黑龙江省哈尔滨市第七中学2023-2024学年 九年级上学期期中数学试题（解析版）

这是一份黑龙江省哈尔滨市第七中学2023-2024学年 九年级上学期期中数学试题（解析版），共24页。试卷主要包含了选择题，四象限，，，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列图形中对称轴最多的是（ ）
A. 正方形B. 矩形C. 圆D. 菱形
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的知识，解决问题的关键在于掌握轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．这条直线是它的对称轴．
【详解】解：正方形有4条对称轴；
矩形有2条对称轴；
圆的有无数条对称轴；
菱形有2条对称轴；
故选：C．
2. 下列式子中属于二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义（形如其中、、为常数，）的函数叫二次函数，是解决问题的关键．
【详解】解：A、，是一次函数，故本选项不符合题意；
B、，符合定义，故本选项符合题意；
C、的根号内含有，不是二次函数，故本选项不符合题意；
D、的分母中含有，不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：B．
3. 若反比例函数的图象经过点，则这个反比例函数的图象还经过点（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，理解所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数是解决问题的关键．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
A、，
∴这个函数的图象一定不经过点，故本选项不符合题意；
B、∵，
∴这个函数的图象一定不经过点，故本选项不合题意；
C、∵，
∴这个函数的图象一定经过点，故本选项符合题意；
D、∵，
∴这个函数的图象一定不经过点（，故本选项不合题意．
故选：C．
4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，那么csB的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】画出图形，勾股定理求出AB的长，表示csB即可解题．
【详解】解：如下图，
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝5（勾股定理），
∴csB＝＝，
故选A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理以及余弦函数的定义：直角三角形中邻边与斜边的比．
5. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点即可求得顶点坐标．
【详解】解：是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为．
故选：．
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式，顶点坐标是，对称轴是．
6. 如图，、是的两条切线，切点分别为A、B，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查切线长定理，切线的性质定理，特殊角的三角函数值，利用切线长定理及切线的性质定理可证明，可得，根据，求出的正弦函数值，利用特殊的三角函数值即可求出的度数，是解决问题的关键．
【详解】解：∵、是的两条切线，切点分别为A、B，
∴，，，则，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选：A．
7. 如图内接于，弦，，则的半径为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理和解直角三角形，过作直径，连接，易得，根据圆周角定理得，则，结合三角函数的定义即可得到结论．正确的作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
【详解】解：过作直径，连接，
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的半径为6，
故选：D．
8. 的三边长分别为5、12、13，与它相似的的最短边长为15，则的最长边的长度为（ ）
A. 39B. C. 36D. 23
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了相似三角形的性质．根据，根据相似三角形的对应边成比例，即可得，则可求得最长边的边长．解题的关键是注意相似三角形的对应边成比例定理的应用．
【详解】解：设的最长边的长度为
∵的三边长分别为5、12、13，与它相似的的最短边长为15，
∴，
解得：，
则的最长边的长为39．
故选：A．
9. 如图，P是反比例函数y＝的图象上一点，过点P分别向x轴，y轴作垂线，所得到的图中阴影部分的面积为6，则这个反比例函数的表达式为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义求解即可．
【详解】解：由反比例函数图象可得：，则，
又反比例函数图象位于二、四象限，，
∴，
因此，该反比例函数的表达式为．
故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解答的关键．
10. 如图，抛物线与x轴的一个交点在，和之间，其对称轴为直线，则下列结论：①；②；③；④；⑤若，是该抛物线上．的点，则，其中结论正确的个数是（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查根据二次函数图象判断式子的符号，根据抛物线开口方向、与y轴交点位置、对称轴可判断a，b，c的正负，即可判断①；根据对称轴的位置可判断②；根据抛物线与x轴交点个数可判断③；根据对应的点的位置判断④；根据图象可直接判断⑤．
【详解】解：由图可知，抛物线开口向下，与y轴的交点位于y轴的正半轴，
，，
对称轴为直线，
，
，
，故①正确；
由得，故②正确；
由图可知抛物线与x轴交点个数为2，
有两个不相等的实数根，
，故③正确；
由图可知，当时，，故④错误；
由图可知，当时，，当时，，
，故⑤正确，
综上可知，正确的有①②③⑤，共4个，
故选C．
二、填空题（每小题3分，共30分）
11. 在函数y=中，自变量x的取值范围是_____．
【答案】x≠-2．
【解析】
【详解】解：分式有意义，则分式的分母不为零．即x+2≠0
解得：x≠-2
故答案为：x≠-2．
【点睛】本题考查分式的性质．
12. 已知，且与的相似比为，则与周长的比为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是相似三角形的性质，掌握“相似三角形的周长之比等于相似比”是解本题的关键．
【详解】解：∵，相似比为，
∴与△的周长比等于相似比．
故答案为：．
13. 把抛物线向左平移1个单位，然后再向下平移2个单位，则平移后的抛物线解析式为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查函数图象的平移，解题的关键是熟练掌握二次函数的平移规律：上加下减，左加右减．
详解】解：向左平移1个单位，然后再向下平移2个单位，
所得抛物线的解析式为 ；
故答案是：．
14. 在中，，，则______________.
