高三数学（基础+难点）面向量的数量积与平面向量应用试卷

这是一份高三数学（基础+难点）面向量的数量积与平面向量应用试卷，共9页。

1．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝eq \r(10)，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝( )
A．－eq \f(3,2) B．－eq \f(2,3)
C.eq \f(2,3) D.eq \f(3,2)
2．若向量a与b不共线，a·b≠0，且c＝a－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a·a,a·b)))b，则向量a与c的夹角为( )
A．0 B.eq \f(π,6)
C.eq \f(π,3) D.eq \f(π,2)
3．已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，且|AB|＝eq \r(3)，则eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝( )
A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2) C.eq \f(1,4) D．－eq \f(1,4)
4．已知向量a＝(1，1)，2a＋b＝(4，2)，则向量a，b的夹角为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,4) C.eq \f(π,3) D.eq \f(π,2)
5．设A1，A2，A3，A4是平面上给定的4个不同点，则使eq \(MA1,\s\up6(→))＋eq \(MA2,\s\up6(→))＋eq \(MA3,\s\up6(→))＋eq \(MA4,\s\up6(→))＝0成立的点M的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．4
6．若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为( )
A.eq \r(2)－1 B．1 C.eq \r(2) D．2
7．已知两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列命题不正确的是( )
A．e1在e2方向上的射影为csθ
B．eeq \\al(2,1)＝eeq \\al(2,2)
C．(e1＋e2)⊥(e1－e2)
D．e1·e2＝1
8．设向量a与b的夹角为θ，定义a与b的“向量积”：a×b是一个向量，它的模|a×b|＝|a|·|b|·sinθ，若a＝(－eq \r(3)，－1)，b＝(1，eq \r(3))，则|a×b|＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
9．已知两个单位向量e1，e2的夹角为eq \f(π,3)，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________．
10．在平面直角坐标系xOy中，i，j分别是与x轴，y轴平行的单位向量，若直角三角形ABC中，eq \(AB,\s\up6(→))＝i＋j，eq \(AC,\s\up6(→))＝2i＋mj，则实数m＝________．
11．若等边三角形ABC的边长为2eq \r(3)，平面内一点M满足eq \(CM,\s\up6(→))＝eq \f(1,6)eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(CA,\s\up6(→))，则eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))＝________．
12．(13分)已知m，x∈R，向量a＝(x，－m)，b＝((m＋1)x，x)．
(1)当m>0时，若|a|1－m对任意实数x恒成立，求m的取值范围．
13．(12分)已知向量a＝cseq \f(3x,2)，sineq \f(3x,2)，b＝cseq \f(x,2)，－sineq \f(x,2)，且x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
(1)求a·b及|a＋b|的值；
(2)若f(x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－eq \f(3,2)，求λ的值．
平面向量的数量积与平面向量应用
(时间：35分钟 分值：80分)
1．已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是( )
A．a∥b B．a⊥b
C．|a|＝|b| D．a＋b＝a－b
2．对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中为真命题的是( )
A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b
D．若a·b＝a·c，则b＝c
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))等于( )
A．－16 B．－8 C．8 D．16
4． 如图K27－1，在△ABC中，AD⊥AB，eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \a\vs4\al(\r(3)) eq \a\vs4\al(\(BD,\s\up6(→)))，|eq \(AD,\s\up6(→))|＝1，则eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝( )
图K27－1
A．2eq \r(3) B.eq \f(\r(3),2) C.eq \f(\r(3),3) D.eq \r(3)
5．如图K27－2，设E，F分别是Rt△ABC的斜边BC上的两个三等分点，已知AB＝3，AC＝6，则eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＝( )
图K27－2
A．8 B．10 C．11 D．12
6．已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上，满足2eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝0(其中O为坐标原点)，又|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(OA,\s\up6(→))|，则向量eq \(BA,\s\up6(→))在向量eq \(BC,\s\up6(→))方向上的投影为( )
A．1 B．－1 C.eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2)
7．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，设向量m＝(b－c，c－a)，n＝(b，c＋a)，若m⊥n，则角A的大小为( )
A.eq \f(2π,3) B.eq \f(π,3) C.eq \f(π,2) D.eq \f(π,4)
8．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＝－4，则点A的坐标是( )
A．(2，±2) B．(1，±2)
C．(1，2) D．(2，2eq \r(2))
9．已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________．
10．若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为eq \f(1,2)，则α与β的夹角θ的取值范围是________．
11． 已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))的值为________，eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))的最大值为________．
12．(13分)在▱ABCD中，A(1，1)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(6，0)，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P.
