2022-2023学年江苏省南京外国语学校高二（上）期末数学试卷（含答案详解）

这是一份2022-2023学年江苏省南京外国语学校高二（上）期末数学试卷（含答案详解），共22页。

A．10B．15C．20D．40
2．（3分）函数f（x）＝ex+ax在x＝0处的切线与直线2x﹣y﹣5＝0平行，则实数a＝（ ）
A．﹣1B．1C．D．
3．（3分）已知圆C的圆心在x轴上，且经过A（5，2），B（﹣1，4）两点，则圆C的方程是（ ）
A．（x+2）2+y2＝17B．（x﹣2）2+y2＝13
C．（x﹣1）2+y2＝20D．（x+1）2+y2＝40
4．（3分）下列求导结果正确的是（ ）
A．[（1﹣2x）2]′＝2﹣4x
B．（cs）′＝﹣sin
C．
D．（x•csx）'＝csx﹣xsinx
5．（3分）设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且1，若a3+a5＝20，a3a5＝64，则S4＝（ ）
A．63或126B．252C．120D．63
6．（3分）设函数，若对任意的x∈[m，+∞），都有f（x）≥﹣4，则m的最小值是（ ）
A．﹣4B．﹣6C．D．
7．（3分）已知直线L：与曲线仅有三个交点，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（3分）已知递增等差数列{an}中，a6＝18且a2是a1，a4的等比中项，则它的第4项到第11项的和为（ ）
A．180B．198C．189D．168
二．多选题（共4小题，每题4分，共16分）
（多选）9．（4分）已知空间向量，，，下列命题中不正确的是（ ）
A．若向量，共线，则向量，所在的直线平行
B．若向量，所在的直线为异面直线，则向量，一定不共面
C．若存在不全为0的实数x，y，z使得xyz，则，，共面
D．对于空间的任意一个向量，总存在实数x，y，z使得xyz
（多选）10．（4分）已知数列{an}满足，an+1＝an+1，a1＝a，则不一定存在a，使数列中（ ）
A．存在n∈N*，有an+1an+2＜0
B．存在n∈N*，有（an+1﹣1）（an+2﹣1）＜0
C．存在n∈N*，有（an+1）（an+2）＜0
D．存在n∈N*，有（an+1）（an+2）＜0
（多选）11．（4分）已知直线l：kx﹣y+2k＝0和圆O：x2+y2＝16，则（ ）
A．直线l恒过定点（2，0）
B．存在k使得直线l与直线l0：x﹣2y+2＝0垂直
C．直线l与圆O相交
D．若k＝﹣1，直线l被圆O截得的弦长为4
（多选）12．（4分）已知函数f（x），则下列说法正确的有（ ）
A．函数f（x）的图象在点（1，0）处的切线方程是x﹣ey﹣1＝0
B．函数f（x）有两个零点
C．f（2）＜f（3）
D．函数f（x）有极大值，且极大值点x0∈（1，2）
三．填空题（共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）已知直线l过点A（a，0）（a＞0），且斜率为1，若圆x2+y2＝4上恰有3个点到l的距离为1，则a的值为 ．
14．（3分）已知函数，若f′（x）＝0在（0，2]上有解，则实数a的取值范围为 ．
15．（3分）设O为坐标原点，F1，F2是双曲线1（a＞0，b＞0）的焦点，若在双曲线上存在点M，满足∠F1MF2＝120°，|OM|，且，则该双曲线的方程为 ．
16．（3分）设Sn是数列{an}的前n项和，，则an＝ ；若不等式对任意n∈N+恒成立，则正数k的最小值为 ．
四．解答题（共5小题，共48分）
17．（9分）已知函数．
（1）求函数y＝f（x）的图像在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数g（x）＝xex+（4﹣a）x﹣1﹣f（x）在定义域上无极值，求正整数a的最大值．
18．（9分）设椭圆1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0）、F2（c，0），右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|c．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点的直线l与该圆相切．求直线l的斜率．