【答案】
【解析】
【分析】根据sinA=，可得出的度数，并得出的度数，继而可得的值．
【详解】在Rt△ABC中，，
∵，
∴
∴
∴=.
故答案为：.
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.
15. 如图，点D是中边中点，过点D作，交于点E，已知，则的长度为______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，根据，证明，利用其性质列出比例式是解决问题的关键．
【详解】解：∵是的中点，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，又，
∴，
故答案为：3．
16. 如图，是的直径，点C、D是弧的三等分点，，则的度数是______．
【答案】##81度
【解析】
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理，掌握在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解题的关键．
【详解】解：∵点、是弧的三等分点，，
∴，则，
∴，
故答案为：．
17. 如图的直径，CD是的弦，于点P，且，则的长是______．
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．连接，先根据的直径求出的长，再根据垂径定理由得出的长，根据勾股定理求出的长，即可得出结论．
【详解】解：连接，
是的直径，弦于，
，
，
，
，
，
在中，，
，
故答案为：8．
18. 的半径为，两条弦和长分别为和，且，则两弦之间的距离是______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，分两种情况：①当和在圆心的同侧时，②当和在圆心的两侧时，分别作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．正确作出辅助线、灵活运用垂径定理以及分类讨论思想和数形结合思想是解答本题的关键．
【详解】解：如图所示，连接，．作直线于，交于，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
根据勾股定理，得
；，
①当和在圆心的同侧时，如图1，则；
②当和在圆心的两侧时，如图2，则；
则和间的距离为或，
故答案为：或．
19. 如图，在△ABC中，已知∠C=35°，AD是BC边上的高，且AD2=BD·CD，则∠B的度数是 ___________.

【答案】55°
【解析】
【分析】将已知的积的恒等式化为比例式，再根据夹角为直角相等，利用两边对应成比例且夹角的相等的两三角形相似可得出 ,由相似三角形的对应角相等,利用直角三角形的两锐角互余及外角性质分别求出两种情况下∠B的度数即可.
【详解】解:∵ ,
∴
又AD⊥BC,
∴∠ADB=∠CDA=90°,
∴,又∠C=35°,
∴∠BAD=∠C=35°， ∠B=∠CAD，
在Rt△ADB中，∠ADC=90°，∠C=35°,
∴∠ CAD =55°,
则∠B=∠CAD=55°
故答案为：55°
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，其中掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.
20. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将ΔEBF沿EF所在直线折叠得到ΔEB' F，连接B' D，则B' D的最小值是_____．
【答案】.
