2022-2023学年广东省广州市六区高二（上）期末数学试卷（含答案详解）

这是一份2022-2023学年广东省广州市六区高二（上）期末数学试卷（含答案详解），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）直线x+y+1＝0的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．（5分）准线方程为x＝2的抛物线的标准方程是（ ）
A．y2＝﹣4xB．y2＝8xC．y2＝4xD．y2＝﹣8x
3．（5分）双曲线1的离心率为（ ）
A．B．C．D．3
4．（5分）经过两条直线2x+y﹣8＝0和x﹣2y+1＝0的交点，且垂直于直线3x﹣2y+4＝0的直线的方程是（ ）
A．2x+3y﹣13＝0B．2x+3y﹣12＝0
C．2x﹣3y＝0D．2x﹣3y﹣5＝0
5．（5分）在三棱柱ABC﹣A1B1C中，M，N分别为A1C1，B1B的中点，若，则（x，y，z）＝（ ）
A．（1，，）B．（1，，）
C．（﹣1，，）D．（﹣1，，）
6．（5分）动圆P过定点M（0，2），且与圆N：x2+（y+2）2＝4相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
7．（5分）椭圆的一个焦点是F，过原点O作直线（不经过焦点）与椭圆相交于A，B两点，则△ABF的周长的最小值是（ ）
A．14B．15C．18D．20
8．（5分）已知数列{an}满足a1＝1，an+（﹣1）nan+1＝1，记数列{an}的前n项和为Sn，则S2023＝（ ）
A．506B．759C．1011D．1012
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）已知，，则（ ）
A．B．
C．D．∥
（多选）10．（5分）数列{an}满足a1＝10，an＝an﹣1﹣2（n≥2），则（ ）
A．数列{an}是递减数列
B．an＝2n+8
C．点（n，an）都在直线y＝﹣2x+12
D．数列{an}的前n项和Sn的最大值为32
（多选）11．（5分）过双曲线C：的左焦点F1作直线l与双曲线C的右支交于点A，则（ ）
A．双曲线C的渐近线方程为y＝±2x
B．点F1到双曲线C的渐近线的距离为4
C．直线l的斜率k取值范围是{k|﹣2＜k＜2}
D．若AF1的中点在y轴上，则直线l的斜率
（多选）12．（5分）过直线l：x+y+4＝0上的动点P分别作圆C1：x2+y2＝2与圆C2：（x﹣6）2+y2＝8的切线，切点分别为A，B，则（ ）
A．圆C1上恰好有两个点到直线l的距离为
B．|PA|的最小值为
C．|PC1|+|PC2|的最小值为2
D．直线l上存在两个点P，使得|PB|＝2|PA|
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）经过点A（3，1），且与直线2x+y﹣5＝0平行的直线的方程为 ．
14．（5分）若数列{an}为等差数列，a2+a8＝20，则数列{an}的前9项和S9＝ ．
15．（5分）图中是抛物线形拱桥，当水面在l时，水面宽4m，水面下降2m后，水面宽8m，则拱桥顶点O离水面l的距离为 ．
16．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是AD，B1B的中点，动点P在底面正方形ABCD内（包括边界），若B1P∥平面A1MN，则CP长度的最大值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）在等差数列{an}中，a4＝﹣9，a7＝﹣6．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记Sn为等差数列{an}的前n项和，求使不等式Sn＞0成立的n的最小值．
18．（12分）已知圆C经过A（﹣1，0），B（2，3）两点，且圆心C在直线2x﹣y﹣4＝0上．
（1）求圆C的方程；
（2）过点（3，2）的直线l与圆C交于P，Q两点，如果，求直线l的方程．
19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC＝4，AB＝BB1＝2，点E是BB1的中点．
（1）求BD1与AE所成角的余弦值；
（2）求BD1与平面ACE所成角的正弦值．
20．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝9，Sn+1＝3Sn+9（n∈N*）．