19．（9分）设同时满足条件：①bn+1；②bn≤M（n∈N*，M是常数）的无穷数列{bn}叫做P数列，已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn（an﹣1）（a为常数，且a≠0，a≠1）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn1，若数列{bn}为等比数列，求a的值；并证明数列{}为P数列．
20．（9分）如图，已知抛物线y2＝2px（p＞0），焦点为F，准线为直线l，P为抛物线上的一点，过点P作l的垂线，垂足为点Q．当P的横坐标为3时，△PQF为等边三角形．
（1）求抛物线的方程；
（2）过点F的直线交抛物线于A，B两点，交直线l于点M，交y轴于G．
①若，，求证：λ1+λ2为常数；
②求的取值范围．
21．（12分）已知函数f（x）＝xlnx，g（x）＝ax2﹣x（a∈R）．
（1）求f（x）的单调区间和极值点；
（2）求使f（x）≤g（x）恒成立的实数a的取值范围；
（3）当时，是否存在实数m，使得方程有三个不等实根？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
2022-2023学年江苏省南京外国语学校高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，每题3分，共24分）
1．（3分）已知等差数列{an}中，a3+a8＝22，a6＝7，则a5的值为（ ）
A．10B．15C．20D．40
【解答】解：∵等差数列{an}中，a3+a8＝22，a6＝7，
∴，
解得a1＝47，d＝﹣8，
∴a5＝47﹣8×4＝15．
故选：B．
2．（3分）函数f（x）＝ex+ax在x＝0处的切线与直线2x﹣y﹣5＝0平行，则实数a＝（ ）
A．﹣1B．1C．D．
【解答】解：f′（x）＝ex+a，则f′（0）＝1+a，
依题意，1+a＝2，解得a＝1．
故选：B．
3．（3分）已知圆C的圆心在x轴上，且经过A（5，2），B（﹣1，4）两点，则圆C的方程是（ ）
A．（x+2）2+y2＝17B．（x﹣2）2+y2＝13
C．（x﹣1）2+y2＝20D．（x+1）2+y2＝40
【解答】解：∵圆C的圆心在x轴上，设圆心为M（a，0），由圆过点A（5，2），B（﹣1，4），
由|MA|＝|MB|可得 MA2＝MB2，即（a﹣5）2+4＝（a+1）2+16，求得a＝1，
可得圆心为M（ 1，0），半径为|MA|，故圆的方程为 （x﹣1）2+y2＝20，
故选：C．
4．（3分）下列求导结果正确的是（ ）
A．[（1﹣2x）2]′＝2﹣4x
B．（cs）′＝﹣sin
C．
D．（x•csx）'＝csx﹣xsinx
【解答】解：[（1﹣2x）2]′＝2（1﹣2x）•（﹣2）＝8x﹣4，，，（x•csx）′＝csx﹣xsinx，
∴求导结果正确的是：D．
故选：D．
5．（3分）设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且1，若a3+a5＝20，a3a5＝64，则S4＝（ ）
A．63或126B．252C．120D．63
【解答】解：∵1，
∴0＜q＜1，
∵a3a5＝64，a3+a5＝20，
∴a3和a5为方程x2﹣20x+64＝0的两根，
∵an＞0，0＜q＜1，
∴a3＞a5，
∴a3＝16，a5＝4，
∴q，
∴a1＝64，a2＝32，a3＝16，a4＝8，
∴S4＝a1+a2+a3+a4＝64+32+16+8＝120，
故选：C．
6．（3分）设函数，若对任意的x∈[m，+∞），都有f（x）≥﹣4，则m的最小值是（ ）
A．﹣4B．﹣6C．D．
【解答】解：作出函数f（x）的部分图象如图所示，
当x∈（﹣6，﹣5）时，f（x）＝8（x+5），
令f（x）＝﹣4，解得x．
数形结合可得，对任意的x∈[m，+∞），都有f（x）≥﹣4，
则m的最小值为．
故选：D．
7．（3分）已知直线L：与曲线仅有三个交点，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：由题意得曲线
∴
即4y2＝|4﹣x2|（y≥0）
当4﹣x2≥0时得到4y2＝4﹣x2即
当4﹣x2＜0时得到
由以上可得曲线C的图形为
∵直线L：与双曲线的渐近线平行
∴把直线向上平移平移到（0，1）点时有两个交点，此时m＝1．继续向上平移则有3个交点．
当直线与椭圆的上半部分相切时此时有两个交点．
联立直线与椭圆的方程代入整理得2x2+4mx+4m2﹣4＝0
Δ＝16m2﹣8（4m2﹣4）＝0即（舍去）
由图示可得
由以上可得1＜m
故选：C．
8．（3分）已知递增等差数列{an}中，a6＝18且a2是a1，a4的等比中项，则它的第4项到第11项的和为（ ）