(1)若eq \(AD,\s\up6(→))＝(3，5)，求点C的坐标；
(2)当|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(AD,\s\up6(→))|时，求点P的轨迹．
13．(12分) 已知a＝(csx＋sinx，sinx)，b＝(csx－sinx，2csx)．
(1)求证：向量a与向量b不可能平行；
(2)若a·b＝1，且x∈[－π，0]，求x的值．
1．D [解析] eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(AC,\s\up6(→))|cs∠BAC＝|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(AC,\s\up6(→))|·eq \f(|\(AB,\s\up6(→))|2＋|\(AC,\s\up6(→))|2－|\(BC,\s\up6(→))|2,2|\(AB,\s\up6(→))||\(AC,\s\up6(→))|)＝eq \f(3,2).
2．D [解析] ∵a·c＝a·eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(a－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a·a,a·b)))b))
＝a·a－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,a·b)))a·b＝a2－a2＝0，
又a≠0，c≠0，∴a⊥c，∴〈a，c〉＝eq \f(π,2)，故选D.
3．B [解析] 设AB中点为P，
∵|AB|＝eq \r(3)，∴|AP|＝eq \f(\r(3),2).
又|OA|＝1，∴∠AOP＝eq \f(π,3)，
∴∠AOB＝eq \f(2π,3)，
∴eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝|eq \(OA,\s\up6(→))||eq \(OB,\s\up6(→))|cseq \f(2π,3)＝－eq \f(1,2).
4．B [解析] 由a＝(1，1)，2a＋b＝(4，2)，
得b＝(4，2)－2(1，1)＝(2，0)．
设向量a，b的夹角为θ，
则csθ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(2,2\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，∴θ＝eq \f(π,4).
【能力提升】
5．B [解析] 设A1A2中点为P，A3A4中点为Q，则eq \(MA1,\s\up6(→))＋eq \(MA2,\s\up6(→))＝2eq \(MP,\s\up6(→))，eq \(MA3,\s\up6(→))＋eq \(MA4,\s\up6(→))＝2eq \(MQ,\s\up6(→))，
∴2eq \(MP,\s\up6(→))＋2eq \(MQ,\s\up6(→))＝0，即eq \(MP,\s\up6(→))＝－eq \(MQ,\s\up6(→))，∴M为PQ中点，
所以有且只有一个点适合条件．
6．B [解析] |a＋b－c|＝eq \r(（a＋b－c）2)＝eq \r(a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c)，由于a·b＝0，所以上式＝eq \r(3－2c·（a＋b）)，又由于(a－c)·(b－c)≤0，得(a＋b)·c≥c2＝1，所以|a＋b－c|＝eq \r(3－2c·（a＋b）)≤1，故选B.
7．D [解析] ∵|e1|＝1，|e2|＝1，〈e1，e2〉＝θ，
∴e1在e2方向上的射影数量为|e1|csθ＝csθ，
∴A正确；
又eeq \\al(2,1)＝eeq \\al(2,2)＝1，∴B正确；
∵(e1＋e2)·(e1－e2)＝eeq \\al(2,1)－eeq \\al(2,2)＝0，
∴(e1＋e2)⊥(e1－e2)，∴C正确；
∵e1·e2＝|e1||e2|csθ＝csθ，∴D不成立．
8．B [解析] ∵|a|＝|b|＝2，a·b＝－2eq \r(3)，
∴csθ＝eq \f(－2\r(3),2×2)＝－eq \f(\r(3),2).
又θ∈[0，π]，∴sinθ＝eq \f(1,2).∴|a×b|＝2×2×eq \f(1,2)＝2.
9．－6 [解析] ∵〈e1，e2〉＝eq \f(π,3)，|e1|＝1，|e2|＝1，
∴b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)
＝3|e1|2－2e1·e2－8|e1|2＝3－2cseq \f(π,3)－8＝－6.