（1）求证：数列{an}是等比数列；
（2）若bn＝lg3an，cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn．
21．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，D，E分别为BC，AC的中点，△PBC为正三角形，平面PBC⊥平面ABC．
（1）求点B到平面PAC的距离；
（2）在线段PC上是否存在异于端点的点M，使得平面CPAC和平面MDE夹角的余弦值为？若存在，确定点M的位置；若不存在，说明理由．
22．（12分）已知椭圆上的点到两个焦点的距离之和为．短轴的两个顶点和两个焦点连接成的四边形为正方形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点A，B为椭圆C上的两点，O为坐标原点，，求的取值范围．
2022-2023学年广东省广州市六区高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）直线x+y+1＝0的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：直线的斜率等于，设它的倾斜角等于 θ，则 0≤θ＜π，且 tanθ，
∴θ，
故选：B．
2．（5分）准线方程为x＝2的抛物线的标准方程是（ ）
A．y2＝﹣4xB．y2＝8xC．y2＝4xD．y2＝﹣8x
【解答】解：根据题意，易得该抛物线的焦点在x轴上，则设其标准方程是y2＝2mx，
由抛物线的性质，可得其准线方程为x，
则2，解可得m＝﹣4，
故其标准方程是y2＝﹣8x；
故选：D．
3．（5分）双曲线1的离心率为（ ）
A．B．C．D．3
【解答】解：双曲线1．可得a，b＝1，所以c，
所以e．
故选：A．
4．（5分）经过两条直线2x+y﹣8＝0和x﹣2y+1＝0的交点，且垂直于直线3x﹣2y+4＝0的直线的方程是（ ）
A．2x+3y﹣13＝0B．2x+3y﹣12＝0
C．2x﹣3y＝0D．2x﹣3y﹣5＝0
【解答】解：联立，解得，所以直线2x+y﹣8＝0和x﹣2y+1＝0的交点为（3，2），
故垂直于直线3x﹣2y+4＝0且过（3，2）的直线方程为y﹣2（x﹣3），即2x+3y﹣12＝0．
故选：B．
5．（5分）在三棱柱ABC﹣A1B1C中，M，N分别为A1C1，B1B的中点，若，则（x，y，z）＝（ ）
A．（1，，）B．（1，，）
C．（﹣1，，）D．（﹣1，，）
【解答】解：由题意可得
xyz，
所以x＝1，y，z，
所以（x，y，z）＝（1，，）．
故选：A．
6．（5分）动圆P过定点M（0，2），且与圆N：x2+（y+2）2＝4相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：由圆N的方程可得N（0，﹣2），半径为2，
设动圆P的半径为r，由题意可得|PM|＝r，|PN|＝r﹣2，
即|PM|﹣|PN|＝2＜|MN|，
即点P在以M，N为焦点，焦距长为2c＝4，实轴长为2a＝2，
由双曲线的定义h虚轴长为2b＝22的双曲线上，且点P在靠近点N的一支曲线上，
所以P点的轨迹方程为：y21，（y＜0）
故选：A．
7．（5分）椭圆的一个焦点是F，过原点O作直线（不经过焦点）与椭圆相交于A，B两点，则△ABF的周长的最小值是（ ）
A．14B．15C．18D．20
【解答】解：设F为椭圆的右焦点，F1为椭圆的左焦点，
连接AF1，BF1，
则四边形F1AFB为平面四边形，
则|AF|+|BF|＝|AF|+|AF1|＝2×5＝10，
则△ABF的周长为|AF|+|BF|+|AB|＝10+2|OA|，
设A（x，y），
则，
则，
即|OA|2≥16，
即|OA|≥4，
即当A在短轴端点时，|OA|取最小值4，
即当A在短轴端点时，△ABF的周长取最小值10+2×4＝18，
故选：C．
8．（5分）已知数列{an}满足a1＝1，an+（﹣1）nan+1＝1，记数列{an}的前n项和为Sn，则S2023＝（ ）
A．506B．759C．1011D．1012
【解答】解：由题意，可得S2023＝a1+a2+•••+a2023
＝a1+（a2+a3）+（a4+a5）+•••+（a2022+a2023）
＝1+（1）+（1）+•••+（1）
＝1+1（•••）
＝1012
＝1012
＝506．
