举一反三：六年级数学上册第一单元《分数乘法》（1）期末重难点题型（原卷版+解析版）人教版

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【题型1 连续变化的单位“1”】
【例1】
（1）一种商品提价，再降价，现价比原价（ B ）。
A.提高了 B.降低了 C.不变
（2）一种商品降价，再提价，现价比原价（ B ）。
A.提高了 B.降低了 C.不变
（3）一种商品提价，再提价，现价比原价（ A ）。
A.提高了 B.降低了 C.不变
（4）一种商品降价，再降价，现价比原价（ B ）。
A.提高了 B.降低了 C.不变
解：设原价是1，那么：
（1）1×（1+）×（1-）
=×
=；
＜1。
答：现价比原价降低了。
故选：B。
（2）1×（1-）×（1+）
=×
=；
＜1。
答：现价比原价降低了。
故选：B。
（3）1×（1+）×（1+）
=×
=；
＞1。
答：现价比原价提高了。
故选：A。
（4）1×（1-）×（1-）
=×
=；
＜1。
答：现价比原价降低了。
故选：B。
点拨：第（1）小题中，第一个的单位“1”是原价，第二个10%的单位是(1+），利用已知单位“1”用乘法，进行求解。
【变式1-1】一棵桃树上有100个桃子，一只猴子偷吃桃子,第一天偷吃这棵桃树上桃子的；第二天偷吃了剩下的，第三天偷吃了剩下的，…，第九天偷吃了剩下的，这时，树上还剩有多少个桃子？
解：
100×（1-）×（1-）×（1-）×…（1-）
=100×××××××××
=100×
=10（个）。
答：原来桃树上有10个桃子。
点拨：对应的单位“1”为100个桃子，后面每一个分数（分率），分别对应前一天剩下的桃子数量，利用已知单位“1”用乘法，求解最后结果。
【变式1-2】去年陈伯伯家的玉米产量比前年增产，由于干旱，今年的产量比去年减产了
，今年的玉米产量和前年比是增产还是减产？变化幅度是多少？
解：
1×（1+）×（1-）=，
1-=。
答：今年玉米产量相对前年产量减产了，减产。
点拨：设前年玉米产量为单位“1”，则去年为1+=，今年为×（1-）=，1-=1%。掌握找单位“1”的技巧，“的”前或“比”后的量，是单位“1”。
【变式1-3】一个车间改革后，人员减少了，产量比原来增加了，则工作效率（ ）
A.提高 B.提高 C.提高 D与原来一样
解：
（1+）÷（1-）-1
=-1
=。
答：工作效率要提高。
故选：A。
点拨：工作总量增加，就是原来的1+；人数减少了，要由现在的人干，每人要干（1+）÷，然后减去原来的工作效率1就是提高的工作效率。
【题型2 单位“1”及应用（“的”前“比”后的量是单位“1”）】
【例2】
（1）4是5的（ ），5是4的（ ）；
（2）4比5少（ ），5比4多（ ）。（填分数）
答案：
（1）4是5的（ ），5是4的（ ）；
（2）4比5少（ ），5比4多（ ）。
点拨：
第（1）题中，是“谁”，“谁”作单位“1”；占“谁”，“谁”作单位“1”；比“谁”，“谁”作单位“1”；第（2）题中，“谁”比“谁”多或少，就利用差÷单位“1”，进行解答。
【变式2-1】甲数是乙数的（甲、乙两数都不为0），乙数比甲数多（ ），甲数比乙数少（ ）。（填写分数）
解：
设甲数为6，则乙数为7，……甲数是乙数的，就设甲数为6，乙数为7
乙数比甲数多：
（7-6）÷6……比“谁”，“谁”作除数，即作单位“1”
=；
甲数比乙数少：
（7-6）÷7
=。
故，答案：，。
【变式2-2】修一条路，已经修了75米，还有25米没修，没修的是已修的_______，已修的占全长的_______，没修的占全长的________。（填写分数）
解：
25÷75=，
75÷（25+75）=，
25÷（25+75）=。
故，答案：，。
【变式2-3】某班男生人数如果减少就与女生人数相等，那么男生比女生多几分之几？
解：
因为男生人数如果减少就与女生人数相等，
所以，可以设男生5人，女生4人。
则男生比女生多：
（5-4）÷4=。
答：男生比女生多。
【题型3 单位“1”及应用（变化的单位“1”）】
【例3】一本书有120页，小敏第一天看了全书的，第二天看的页数是第一天的，两天一共看了多少页．
解：
120× + 120××
=75（页）。
答：两天一共看了75页。
【变式3-1】有甲、乙两个书架，甲书架有书300本，若把甲书架书的放到乙书架，则甲、乙两个书架的书的本数相等．乙书架原来有书多少本？
解：300×（1--）
=300×
=200（本）。
答：乙书架原有200本。
点拨：甲书架有书300本，若把甲书架书的放到乙书架，将甲书架本数当作单位“1”，则此时甲书架还剩下全部的1-，则甲、乙两个书架的书的本数相等，原来乙的本数相当于原来甲的1--，根据分数乘法的意义，乙书架原有：300×（1--）本。
【变式3-2】“五一”期间，苗苗游乐场第一天接待小客人960位，第二天比第一天增加，第三天比第二天增加，第三天共接待多少位客人？
解：
960×（1+）×（1+）
=960××
=1536（位）。
答：第三天共接待客人1536位。
点拨：先以第一天的客人为单位“1”，第二天是第一天的（1+
）；又以第二天的客人数为单位“1”，第三天的客人数是第二天的（1+），根据分数乘法的意义先计算第二天的客人数，再计算第三天的客人数即可.