A．180B．198C．189D．168
【解答】解：设递增等差数列{an}的公差为d，则d＞0，
∵a6＝18且a2是a1，a4的等比中项，
∴，
解得a1＝d＝3，
∴第4项到第11项的和为S11﹣S3＝（11a1d）﹣（3a1d）
＝8a1+52d＝60d＝180
故选：A．
二．多选题（共4小题，每题4分，共16分）
（多选）9．（4分）已知空间向量，，，下列命题中不正确的是（ ）
A．若向量，共线，则向量，所在的直线平行
B．若向量，所在的直线为异面直线，则向量，一定不共面
C．若存在不全为0的实数x，y，z使得xyz，则，，共面
D．对于空间的任意一个向量，总存在实数x，y，z使得xyz
【解答】解：向量，共线，
则与所在的直线也可能重合，故A错误；
根据自由向量的意义知，空间任意两向量，都共面，故B错误；
实数x，y不全为0，
不妨设x≠0，
则，
故由共面向量定理知，，，共面，故C正确；
只有当，，不共面时，
空间任意一向量才能表示为得xyz，故D错误．
故选：ABD．
（多选）10．（4分）已知数列{an}满足，an+1＝an+1，a1＝a，则不一定存在a，使数列中（ ）
A．存在n∈N*，有an+1an+2＜0
B．存在n∈N*，有（an+1﹣1）（an+2﹣1）＜0
C．存在n∈N*，有（an+1）（an+2）＜0
D．存在n∈N*，有（an+1）（an+2）＜0
【解答】解：设函数y＝x+1，
则函数y＝x+1与y＝x有两个交点（0，0），（1，1），
∴当a1＜0时，数列递减，∴an＜0；
当0＜a1＜1时，数列递增，并且an趋向1；
当a1＞1时，数列递减，并且an趋向1，则可知A，B错误；
又当x＞1时，y＝x+1x+1，
则当a1＞1时，a2一定小于，则之后均小于，故D错误；
对于C，可取a1，则a2，a3，a4，
所以（）（a4）＜0，满足要求．
故选：ABD．
（多选）11．（4分）已知直线l：kx﹣y+2k＝0和圆O：x2+y2＝16，则（ ）
A．直线l恒过定点（2，0）
B．存在k使得直线l与直线l0：x﹣2y+2＝0垂直
C．直线l与圆O相交
D．若k＝﹣1，直线l被圆O截得的弦长为4
【解答】解：直线l：kx﹣y+2k＝0，即k（x+2）﹣y＝0，则直线恒过定点（﹣2，0），故A错误；
当k＝﹣2时，直线l：kx﹣y+2k＝0与直线l0：x﹣2y+2＝0垂直，故B正确；
∵定点（﹣2，0）在圆O：x2+y2＝16内部，∴直线l与圆O相交，故C正确；
当k＝﹣1时，直线l化为﹣x﹣y﹣2＝0，即x+y+2＝0，
圆心O到直线的距离d，直线l被圆O截得的弦长为，故D错误．
故选：BC．
（多选）12．（4分）已知函数f（x），则下列说法正确的有（ ）
A．函数f（x）的图象在点（1，0）处的切线方程是x﹣ey﹣1＝0
B．函数f（x）有两个零点
C．f（2）＜f（3）
D．函数f（x）有极大值，且极大值点x0∈（1，2）
【解答】解：由f（x），得f′（x），则f′（1），
∴函数f（x）的图象在点（1，0）处的切线方程是y﹣0，
即x﹣ey﹣1＝0，故A正确；
令g（x），则g（x）在（0，+∞）上是单调递减的，
且g（1）＞0，g（2）0，
∴存在x0∈（1，2），使得g（x0）＝0，即f′（x0）＝0，
∴f（x）在区间（0，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减．
∴函数f（x）有极大值，且极大值点x0∈（1，2），故D正确；
∵f（x）在区间（x0，+∞）上单调递减，x0∈（1，2），
∴f（2）＞f（3），故C错误；
∵f（1）＝0，f（x）在区间（0，x0）上单调递增，
∴当x∈（0，x0）时，f（x）有一个零点，
∵x0＞1，∴当x∈（x0，+∞）时，lnx＞0，ex＞0，则f（x）＞0，
则f（x）在（x0，+∞）上无零点，即f（x）只有一个零点，故B错误．
故选：AD．
三．填空题（共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）已知直线l过点A（a，0）（a＞0），且斜率为1，若圆x2+y2＝4上恰有3个点到l的距离为1，则a的值为 ．
【解答】解：由题意可得直线l的方程为y＝x﹣a，即x﹣y﹣a＝0，
可得圆心到直线l的距离d，
由圆的方程可得圆的半径r＝2，
要使恰有3个点到l的距离为1，则圆心到直线的距离d1，
所以1，而a＞0，所以a，
故答案为：．
14．（3分）已知函数，若f′（x）＝0在（0，2]上有解，则实数a的取值范围为 [，） ．
【解答】解：∵函数，则 f′（x）＝x2+2x+（2a﹣1）．