故选：A．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）已知，，则（ ）
A．B．
C．D．∥
【解答】解：∵，，
∴2，可得D对，C错，
||，A对，
2（1，1，﹣2）﹣（﹣4，﹣4，8）＝（5，5，﹣10），B错；
故选：AD．
（多选）10．（5分）数列{an}满足a1＝10，an＝an﹣1﹣2（n≥2），则（ ）
A．数列{an}是递减数列
B．an＝2n+8
C．点（n，an）都在直线y＝﹣2x+12
D．数列{an}的前n项和Sn的最大值为32
【解答】解：已知数列{an}满足a1＝10，an＝an﹣1﹣2（n≥2），
则数列{an}是以10为首项，﹣2为公差的等差数列，
对于选项A，因为d＝﹣2＜0，即数列{an}是递减数列，即选项A正确；
对于选项B，an＝10+（n﹣1）×（﹣2）＝12﹣2n，即选项B错误；
对于选项C，将点（n，an）代入直线方程y＝﹣2x+12，满足an＝﹣2n+12，即选项C正确；
对于选项D，n2+11n，
又n∈N+，
则当n＝5或n＝6时，Sn取最大值30，
即选项D错误，
故选：AC．
（多选）11．（5分）过双曲线C：的左焦点F1作直线l与双曲线C的右支交于点A，则（ ）
A．双曲线C的渐近线方程为y＝±2x
B．点F1到双曲线C的渐近线的距离为4
C．直线l的斜率k取值范围是{k|﹣2＜k＜2}
D．若AF1的中点在y轴上，则直线l的斜率
【解答】解：对选项A：双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，正确；
对选项B：，取渐近线方程为2x+y＝0，距离为，错误；
对选项C：渐近线方程为y＝±2x，故斜率k取值范围是{k|﹣2＜k＜2}，正确；
对选项D：AFl的中点在y轴上，则A的横坐标为，得到y＝±4，故或，斜率为，正确．
故选：ACD．
（多选）12．（5分）过直线l：x+y+4＝0上的动点P分别作圆C1：x2+y2＝2与圆C2：（x﹣6）2+y2＝8的切线，切点分别为A，B，则（ ）
A．圆C1上恰好有两个点到直线l的距离为
B．|PA|的最小值为
C．|PC1|+|PC2|的最小值为2
D．直线l上存在两个点P，使得|PB|＝2|PA|
【解答】解：圆 C 1：x2+y2＝2，圆心C1（0，0），半径为r1；
圆 C 2：（x﹣6）2+y2＝8，圆心C2（6，0），半径r2＝2，
在A中，圆心C1到直线l的距离d2，所以只有1个点满足条件，即A不正确；
在B中，圆心C1到直线l的距离d2，所以|PA|，所以|PA|的最小值为，所以B正确；
在C中，设C1关于直线l的对称点为C1'（a，b），则，解得a＝b＝﹣4，
所以|PC1|+|PC2|＝|PC1'|+|PC2|≥|C1'C|2，当且仅当C2，P，C1'三点共线时取等号，所以|PC1|+|PC2|的最小值为2，所以C正确；
在D中，因为|PB|＝2|PA|，所以|PB|2＝4|PA|2，即|PC2|24（|PC1|2﹣r1|2），设P（x，y），则（x﹣6）2+y2﹣8＝4（x2+y2﹣2），整理可得（x+2）2+y2＝16，
即P的轨迹为以（﹣2，0）为圆心，以4为半径的圆，所以圆心（﹣2，0）到直线l的距离d'4，所以直线和圆相交，有2个交点，所以D正确．
故选：BCD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）经过点A（3，1），且与直线2x+y﹣5＝0平行的直线的方程为 2x+y﹣7＝0 ．
【解答】解：设与直线2x+y﹣5＝0平行的直线方程为2x+y+c＝0，
将点A（3，1）代入，可得2×3+1+c＝0，解得c＝﹣7，
所以经过点A（3，1），且与直线2x+y﹣5＝0平行的直线的方程为2x+y﹣7＝0．
故答案为：2x+y﹣7＝0．
14．（5分）若数列{an}为等差数列，a2+a8＝20，则数列{an}的前9项和S9＝ 90 ．
【解答】解：数列{an}为等差数列，a2+a8＝20，
则．
故答案为：90．
15．（5分）图中是抛物线形拱桥，当水面在l时，水面宽4m，水面下降2m后，水面宽8m，则拱桥顶点O离水面l的距离为 ．
【解答】解：建系如图，设拱桥所在抛物线方程为x2＝﹣2py，（p＞0），
根据题意可设水面所在直线l与抛物线的一个交点A为（2，t），则根据题意可得：
水面下降2m后的水面直线l′与抛物线的一个交点B为（4，t﹣2），
又A，B都在抛物线：x2＝﹣2py上，
∴，
解得，∴|yA|，