10．0或－2 [解析] ∵△ABC为直角三角形，
∴当A为直角时，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝(i＋j)·(2i＋mj)＝2＋m＝0⇒m＝－2；
当B为直角时，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))·(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝(i＋j)·[i＋(m－1)j]＝1＋m－1＝0⇒m＝0；
当C为直角时，eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))·(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝(2i＋mj)·[i＋(m－1)j]＝2＋m2－m＝0，此方程无解．
∴实数m＝0或－2.
11．－2 [解析] 以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A，B，C三点的坐标分别为A(－eq \r(3)，0)，B(eq \r(3)，0)，C(0，3)．设M点的坐标为(x，y)，则eq \(CM,\s\up6(→))＝(x，y－3)，eq \(CB,\s\up6(→))＝(eq \r(3)，－3)，eq \(CA,\s\up6(→))＝(－eq \r(3)，－3)．
又eq \(CM,\s\up6(→))＝eq \f(1,6)eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(CA,\s\up6(→))，即(x，y－3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，－\f(5,2)))，
可得Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，所以eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))＝－2.
12．解：(1)|a|2＝x2＋m2，|b|2＝(m＋1)2x2＋x2，
因为|a|0，,m2－4（m＋1）（m－1）－1，,m>\f(2\r(3),3)或meq \f(2\r(3),3).
【难点突破】
13．解：(1)a·b＝cseq \f(3x,2)·cseq \f(x,2)－sineq \f(3x,2)·sineq \f(x,2)＝cs2x.
|a＋b|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(3x,2)＋cs\f(x,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(3x,2)－sin\f(x,2)))\s\up12(2))
＝eq \r(2＋2cs2x)＝2eq \r(cs2x).
∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴csx≥0，
∴|a＋b|＝2csx.
(2)f(x)＝cs2x－4λcsx，即f(x)＝2(csx－λ)2－1－2λ2.
∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴0≤csx≤1.
①当λ1时，当且仅当csx＝1时，f(x)取得最小值1－4λ，由已知得1－4λ＝－eq \f(3,2)，
解得λ＝eq \f(5,8)，这与λ>1相矛盾．
综上所述，λ＝eq \f(1,2)即为所求．
1．B [解析] 本小题主要考查向量的数量积以及性质．解题的突破口为对于模的理解，向量的模平方就等于向量的平方．
因为|a＋b|＝|a－b|⇒(a＋b)2＝(a－b)2⇒a·b＝0，所以a⊥b，答案选B.
2．B [解析] a·b＝0⇒a⊥b，故A错；a2＝b2⇒|a|＝|b|，得不出a＝±b，不要与实数x，y满足|x|＝|y|⇒x＝±y混淆，故C错；a·b＝a·c⇒a·(b－c)＝0，同A知D错，故选B.
3．D [解析] 因为∠C＝90°，所以eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝0，所以eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→)))·eq \(AC,\s\up6(→))＝|eq \(AC,\s\up6(→))|2＋eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))2＝16.
4．D [解析] ∵eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \r(3) eq \(BD,\s\up6(→))，
∴eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \r(3) eq \(BD,\s\up6(→)))·eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \r(3) eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→)).
又∵AB⊥AD，∴eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝0，
∴eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \r(3) eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \r(3)|eq \(BD,\s\up6(→))||eq \(AD,\s\up6(→))|cs∠ADB
＝eq \r(3)|eq \(BD,\s\up6(→))|cs∠ADB＝eq \r(3)|eq \(AD,\s\up6(→))|＝eq \r(3).
【能力提升】
5．B [解析] eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→)))·(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→)))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))
＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))－eq \f(1,9)|eq \(BC,\s\up6(→))|2＋eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))·(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))
＝eq \f(2,9)|eq \(BC,\s\up6(→))|2＝eq \f(2,9)(62＋32)＝10.
6．C [解析] 由2eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))＋(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝0得，eq \(OB,\s\up6(→))＝－eq \(OC,\s\up6(→))，即O，B，C三点共线．
又|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(OA,\s\up6(→))|＝1，故向量eq \(BA,\s\up6(→))在向量eq \(BC,\s\up6(→))方向上的投影为|eq \(BA,\s\up6(→))|cseq \f(π,3)＝eq \f(1,2).
7．B [解析] m·n＝b(b－c)＋c2－a2
＝c2＋b2－a2－bc＝0，
∴csA＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(1,2).∵0