再由f′（x）＝0在（0，2]上有解，f′（x）是二次函数，对称轴为x＝﹣1，
可得f′（0）f′（2）＜0，或f′（2）＝0，即 （2a﹣1）•（2a+7）＜0，或2a+7＝0．
解得 ，
故答案为[， ）．
15．（3分）设O为坐标原点，F1，F2是双曲线1（a＞0，b＞0）的焦点，若在双曲线上存在点M，满足∠F1MF2＝120°，|OM|，且，则该双曲线的方程为 x21 ．
【解答】解：因为∠F1MF2＝120°，，即2，所以b2＝6，
因为cs∠MOF1，
cs∠MOF2，
又因为cs∠MOF1＝﹣cs∠MOF2，
所以3a2+c2﹣|MF1|2＝﹣3a2﹣c2+|MF2|2，
则|MF1|2+|MF2|2＝6a2+2c2，
所以（|MF1|﹣|MF2|）2+2|MF1||MF2|＝（|MF1|﹣|MF2|）2+16＝4a2+16＝6a2+2c2，
整理可得a2+c2＝8，所以a2+（a2+b2）＝2a2+6＝8，解得a2＝1，
所以双曲线方程为：x21，
故答案为：x21．
16．（3分）设Sn是数列{an}的前n项和，，则an＝ （4n+2）×3n ；若不等式对任意n∈N+恒成立，则正数k的最小值为 ．
【解答】解：当n＝1时，，得a1＝18，
当n≥2时，，，
两式相减得，得，
所以，
又因为，所以是以6为首项，4为公差的等差数列，
所以，即，
因为，所以，即，
记，所以{bn}为递增数列，bn≥b1＝6，
所以，解得，
则正数k的最小值为．
故答案为：；．
四．解答题（共5小题，共48分）
17．（9分）已知函数．
（1）求函数y＝f（x）的图像在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数g（x）＝xex+（4﹣a）x﹣1﹣f（x）在定义域上无极值，求正整数a的最大值．
【解答】解：（1）因为f（x）x2+2xlnx，
所以f′（x）＝x+2（1+lnx），
所以f′（1）＝3，
又f（1），
所以函数f（x）在（1，f（1））的切线方程为y3（x﹣1），即y＝3x．
（2）由题得g（x）＝xex﹣2xlnxx2+（4﹣a）x﹣1定义域为（0，+∞），
若g（x）＝f（x）+（4﹣a）x﹣1无极值，则g′（x）≥0恒成立或g′（x）≤0恒成立，
①当g′（x）≥0恒成立时，g′（x）＝（x+1）ex﹣2（1+lnx）﹣x+4﹣a≥0，
即a﹣2≤（x+1）ex﹣2lnx﹣x恒成立，
所以a﹣2≤[（x+1）ex﹣2lnx﹣x]min，
令h（x）＝（x+1）ex﹣2lnx﹣x，
所以h′（x）＝（x+2）ex1＝（x+2）ex（x+2）（ex）（x＞0），
令φ（x）＝ex，
所以φ′（x）＝ex0，
所以φ（x）在（0，+∞）上单调递增，
又φ（）2＜0，φ（1）＝e﹣1＞0，
所以存在x0∈（，1）使φ（x0）＝e0，
当x∈（0，x0）时，φ（x）＜0，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
当x∈（x0，+∞）时，φ（x）＞0，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
所以h（x）min＝h（x0）＝（x0+1）e2lnx0﹣x0＝（x0+1）•2lnx0﹣x0，
因为e，
所以x0＝﹣lnx0，
所以h（x0）＝12x0﹣x0＝1+x0∈（3，），
即h（x0）∈（3，），
所以a﹣2≤3，
所以a≤5，
所以整数a的最大值为5，
②g′（x）≤0恒成立，
所以a﹣2≥[（x+1）ex﹣2lnx﹣x]max，
由①知h（x）在（x0，+∞）单调递增，
所以不存在最大值，
综上所述，正整数a的最大值为5．
18．（9分）设椭圆1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0）、F2（c，0），右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|c．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点的直线l与该圆相切．求直线l的斜率．
【解答】（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由，可得a2+b2＝3c2，…（1分）
又b2＝a2﹣c2，则．…（3分）
所以，椭圆的离心率．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a2＝2c2，b2＝c2．故椭圆方程为．…（5分）