∴拱桥顶点O离水面l的距离为，
故答案为：．
16．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是AD，B1B的中点，动点P在底面正方形ABCD内（包括边界），若B1P∥平面A1MN，则CP长度的最大值为 ．
【解答】解：如图，以正方体的顶点A为原点，AB，AD，AA1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），A1（0，0，1），B1（1，0，1），C1（1，1，1），D1（0，1，1），M（0，，0），N（1，0，），
动点P在底面正方形ABCD内（包括边界），则设P（x，y，z），且x，y∈[0，1]，
则（x﹣1，y，﹣1），设平面A1MN的法向量为（a，b，c），
（1，0，），（0，，﹣1），
则，即，取c＝2，则平面A1MN的法向量（1，4，2），
因为B1P∥平面A1MN，所以•x﹣1+4y﹣2＝0，即x+4y﹣3＝0，
则x＝﹣4y+3∈[0，1]，所以y∈[，]，
则|CP|，
由二次函数的性质可得当y时，|CP|，y时，|CP|，
所以CP长度的最大值为．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）在等差数列{an}中，a4＝﹣9，a7＝﹣6．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记Sn为等差数列{an}的前n项和，求使不等式Sn＞0成立的n的最小值．
【解答】解：（1）设数列{an}的公差为d，
∵a4＝﹣9，a7＝﹣6，
∴，解得，
故an＝a1+（n﹣1）d＝﹣12+（n﹣1）×1＝n﹣13；
（2），
令Sn＞0，即，解得n＞25，
故n的最小值为26．
18．（12分）已知圆C经过A（﹣1，0），B（2，3）两点，且圆心C在直线2x﹣y﹣4＝0上．
（1）求圆C的方程；
（2）过点（3，2）的直线l与圆C交于P，Q两点，如果，求直线l的方程．
【解答】解：（1）由题意设圆心C（a，2a﹣4），
设圆的半径为r，则r2＝|CA|2＝|CB|2，
即（a+1）2+（2a﹣4）2＝（a﹣2）2+（2a﹣7）2，解得a＝2，
所以圆心C（2，0），半径r＝|CA|3，
所以圆C的方程为：（x﹣2）2+y2＝9；
（2）当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为x＝3，代入圆的方程可得12+y2＝9，
可得y＝±2，所以|PQ|＝2×24，显然符合条件；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx+t，因为点（3，2）在直线上，所以3k+t＝2，
圆心C到直线l的距离d，
弦长|PQ|＝224，可得d＝1，
即1，即|3k+2﹣2k|，解得k，t＝2﹣3k，
所以直线PQ的方程为yx；
综上所述：直线l的方程为：x＝3或yx．
19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC＝4，AB＝BB1＝2，点E是BB1的中点．
（1）求BD1与AE所成角的余弦值；
（2）求BD1与平面ACE所成角的正弦值．
【解答】解：（1）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC＝4，AB＝BB1＝2，
如图，以A为原点，AB，AD，AA1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），A1（0，0，2），B1（2，0，2），C1（2，4，2），D1（0，4，2），E（2，0，1），
所以，，则，
则BD1与AE所成角的余弦值为．
（2）设平面ACE的法向量为，又，
所以，令y＝1，则，
所以，
故BD1与平面ACE所成角的正弦值为．
20．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝9，Sn+1＝3Sn+9（n∈N*）．
（1）求证：数列{an}是等比数列；
（2）若bn＝lg3an，cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn．
【解答】（1）证明：由题意，可设Sn+1﹣t＝3（Sn+1﹣t），
则Sn+1﹣t＝3（Sn+1﹣t）＝3Sn+1﹣3t，
即Sn+1＝3Sn+1﹣2t，
