浙江省北斗星盟2023-2024学年高二上学期12月阶段联考数学试题（Word版附解析）

这是一份浙江省北斗星盟2023-2024学年高二上学期12月阶段联考数学试题（Word版附解析），共23页。试卷主要包含了 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

考生须知：
1.本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟；
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、学号和姓名；考场号、座位号写在指定位置；
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；
4考试结束后，只需上交答题纸.
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将直线方程变为斜截式,根据斜率与倾斜角关系可直接求解.
【详解】直线
变形为
所以
设倾斜角为
则
因为
所以
故选:B
【点睛】本题考查了直线方程中倾斜角与斜率的关系,属于基础题.
2. 双曲线的渐近线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由双曲线标准方程对应的渐近线方程即可知的渐近线方程
【详解】根据双曲线的渐近线方程：，知：
的渐近线方程为
故选：D
【点睛】本题考查了双曲线的渐近线，根据双曲线标准方程对应渐近线方程求题设给定双曲线的渐近线方程
3. 已知空间向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据垂直得到方程，求出，求出模长.
【详解】因为，所以，
解得，
故.
故选：D
4. 已知等比数列的前n项和为，，，则其公比（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】首先可以得出，其次利用等比数列通项公式以及它的前n项和为的基本量的运算即可求解.
【详解】注意到，，首先，（否则，矛盾），
其次，，
两式相比得，解得.
故选：C.
5. 在平面直角坐标系中，，M是上一动点，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设出直线的方程为，利用点到直线距离公式得到不等式，求出斜率的取值范围.
【详解】由图形可知，直线的斜率一定存在，
设出直线的方程为，
圆心到直线的距离，
解得.
故选：D
6. 正四面体的棱长为4，点M、N分别是棱、的中点，则点A到平面的距离为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】作出辅助线，求出，利用等体积法求出点A到平面的距离.
【详解】正四面体中，取的中心为,则⊥平面，
故，，
其中，由勾股定理得，
故点到平面的距离为，
又，
故，
又，，
取的中点，连接，则⊥，
则，
故，
设点A到平面的距离为，
故，即，
解得.
故选：B
7. 已知直线l与抛物线交于A，B两点，且该直线不经过抛物线的焦点，那么以线段为直径的圆与该抛物线的准线的位置关系是（ ）
A. 相离B. 相交C. 相切D. 与直线l的位置有关
【答案】A
【解析】
【分析】先设中点为，过，，作准线的垂线，垂足分别为，，，再根据题意得到，进而即可得到答案．
【详解】设中点为，过，，作准线的垂线，垂足分别为，，，
又该直线不经过抛物线的焦点，则，
所以线段为直径的圆与该抛物线的准线的位置关系是相离．
故选：A．
8. 正方体的棱长为1，M是面内一动点，且，N是棱上一动点，则周长的最小值为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用展开方法，以为基准，将和翻折使其与共面，然后利用余弦定理求解.
【详解】点M在线段上运动，即动线段在内运动，
动线段在内运动，动线段在内运动，
以为基准，将和翻折使其与共面，如图所示：
其中翻折至，翻折至，
的周长等于,最小值等于
在四边形，，
由余弦定理可求得，
所以，
故的周长最小值等于，
故选：B.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 两异面直线所成角的取值范围是
B. 若直线l与平面相交，则该直线l与平面所成角的取值范围是
C. 二面角的平面角的取值范围是
D. 若，，是空间向量的一组基底，则存在非零实数x，y，z，使得
【答案】AB
【解析】
【分析】ABC选项，根据异面直线，线面角和二面角的概念进行判断；D选项，根据空间基底的概念得到，，不共面，故结论不成立.
【详解】A选项，根据异面直线的定义可知，两异面直线所成角的取值范围是，A正确；
B选项，直线与平面的夹角范围为，但直线l与平面相交，夹角不为0，
则该直线l与平面所成角的取值范围是，B正确；
C选项，二面角的平面角可以是钝角，C错误；
D选项，若，，是空间向量的一组基底，则，，不共面，
不存在非零实数x，y，z，使得，，D错误.
故选：AB
10. 已知圆与圆交于A、B两点，下列说法正确的是（ ）
A. 点在圆内
B. 直线的方程是
C.
D. 四边形的面积是
【答案】BCD
【解析】
【分析】A选项，求出两圆的圆心和半径，根据，得到答案；B选项，两圆相减得到直线的方程；C选项，求出圆心到直线的距离，进而求出弦长；D选项，根据⊥，利用求出面积.
