分）
现有一种不断分裂的细胞，每个时间周期内分裂一次，一个细胞每次分裂能生成一个或两个新的细胞，每次分裂后原细胞消失，设每次分裂成一个新细胞的概率为，分裂成两个新细胞的概率为；新细胞在下一个周期内可以继续分裂，每个细胞间相互独立.设有一个初始的细胞，在第一个周期中开始分裂，其中.
（1）设结束后，细胞的数量为，求的分布列和数学期望；
（2）设结束后，细胞数量为的概率为.
（i）求；
（ii）证明：.
大联考长郡中学2024届高三月考试卷（五）数学
参考答案
1.D 【解析】因为，故选D.
2.B 【解析】不等式解得，则，，故选B.
3.C 【解析】因为不共线，可知与不共线，
则与所成角为锐角等价于，即，即，
所以“与所成角为锐角”是“”的充分必要条件.故选C.
4.B 【解析】，
，故选B.
5.C 【解析】由题意可得当时，，
因为为上的奇函数，所以，
所以，
所以（舍去），或，因为，所以.故选C.
6.A 【解析】设的焦距为，点，由的离心率为2可知，
因为，所以，将代入的方程得，即，
所以，
故.
故选A.
7.C 【解析】作，垂足为，连接，
因为，即平面，
故平面平面，故，
又平面，故平面平面，平面平面，
则在平面内的射影在直线上，则为与平面所成角，即，
由于，故为二面角的平面角，即，
，
在中，，
则，
而，则，
则，
故，
故选C.
8.D 【解析】不妨令绳头编号为，可以与绳头1打结形成一个圆的绳头除了1，2外有种可能，假设绳头1与绳头3打结，那么相当于对剩下根绳子进行打结，令根绳子打结后可成圆的种数为，那么经过一次打结后，剩下根绳子打结后可成圆的种数为，由此可得，，
所以，所以，
显然，故；
另一方面，对个绳头进行任意2个绳头打结，总共有
所以.
所以当时，，故选.
二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
9.BD 【解析】对于，两个变量的相关系数为越小，与之间的相关性越弱，故A错误；
对于，随机变量服从正态分布，由正态分布概念知，若，
则，故B正确；
对于C，在回归分析中，越接近于1，模型的拟合效果越好，
为0.98的模型比为0.89的模型拟合的更好，故错误；
对于，某人在10次答题中，答对题数为，则数学期望，故D正确.
故选BD.
10.AC 【解析】因为等比数列的公比为且，则，所以，
又因为，则，所以，从而，
故对任意的，由可得，A对B错；，即，C对D错.
故选AC.
11.ABD 【解析】A选项，由题意知，，则，
所以图象的对称中心为正确；
选项，，
两式相减得，所以，B正确；
选项，由选项可得，的周期为4，又，
故，令得，，
得，所以错误；
选项，因为，令得，，
又，故，
中，令得，，
由，得，
又的周期为4，
则
，
所以，D正确.
故选ABD.
12.AB 【解析】由面积公式可得：
，
，
因为，故，
由可得，即，
建立如图所示的平面直角坐标系，
则，设，
则，整理得到：，
即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
故的边上的高的最大值为，故其面积的最大值为.故选.
三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.80 【解析】的通项为，
令，得的展开式中的系数是.
14.1 【解析】由题意可得，
则，
故的图象在处的切线方程为，即.令，
得；令，得，则所求图形的面积为.
15. 【解析】如图，延长交于点，连接交于点，
因为底面为平行四边形，所以与全等，
且与相似，相似比为，
设的面积为，则四边形的面积为，设点到底面的距离
为，
则，
又因为为的中点，所以，
而，所以，
所以，
所以，所以.
16. 【解析】设，则.显然当靠近右顶点时，，
所以存在点使等价于，
在中由余弦定理得，
即，解得，
同理可得，所以，
所以，
所以，当且仅当时等号成立.
由得，所以.
四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
17.【解析】（1）设等差数列的公差为，又，
所以解得，
所以的通项公式.
（2）由（1）知，
所以
.
18.【解析】（1）因为平面平面，
所以，同理，所以为直角三角形，
又因为，
所以，则为直角三角形，故，
又因为，所以平面.
（2）由（1）知平面，又平面，则，
以为原点，为轴，过且与平行的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
如图，则，
所以，
设平面的法向量为，
则即令，则，
所以，
设平面的法向量为，
则即
令，则，所以，
所以，
又因为二面角为锐二面角，
所以二面角的大小为.
19.【解析】（1），
根据正弦定理得，，
即，
，因为，
，所以，
.
（2），根据余弦定理得
.
.
在中，由正弦定理知，，
，
.
20.【解析】（1），
令，则，即，
解得的递增区间为；
令，则，即，
解得的递减区间为.
所以，的递增区间为，
递减区间为.
（2）因为对于任意的恒成立，
所以对于任意的恒成立，
当时，；
当时，，
令，
所以.
令，
所以在上恒成立，
所以在上单调递减，
所以，即在上恒成立
所以在上单调递减，所以，
所以.
综上，实数的取值范围为.
21.【解析】（1）由条件抛物线，点，
设，将其与抛物线的方程联立，消去得.①
因为与抛物线切于点，所以方程①的判别式为，解得.
进而，点.故.
由，则.②
（2）设圆的圆心分别为.
注意到，与圆均切于点，故.
设圆与轴分别切于，如图所示：
则分别为的角平分线，
故，
易知，则，
.
结合式②有.③
由三点共线得，
化简可得.④
令，于是，圆的面积之和为.
根据题意，仅需考虑取最小值的情形，根据③､④知
.
令，由.
当且仅当时，上式等号成立.此时，.
结合式（2）得.
故点的坐标为.
22.【解析】（1）2个结束后，的取值可能为，其中，
，
，
所以分布列为
.
（2）（i）表示分裂结束后共有2个细胞的概率，则必在某一个周期结束后分裂成2个细胞.
不妨设在第时分裂为2个细胞，之后一直有2个细胞，
此事件概率，
所以
.
（ii）代表分裂后有3个细胞的概率，设细胞在后分裂为2个新的细胞，这两个细胞在剩下的中，其中一个分裂为2个细胞，一个保持一直分裂为1个细胞，此事件的概率
，
得，
，
其中.
令，
记，令，得.
当单调递增；
当单调递减.
故，题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
B
C
B
C
A
C
D
BD
AC
ABD
AB
1
2
3
4
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