【变式3-3】某长方形三军仪仗队，其长是米，宽是长的，这个仪仗队的占地面积是多少？
解：
××=（平方米）。
答：这个仪杖队占地面积是平方米。
【题型4 单位“1”的应用（经典的截绳子问题）】
【例4】两根同样的绳子，第一根剪去，第二根剪去米。剩下的部分相比，哪根长？
解：
由于不知道绳子的具体长度，所以无法断定剩下多少。
（1）当绳长＞1米时，如长2米，
第一根绳子剩下：2×（1-）=2×0.75=1.5（米），
第二根绳子剩下：2- =1.75（米），
因为1.5米＜1.75米，所以第二根绳子剩下的长；
（2）当绳长=1米时，
第一根绳子剩下：1×（1-）=1×0.75=0.75（米），
第二根绳子剩下：1-=0.75（米），
因为0.75米=0.75米，所以两根绳子剩下的一样长；
（3）当绳长＜1米时，如长0.4米，
第一根绳子剩下：0.4×（1-）=0.4×0.75=0.3（米），
第二根绳子剩下：0.4-=0.4-0.25=0.15（米），
因为0.3米＞0.15米，所以第一根绳子剩下的长；
综上所述，无法比较。
点拨：如果是问答题，分三种情况来思考，一种情况是绳子长度大于1米，一种是小于1米，还有一种是等于1米；如果是选择题，找到“无法比较”正确选项即可。
【变式4-1】
（1）两根1米长的绳子，第一根剪去，第二根剪去米。剩下的部分相比，哪根长？
解：
第一根绳子剩下：
1×（1-）=1×0.75=0.75（米），
第二根绳子剩下：
1-=0.75（米），
因为0.75米=0.75米，所以两根绳子剩下的一样长。
答：剩下的一样长。
（2）两根2米长的绳子，第一根剪去，第二根剪去米。剩下的部分相比，哪根长？
解：
第一根绳子剩下：
2×（1-）=2×0.75=1.5（米），
第二根绳子剩下：
2- =1.75（米），
因为1.5米＜1.75米，所以第二根绳子剩下的长。
答：第二剩下的长。
【变式4-2】一根绳子，截去，还剩米，截去的长还是剩下的部分长？
解：
1-=，
＜，
截去的长。
答：截去的长。
【变式4-3】有两根铁丝，用去第一根的米，还剩下全长的，用去第二根的，还剩下米。原来两根铁丝相比，哪根长？
解：
第一根的为米，第二根的米，所以第二根长。
答：原来两根铁丝相比，第二根长。
【题型5 简算（分配律）】
【例5】计算，能简算的要简算。
（1），（2）。
解：
（1）
=（
=11
=1，
（2）
=
=
=8+7
=15。
点拨：只有乘法运算时，直接进行约分；有乘加、乘减时，要利用分配律。注意第（2）题，先利用交换律，把7、8两个因数交换在一起，用7、8之积与括号内各项相乘，最后再把所得积再相加。
【变式5-1】简算：
解：
=
=1
=（
=
=
点拨：正确处理，是解答本题关键。先相减得，再把与1相乘，然后逆用乘法分配律，把三个乘积式中的相同的因数提取出来，再进行计算。
【变式5-2】简算：
解：
=
=）
=
=78
【变式5-3】简算：
解：
=1
=
=。
点拨：先对每一个乘积式，利用约分、交换分子与整数位置、分母与分母的位置等方式，进行恒等变形处理，得到相同分数后，逆用乘法分配律，把公因式提取出来，达到简算目的。
【题型6 简算（整数与分母关系问题）】
【例6】简算：
解：
=
=
=5+
=5
【变式6-1】简算：
解：
=
=4+2
=47+
=47
【变式6-2】简算：34
解：
34=（33+1）
=33 +1
=13+
==13
【变式6-3】简算：
解：
=
8+
=10+
=10
【题型7 简算（裂项）】
【例7】简算：
解：
【变式7-1】简算：
解：
【变式7-2】简算：
解：
点拨：每项拆出2来以后，变成一般的裂项运算。
【变式7-3】解方程：
解：