由Sn+1＝3Sn+9，可得﹣2t＝9，即t，
∴Sn+13（Sn），
∵S1a19，
∴数列{Sn}是以为首项，3为公比的等比数列，
∴Sn•3n﹣1，
∴Sn，n∈N*，
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣13n+1，
∵当n＝1时，a1＝9也满足上式，
∴an＝3n+1＝9•3n﹣1，n∈N*，
∴数列{an}是以9为首项，3为公比的等比数列．
（2）解：由（1）可得，bn＝lg3an＝lg33n+1＝n+1，
cn＝anbn＝（n+1）•3n+1，
则Tn＝c1+c2+•••+cn＝2•32+3•33+4•34+•••+（n+1）•3n+1，
3Tn＝2•33+3•34+•••+n•3n+1+（n+1）•3n+2，
两式相减，
可得﹣2Tn＝2•32+33+34+•••+3n+1﹣（n+1）•3n+2
＝2•32（n+1）•3n+2
•3n+2+2•32﹣（）•33
18
．
∴Tn•3n+2．
21．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，D，E分别为BC，AC的中点，△PBC为正三角形，平面PBC⊥平面ABC．
（1）求点B到平面PAC的距离；
（2）在线段PC上是否存在异于端点的点M，使得平面CPAC和平面MDE夹角的余弦值为？若存在，确定点M的位置；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）连接PD，∵△PBC是正三角形，又D为BC中点，
∴PD⊥BC，
∵平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC＝BC，PD⊂平面PBC，
∴PD⊥平面ABC，又DB，DE⊂平面ABC，∴PD⊥DB，PD⊥DE，
∵∠ABC＝90°，D，E分别为BC，AC的中点，
∴DE∥AB，AB⊥BC，∴BC⊥DE，
如图，以D为坐标原点，DB，DE，DP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
∵AB＝BC＝4，则D（0，0，0），B（2，0，0），C（﹣2，0，0），A（2，4，0），P（0，0，2），E（0，2，0），
设平面PAC的法向量（x，y，z），
∵（﹣2，0，﹣2），（﹣4，﹣4，0），
则，取z＝1，得（，，1），
∵（2，0，﹣2），
∴点B到平面PAC的距离d．
（2）由（1）知（，1）是平面PAC的一个法向量，
由题可设，且λ∈（0，1），则λ（﹣2，0，﹣2）＝（﹣2λ，0，﹣2），
∴（0，0，2）+（﹣2）＝（﹣2λ，0，2），
设平面MDE的法向量为（a，b，c），
∵（0，2，0），
∴，取c＝λ，则（），
∵平面CPAC和平面MDE夹角的余弦值为，
∴|cs|，
解得或λ＝1，
∴存在点M，使得平面PAC和平面MDE夹角的余弦值为，此时M为PC的中点．
22．（12分）已知椭圆上的点到两个焦点的距离之和为．短轴的两个顶点和两个焦点连接成的四边形为正方形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点A，B为椭圆C上的两点，O为坐标原点，，求的取值范围．
【解答】解：（1）由题意可得2a＝4，2b＝2c，
又因为椭圆中a2＝b2+c2，所以a＝2，b＝2，c＝2，
故椭圆C的方程为1．
（2）当直线AB斜率存在时，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB方程为y＝kx+m，
联立，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8＝0，
Δ＝16k2m2﹣41+2k2）（2m2﹣8）＞0，即8k2+4＞m2，
所以x1+x2，x1x2，
因为kOA•kOB，所以y1y2x1x2，
又因为y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）＝k2x1x2+km（x1+x2）+m2
＝k2kmm2，
所以，即2k2+3＝m2，
所以x1x2+y1y21，
因为1≤1+2k2，所以﹣1＜﹣11，即﹣11，
当直线AB斜率不存在时，设A（m，n），B（m，﹣n），﹣2m＜2，且m≠0，
所以（），解得2n2＝3m2，
又因为A在椭圆上，则m2+2n2＝8，
所以m2＝2，n2＝3，
所以m2﹣n2＝﹣1，
综上的取值范围为[﹣1，1]．