2023-2024学年陕西省西安市高一上学期12月月考数学质量检测模拟试题（含解析）

这是一份2023-2024学年陕西省西安市高一上学期12月月考数学质量检测模拟试题（含解析），共15页。试卷主要包含了答卷必须使用0等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答案均写在答题卡上，满分120分，时间120分钟.
2.答卷前将答题卡上的姓名、班级、考场填写清楚，并检查条形码是否完整、信息是否准确.
3.答卷必须使用0.5mm的黑色签字笔书写，字迹工整、笔迹清晰，并且必须在题号所指示的答题区内作答，超出答题区域的书写无效.
一、单选题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合,,则集合( )
A．B．C．D．
2．在下列各选项中，角为第二象限角的充要条件是（ ）
A．B．
C．D．
3．下面各组函数中为相同函数的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
4．若正实数x，y满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
5．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．在中，下列关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．若函数在上为减函数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．已知则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.全对得4分，少选得2分，多选、错选不得分.
9．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于直线对称
C．是偶函数
D．的单调递减区间为
10．下列命题是真命题的是（ ）
A．若，则
B．若非零实数，，满足，，则
C．若，则
D．若，，则
11．已知函数的零点为，函数的零点为，则下列选项中成立的是（ ）
A．B．
C．与的图象关于对称D．
12．设函数，集合，则下列命题中正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，
C．若，则的取值范围为
D．若（其中），则
三、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
13．已知方程的根在区间上，第一次用二分法求其近似解时，其根所在区间应为 ．
14．设函数的最大值为，最小值为，则 .
15．已知幂函数在上单调递减，函数，对任意，总存在使得，则的取值范围为 .
16．已知改良工艺前所排放废水中含有的污染物数量为，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为，第次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量满足函数模型（，），其中为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量，为首次改良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量，为改良工艺的次数.假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放废水符合排放标准，则改良工艺次数最少要（参考数据：） 次.
四、解答题：本题共5小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．计算：
(1)（）；
(2)；
(3).
18．已知角的终边上有一点的坐标是，其中.
(1)求的值；
(2)求的值.
19．如图1所示的是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，钱塘江和钱塘江潮头是会徽的形象核心，绿水青山展示了浙江杭州山水城市的自然特征，江潮奔涌表达了浙江儿女勇立潮头的精神气质，整个会徽形象象征善新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.图2是会徽的几何图形，设的长度是，的长度是，几何图形的面积为，扇形的面积为，已知，.
(1)求；
(2)若几何图形的周长为4，则当为多少时，最大？
20．已知函数（）有零点，求实数的取值范围.
21．已知函数（其中），且，.
(1)求，的值；
(2)求的单调区间；
(3)若正实数，满足，，求证：.
1．A
【解析】化简集合,根据补集定义和交集定义,即可求得答案.
【详解】



故选:A.
【点睛】本题考查了集合的补集运算和交集运算,解题关键是掌握补集定义和交集定义,考查了计算能力,属于基础题.
2．D
【分析】根据三角函数值的正负判断各选项中所在象限，由此可判断出结果.
【详解】对于A：时，为第三象限或轴负半轴或第四象限角，
，为第一象限或轴正半轴或第四象限角，
故为第四象限角，故A错误；
对于B：时，为第一象限或轴正半轴或第二象限角，
，为第一象限或第三象限角，
故为第一象限角，故B错误；
对于C：时，为第二象限或轴负半轴或第三象限角，
，为第一象限或第三象限角，
故为第三象限角，故C错误；
对于D：时，为第一象限或轴正半轴或第二象限角，
时，为第二象限或轴负半轴或第三象限角，
故为第二象限角，故D正确；
故选：D.
3．D
【详解】函数的三要素相同的函数为相同函数，对于选项A，与对应关系不同，故排除选项A；选项B、C中两函数的定义域不同，排除选项B、C．故选D．
4．D
【分析】根据等式计算得出1，再结合常值代换求和的最值，计算可得最大值.
【详解】
,
.
故选:D.
5．B
【分析】先由换底公式将表示为，再将代入计算即可.
【详解】由题知，，
.
故选：B.
6．B
【分析】三角形的内角和为，结合诱导公式直接判断.
【详解】在中，有，故：和.
所以：，，，.
所以B正确.
故选：B
7．C
【分析】结合对数型函数单调性将问题转化为在上恒成立，且在上单调递减即可.
【详解】令，则，
由题意可知，在上恒成立，且在上单调递减，
所以.
故选：C.
8．A
【分析】根据指对互化可得，再利用基本不等式与换底公式可得与，从而利用指数函数的单调性即可得解．
【详解】因为，所以，
因为，
所以，则，
所以；
因为，
所以，则，
所以；
综上，.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是熟练掌握，从而得到与，由此得解.
9．AD
【分析】根据正弦型函数的周期公式可判断A；代入验证函数值可判断B；求出的表达式即可判断其奇偶性，判断C；结合正弦函数的单调区间求出的单调减区间即可判断D.
【详解】对于A，由三角函数的性质，可得的最小正周期为，所以A正确；
对于B，当时，可得，
所以的图象不关于直线对称，所以B错误；
对于C，由，
此时函数为非奇非偶函数，所以C错误；
对于D，令，，解得，，
即函数的递减区间为，，所以D正确．
故选：AD
10．BCD
【分析】举反例可否定A；根据条件先判断c的符号，然后可判断B；根据对数函数单调性和真数范围，结合不等式性质可判断C；利用关系，由不等式性质可判断D.
【详解】A选项：当时，显然，A错误；
B选项：若非零实数，，满足，，则有，所以，B正确；
C选项：若，则，所以，C正确；
D选项：设，则，解得，
因为，所以，
又，所以，即，D正确.
故选：BCD
11．ABD
【分析】由函数与互为反函数，根据与垂直与反函数的性质结合对称性可得.
【详解】由，得，，
即可得，即有，
，而不在的图象上，故的图象与的图象不关于对称.
因为函数与互为反函数，关于对称，
又因与垂直，
在同一坐标系中分别作出函数，，的图象，如图所示，
则，，
由反函数性质知关于对称，
则，，
故选：ABD
12．ABD
【分析】当时，求出方程的解，可判断A选项；当时，由可判断B选项；令，，利用二次函数的零点分布求出的取值范围，可判断C选项；利用图象的对称性结合指数的运算可判断D选项.
【详解】对于A选项，当时，由可得，
又因为，当时，，此时，方程无解，
当时，由，解得，即，A对；
对于B选项，令，由可得，
当时，对于关于的方程，，
故方程无解，即，B对；
对于C选项，作出函数的图象如下图所示：