【详解】A选项，变形为，
故圆心为，半径为5，
变形为，
故圆心为，半径为，
因为，所以点在圆外，A错误；
B选项，与相减得，
直线的方程是，化简得，B正确；
C选项，圆心到直线距离，
故，C正确；
D选项，由题意得⊥，其中，
故四边形的面积为，D正确.
故选：BCD
11. 已知平面内一动点与两定点连线的斜率的乘积为定值时，若该定值为正数，则该动点轨迹是双曲线（两定点除外）；若该定值是负数，则该动点轨迹是圆或椭圆（两定点除外）.如图，给定的矩形中，，，E、F、G、H分别是矩形四条边的中点，M、N分别是直线、的动点，，，其中，且直线与直线交于点P.下列说法正确的是（ ）
A. 若，则P的轨迹是双曲线的一部分
B. 若，则P的轨迹是椭圆的一部分
C. 若，则P的轨迹是双曲线的一部分
D. 若，则P的轨迹是椭圆的一部分
【答案】CD
【解析】
【分析】根据已知求出的坐标，进而得出直线与直线的斜率，即可得出.然后根据已知条件得出的值，结合定义即可得出答案.
【详解】由已知可得，，，，，
则由可得，；
由可得，，
所以.
所以，，
所以，.
对于A、B项，因为，所以，显然不是一个常数，所以此时P的轨迹既不是双曲线，也不是椭圆，A、B均错；
对于C选项，，此时的结果为一个大于0的定值，所以P的轨迹是双曲线（顶点除外），C对；
对于D选项，，此时的结果为一个小于0的定值，所以P的轨迹为椭圆（顶点除外），D对.
故选：CD.
12. 数学中有各式各样富含诗意的曲线，螺旋线就是其中一类，螺旋线这个名词源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠绕”.如图所示，正六边形的边长为，分别取其各条边的四等分点，连接得到正六边形，再取其各条边的四等分点，连接得到正六边形，依次类推……对于阴影部分，记第一个阴影的最大边长为，面积为；第二个阴影的最大边长为，面积为，第三个阴影三角形的最大边长为，面积为，依次类推……下列说法正确的是（ ）
A.
B. 数列是以为公比的等比数列
C. 数列的前项和小于
D. 任意两个阴影三角形的最大边都不平行
【答案】ACD
【解析】
【分析】找到规律，得到，可判断B选项，推导出为等比数列，求出的通项公式，用相同的方法得到是等比数列，计算以及的前项和，可判断A和C选项；设最小角为，假设存在，求出，，，，发现不可能使，可判断D选项.
【详解】正六边形的边长为，
正六边形的每个内角为，
由题知，在中，，，
由余弦定理得，
则，，
易知，
，
数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以，
，
数列是以为首项，以为公比的等比数列，
对于A选项，，故A正确；
对于B选项，数列是以为公比的等比数列，故B错误；
对于C选项，的前2023项和为
，故C正确；
对于D选项，记阴影三角形的最小角为，
由余弦定理得，
若存在两条最大边平行，则无限缠绕后，最终最小角顶点无限重合，
即存在（其中，为正整数），使得，
由，
持续计算，可知不可能使，故不存在两最大边平行，故D错误.
故选：AC.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知圆心在x轴上的圆经过点，，则该圆的半径是_____________.
【答案】2
【解析】
【分析】设出圆心，根据半径相等得到方程，求出，进而求出半径.
【详解】设圆心为，由题意得，
解得，
故半径为.
故答案为：2
14. 如图，平行六面体各条棱长均为1，，，则线段的长度为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】取，，一个基底，表示，再应用数量积及模长公式计算即可求解．
【详解】取，，为一个基底，，，，
∴ ，
故答案为：.
15. 某牧场2015年初牛的存栏数为1200头，以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出90头牛，那么在2024年初牛的存栏数是多少_____________.（结果保留整数，参考数据：，，）
【答案】1434
【解析】
【分析】首项由题意构造等比数列求出第年初牛的存栏数的通项公式，然后结合参考数据运算即可求解.
【详解】记2015年为第一年，2015年初牛的存栏数为，则2024年为第10年，2024年初牛的存栏数为，
而第年初牛的存栏数，
设，则，解得，
即数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即，
.
故答案为：1434.
16. 已知F是椭圆的右焦点，O是坐标原点，点M是的中点，椭圆上有且只有右顶点与点M的距离最近，求该椭圆的离心率的取值范围_________________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意表示出椭圆上的点到点M的距离，根据右顶点与点M的距离最近，列出不等式关系，进而求出椭圆的离心率的取值范围.
【详解】由题，椭圆上只有右顶点到点的距离最小，
设是椭圆上的点，，
，
对称轴是，定义域是，
，解得.