【解析】
【分析】如图所示，点B'在以E为圆心EA为半径的圆上运动，当D、B'、E共线时，B'D的值最小，根据勾股定理求出DE，根据折叠的性质可知B'E=BE=2，即可求出B'D．
【详解】如图所示点B'在以E为圆心EA为半径的圆上运动，当D、B'、E共线时，B'D的值最小，根据折叠的性质，△EBF≌△EB'F，∴∠B=∠EB'F，EB'=EB．
∵E是AB边的中点，AB=4，∴AE=EB'=2．
∵AD=6，∴DE2，∴B'D=22．
故答案为22．
【点睛】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短的综合运用；确定点B'在何位置时，B'D的值最小是解决问题的关键．
三、解答题（共60分）：
21. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查特殊角的三角函数的混合运算．
（1）把特殊角的三角函数值代入，再计算即可求解；
（2）把特殊角的三角函数值代入，再计算即可求解．
熟记特殊角的三角函数值和实数的混合运算法则是解题的关键．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
22. 在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段、线段的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出，点C在小正方形的顶点上，使，且；
（2）在图中画出面积为4的，点D在小正方形的顶点上，连接、，且满足，请直接写出线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）作图见解析，
【解析】
【分析】本题主要考查了基本作图、等腰三角形的判定和性质、圆周角定理等知识
（1）由，得，可知是以腰的等腰直角三角形，即可求解；
（2）取格点与点关于直线对称，则为等腰直角三角形，结合圆周角定理可知点在上，如图（点与点），计算出，即可求解．
灵活利用数形结合的思想解决问题成为解答本题的关键．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
又∵，
∴是以腰的等腰直角三角形，
如图即为所求；
【小问2详解】
取格点与点关于直线对称，则为等腰直角三角形，
∴，，
又∵，
∴由圆周定理可知，点在上，如图（点与点），
此时：，符合题意，
，不符合题意，
即：如图所示，即为所求，
则此时．
23. 如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线 与直线在第二象限的交点，AB⊥x轴于B且S△ABO= ．
（1）求这两个函数的解析式．
（2）求直线与双曲线的两个交点A，C的坐标和△AOC的面积．
【答案】（1）y=﹣；y=﹣x+2（2）4
【解析】
【分析】（1）根据 S△ABO=，即，所以 ，又因为图像在二四象限，所以xy=﹣3即 k=-3，求出反比例函数解析式，再将 k=-3代入 ，求出一次函数解析式；
（2）将两个函数关系式 y=﹣和y=﹣x +2联立，解这个方程组，可求出两个交点A，C的坐标；
（3）将x=0代入 y=﹣x +2中，求出D点坐标，根据△AOC的面积=△ADO的面积+△CDO的面积求解即可.
【详解】解：（1）设A点坐标为（x，y），且x＜0，y＞0
则S△ABO=•|OB|•|AB|=•（﹣x）•y=
∴xy=﹣3
又∵ ∴k=﹣3
∴所求的两个函数的解析式分别为y=﹣，y=﹣x +2
（2）A、C两点坐标满足
解得
∴交点A为（﹣1，3），C为（3，﹣1）
（3）由y=﹣x+2，令x=0，得y=2．
∴直线y=﹣x+2与y轴的交点D的坐标为（0，2）

【点睛】本题考查了待定系数法求函数关系式，反比例函数与一次函数的综合，割补法求不规则图形的面积，解答本题的关键是求出两个函数的表达式.