令，令，，
则二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，
若，对于函数，函数必有两个不等的零点，
设函数的两个不等的零点分别为、，且，则，即，
由韦达定理可得，则，有以下几种情况：
①，则，可得，
令，可得，，合乎题意；
②，则，解得；
综上所述，当时，实数的取值范围是，C错；
对于D选项，若，因为，则方程只有一根，

则方程必有三个不相等的实根，结合图象可知，，
，且有，所以，，可得，
由可得，可得，
因此，，D对.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
13．
【分析】由题意构造函数，求方程的一个近似解，就是求函数在某个区间内有零点，分析函数值的符号是否异号即可．
【详解】解：令，其在定义域上单调递增，
且，，
，
由f（2.5）f（3）＜0知根所在区间为．
故答案为：．
14．2
【分析】将化成，令，结合奇函数的性质求解即可.
【详解】因为，定义域为，
令，则，
又，所以为奇函数，
所以，
所以.
故答案为：2.
15．
【分析】根据函数为幂函数及其单调性可求得的值，求出函数在上的值域，以及函数在上的值域，根据已知条件可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】因为函数是幂函数，则，，
在上单调递减，则，可得，
，在上的值域为，
在上的值域为，
根据题意有，的范围为.
故答案为：.
16．11
【分析】由，求出，解即可.
【详解】因为，，，
所以，解得，
所以，
由题意知，，即，
即 ，解得，
又，，
所以，，
所以要使该企业排放的污水符合排放标准，改良工艺次数最少要11次.
故答案为：11.
17．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）运用指数幂公式计算即可.
（2）运用对数公式计算即可.
（3）运用三角函数诱导公式化简即可.
【详解】（1）原式.
（2）原式.
（3）原式
18．(1)
(2)
【分析】（1）运用三角函数定义计算即可.
（2）由完全平方公式化简，结合齐次式求值即可.
【详解】（1）因为，所以.
（2）原式.
19．(1)3
(2)
【分析】（1）通过弧长比可以得到与的比，再利用扇形面积公式即可求解；
（2）由题意得，，然后利用基本不等式求最值即得.
【详解】（1）由，则，，
所以，即，，
.
（2）由（1）知，，
几何图形的周长为，
，当且仅当，即时，最大值为1.
20．
【分析】化简，结合换元法令，将问题转化为成立，运用分离参数转化为求，上的值域即可.
【详解】因为，
所以有解，即有解，
令，则，
所以，使得成立，
当时，不成立 ，所以不是方程的根；
所以，使得成立，
设，，
令，则，（），
又在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，
当时，，
所以，
即，解得.
故答案为.
21．(1)，
(2)单调递减区间为，单调递增区间为
(3)证明见解析
【分析】（1）由可得，解方程组即可.
（2）令，结合复合函数单调性可得在上单调递增且，进而可求得的单调区间.
（3）由已知得，，代入函数比较即可.
【详解】（1）因为，所以，
所以，
解得.
（2）由（1）知，，定义域为，
令，，
因为与在上单调递增，所以在上单调递增，
又，
所以当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以单调递减区间为，单调递增区间为.
（3）证明：因为，，
所以，，
所以，，
又当时，，
所以，故原命题得证.