设P（x0，y0）．由F1（﹣c，0），B（0，c），有，．
由已知，有，…（6分）
即（x0+c）c+y0c＝0．又c≠0，
故有x0+y0+c＝0．①…（7分）
又因为点P在椭圆上，
故．②…（8分）
由①和②可得．而点P不是椭圆的顶点，
故，代入①得，即点P的坐标为．…（9分）
设圆的圆心为T（x1，y1），则，，
进而圆的半径．…（11分）
设直线l的斜率为k，依题意，直线l的方程为y＝kx．…（12分）
由l与圆相切，可得，即，…（13分）
整理得k2﹣8k+1＝0，解得．…（14分）
所以，直线l的斜率为或．
19．（9分）设同时满足条件：①bn+1；②bn≤M（n∈N*，M是常数）的无穷数列{bn}叫做P数列，已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn（an﹣1）（a为常数，且a≠0，a≠1）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn1，若数列{bn}为等比数列，求a的值；并证明数列{}为P数列．
【解答】解：（1）当n＝1时，，∴a1＝a．
当n≥2时，，整理得，
即数列{an}是以a为首项、a为公比的等比数列，∴；
（2）由（1）知，，（*）
由数列{bn}是等比数列，则，
故，解得a，
再将代入（*）式，得．
由于，满足条件①；
又由于，故存在M满足条件②．
故数列{}为P数列．
20．（9分）如图，已知抛物线y2＝2px（p＞0），焦点为F，准线为直线l，P为抛物线上的一点，过点P作l的垂线，垂足为点Q．当P的横坐标为3时，△PQF为等边三角形．
（1）求抛物线的方程；
（2）过点F的直线交抛物线于A，B两点，交直线l于点M，交y轴于G．
①若，，求证：λ1+λ2为常数；
②求的取值范围．
【解答】解：（1）据题意知，P（3，），△PQF为等边三角形，其边长为，Q（，
所以，解得p＝2
所以抛物线的方程y2＝4x
（2）①设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y＝k（x﹣1）
所以；
M（﹣1，﹣2k），G（0，﹣k）
所以；
因为；，
可得﹣λ1y1＝2k+y1，﹣λ2y2＝2k+y2，即有λ1＝﹣1，λ2＝﹣1，
λ1+λ2＝﹣22+2k•0，
所以λ1+λ2＝0．
②由得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0
Δ＝16k2+16＞0
所以，x1•x2＝1，
y1•y2＝k（x1﹣1）•k（x2﹣1）＝﹣4；y1+y2＝k（x1﹣1）+k（x2﹣1）
所以
＝k2+1≥1
所以的取值范围为[1，+∞）
21．（12分）已知函数f（x）＝xlnx，g（x）＝ax2﹣x（a∈R）．
（1）求f（x）的单调区间和极值点；
（2）求使f（x）≤g（x）恒成立的实数a的取值范围；
（3）当时，是否存在实数m，使得方程有三个不等实根？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）f′（x）＝lnx+1，
由f′（x）＞0得，f′（x）＜0得0＜x，
∴f（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增，
f（x）的极小值点为x．（注：极值点未正确指出扣1分） （3分）
（2）由f（x）≤g（x）得xlnx≤ax2﹣x（x＞0），∴ax≥lnx+1，
即a对任意x＞0恒成立，
令h（x），则h′（x），
由h′（x）＞0得0＜x＜1，h′（x）＜0得x＞1，
∴h（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，
∴h（x）max＝h（1）＝1，∴a≥1，
∴当a≥1时f（x）≤g（x）恒成立．
（3）假设存在实数m，使得方程有三个不等实根，
即方程6lnx+8m+x2﹣8x＝0有三个不等实根，
令φ（x）＝6lnx+8m+x2﹣8x，
，
由φ′（x）＞0得0＜x＜1或x＞3，由φ′（x）＜0得1＜x＜3，
∴φ（x）在（0，1）上单调递增，（1，3）上单调递减，（3，+∞）上单调递增，
∴φ（x）的极大值为φ（1）＝﹣7+8m，φ（x）的极小值为φ（3）＝﹣15+6ln3+8m．（11分）
要使方程6lnx+8m+x2﹣8x＝0有三个不等实根，则函数φ（x）的图象与x轴要有三个交点，
根据φ（x）的图象可知必须满足，解得，（13分）
∴存在实数m，使得方程有三个不等实根，
实数m的取值范围是．（14分）