24. 如图1：在纸片中，，于点D．
第一步：将一张与其全等的纸片沿剪开：
第二步：在同一平面内将所得到的两个三角形和拼在一起，如图2所示，这两个三角形分别记为和；
第三步：分别延长和相交于点．
（1）求证：四边形是正方形：
（2）如图3，连接分别交、于点M、N，将绕点A逆时针旋转，使与重合，得到，则的度数为______；、、之间的数量关系为______．
【答案】（1）见解析 （2）；
【解析】
【分析】（1）由题意可知，，利用其性质可得，，，可证明四边形为矩形，再根据正方形的判定解答即可；
（2）由旋转可知，可得，，，结合正方形的性质可知，进而可得，即，，可证，得，然后在中利用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
证明：由题意可知：，，
∴，，，
，，，
∴，，，
∴四边形为矩形，
∵，
∴矩形为正方形；
【小问2详解】
连接，
∵由旋转得到，
∴，
∴，，，
由（1）可知，四边形是正方形，
∴，
∴，即，
，
在与中，
∴，
∴，
在中，，
∴；
故答案为：；．
【点睛】本题考查几何综合，涉及矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、旋转等知识，灵活熟练运用相关几何性质及判定证明是解决问题的关键．
25. 某超市销售一种牛奶，进价为每箱24元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱36元，每月可销售60箱．市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱，设每箱牛奶降价x元（x为正整数），每月的销量为y箱．
（1）写出y与x之间函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）超市如何定价，才能使每月销售牛奶的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）y=60+10x，（2）超市定价为33元时，才能使每月销售牛奶的利润最大，最大利润是810元．
【解析】
【分析】（1）根据价格每降低1元，平均每天多销售10箱，由每箱降价x元，多卖10x，据此可以列出函数关系式；
（2）由利润=（售价﹣成本）×销售量，列出函数关系式，求出最大值．
【详解】（1）根据题意，得：y=60+10x，
由36﹣x≥24，得x≤12，
∴1≤x≤12，且x为整数；
（2）设所获利润W元，
则W=（36﹣x﹣24）（10x+60）=﹣10x2+60x+720=﹣10（x﹣3）2+810，
∴当x=3时，W取得最大值，最大值为810，36-x=36-3=33（元）
答：超市定价为33元时，才能使每月销售牛奶的利润最大，最大利润是810元．
【点睛】本题是二次函数与一次函数的实际应用问题，正确理解题意，根据相关数量关系列出函数关系式是关键．
26. 已知：是的直径，弦交于点E，且弧弧．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，连接，点F为上的一点，连接，过点C作，垂足为点G，若点H为弧的中点，求的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接交于点N，若，，求的半径．
【答案】（1）见详解 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）连接、，可证是的垂直平分线，即可求证；
（2）连接，可求，由此可求，由，即可求解；
（3）连接、，设，可得，从而可求，，进而可求，可证 ，可得，可求，即可求解．
【小问1详解】
证明∶如图，连接、，

，
，
，
是的垂直平分线，
；
【小问2详解】
解：如图，连接，
是的直径，
，
，
点H为弧的中点，
，
，
，
，
，
，
故的度数为；
【小问3详解】
解：如图，连接、，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
，
，
的半径为．
【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆的基本性质，线段平行线的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，直角三角形的特征，勾股定理等，掌握性质，能根据题意作出适当的辅助线是解题的关键．
27. 如图，O为平面直角坐标系坐标原点，抛物线经过点，点与x轴交于另一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）D点为第一象限抛物线上一点，连接、，设点D的横坐标为t，的面积为S，求S关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，P为第四象限抛物线上一点，连接交y轴于点E，点F在线段上，点G在直线上，若，四边形为菱形，求点P的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）将，点两点代入抛物线求得a、c即可解答；
（2）先根据抛物线的性质求得点的坐标、进而求得的长，如图1，过点作轴的垂线，垂足为点，点的横坐标为，可得、，进而可得，再根据列出解析式化简即可；
（3）如图2，设直线交轴于点，连接、，过点作轴，垂足为点，则点；根据正切的定义可得，运用待定系数法可得直线的解析式，由点的坐标可得即，设点的横坐标为，则，根据正切列等式求解可得，进而得到、；再证可得、，进而得到，再根据点在上可得，最后代入即可解答．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过点，点两点，
∴，解得
∴抛物线的解析式为．
【小问2详解】
抛物线与轴交于A，两点，
当时，，解得，
∵点
∴点
∴
如图1，过点作轴的垂线，垂足为点，点的横坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴．
小问3详解】
如图2，设直线交轴于点，连接、，过点作轴，垂足为点，则点
∵，
∴，
∴，则，
设直线解析式为
∴，解得
∴直线的解析式为
∵点，点
∴，
∴
设点的横坐标为，则，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵四边形为菱形
∴，，
∵，