故答案为：
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.符合题目要求.
17. 已知数列满足：，.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）记，，求数列的前n项和.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题中递推公式结合等差数列的定义分析证明；
（2）由（1）可得，，利用裂项相消法求和.
【小问1详解】
因为，，显然，
则，
所以是以为首项，为公差的等差数列.
【小问2详解】
由（1）知，则，
可得，
所以.
18. 已知圆，直线，.
（1）判断直线l是否过定点，若过定点，请找出该定点；若不过定点，请说明理由.
（2）若直线l与圆C交于A、B两点，且，求该直线方程.
【答案】（1）直线l过定点
（2）或.
【解析】
【分析】（1）直线变形后得到方程组，求出，得到定点；
（2）由垂径定理和点到直线距离公式得到方程，求出的值，得到答案.
【小问1详解】
直线l变形得，
令，
解得，
直线l过定点；
【小问2详解】
圆，圆心为，半径为4，
设圆心C到直线l的距离记为d，
则，
由垂径定理得，
即，
解得或，
时，直线l的方程是；
时，直线l的方程是；
综上，直线l的方程是或.
19. 如图所示，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，侧面是等边三角形.
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取中点M，连接，，由已知可推得.求出的值，根据勾股定理推得.即可根据线面垂直以及面面垂直的判定定理得出证明；
（2）取中点为N，连接，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，得出点的坐标，求出平面以及的法向量.根据向量法求解即可得出答案.
【小问1详解】
取中点M，连接，
在等边中，有中点M，，
所以，，
则，.
在中，有，
.
因为平面，平面，，
平面.
又平面，
所以平面平面.
【小问2详解】
取中点为N，连接，
以点为坐标原点，分别以、、为x、y、z轴正方向，如图建立空间直角坐标系，则，，，，
所以，，，，.
设平面的一个方向量是，
则，
取，则平面的一个方向量是.
设平面的一个方向量是，
则，
取，可得平面的一个方向量是.
因为，且二面角为锐角，
所以，二面角的余弦值是.
20. 已知抛物线，.
（1）Q是抛物线上一个动点，求的最小值；
（2）过点A作直线与该抛物线交于M、N两点，求的值.
【答案】（1）
（2）0
【解析】
【分析】（1）设，表达出，求出最小值；
（2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理即得.
【小问1详解】
设，，
当，即时，取得最小值，最小值为；
【小问2详解】
当直线斜率为0时，直线与抛物线只有1个交点，不合要求，
设直线的方程是，与抛物线联立，消x得，
设，，
则，，故，
故.
21. 已知函数的图象与水平直线交于点，其中，记直线的斜率为，与y轴交于点.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，，数列的前n项和为，求.
【答案】（1）
（2），.
【解析】
【分析】（1）令，求出，进而求出直线的斜率，得到答案；
（2）由（1）得到，利用错位相减法求出答案.
【小问1详解】
令得，，
故，则，
所以；
【小问2详解】
直线的方程为，
令得，
故，，
①，
②，
得，
，.
22. 如图，双曲线的离心率为，实轴长为，，分别为双曲线的左右焦点，过右焦点的直线与双曲线右支交于A，B两点，其中点A在第一象限.连接与双曲线左支交于点C，连接分别与x，y轴交于D，E两点.
（1）求该双曲线的标准方程；
（2）求面积的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知求出，然后根据离心率得出，根据的关系求出的值，即可得出答案；
（2）根据已知可得，，设，，求出直线的方程.与双曲线方程联立，根据韦达定理表示出点B坐标，同理得出点C的坐标.表示出直线的方程，求出的坐标，得出直线的方程.进而表示出面积，换元，结合二次函数的性质，即可得出答案.
【小问1详解】
由已知可得，，所以.
又，所以，.
所以，双曲线方程是 .
【小问2详解】
由（1）可知，，设，，
则直线的方程为.
将直线的方程与双曲线方程联立，
消x，整理可得，
恒成立.
由韦达定理可得，，
所以，，.
根据已知可知，，
所以，
同理解得，
所以，，
直线的方程为.
由可得，；由可得，.
由A、D坐标可得直线的方程为，
则直线与y轴交点坐标为，所以.
所以，.
令，
则.
设，则，
当，即时有最小值，此时，（舍去负值）.
所以，.
当且仅当即时取到最小值，此时.
【点睛】关键点点睛：设点，将该点看做已知点，然后表示出直线方程，与圆锥曲线方程联立，消元，得到一元二次方程.根据韦达定理，表示出交点坐标之间的关系式.进而得出与点A相关的点的坐标.