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专题3.2 指数函数（5类必考点）-2023-2024学年高一数学专题突破（北师大版必修第一册）
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这是一份专题3.2 指数函数（5类必考点）-2023-2024学年高一数学专题突破（北师大版必修第一册），文件包含专题32+指数函数5类必考点北师大版必修第一册原卷版docx、专题32+指数函数5类必考点北师大版必修第一册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共44页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \z \t "正文,1"
\l "_Tc118317572" 【考点1：指数函数的概念】 PAGEREF _Tc118317572 \h 1
\l "_Tc118317573" 【考点2：指数函数的图象】 PAGEREF _Tc118317573 \h 1
\l "_Tc118317574" 【考点3：指数函数的定义域与值域】 PAGEREF _Tc118317574 \h 5
\l "_Tc118317575" 【考点4：指数函数的单调性与最值】 PAGEREF _Tc118317575 \h 7
\l "_Tc118317576" 【考点5：指数函数的应用】 PAGEREF _Tc118317576 \h 7
【考点1：指数函数的概念】
【知识点：指数函数的概念】
形如y＝ax(a>0，且a≠1)的函数为指数函数.
1．（2022·山东·淄博职业学院高一阶段练习）下列函数是指数函数的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·江苏常州·高三阶段练习）若p：函数是指数函数，，则q是p的（ ）条件
A．充要条件B．充分不必要
C．必要不充分D．既不充分也不必要
3．（2022·山东·淄博职业学院高一阶段练习）若函数为指数函数，则a的取值范围是________
4．（2022·全国·高一课时练习）若函数（，且）是指数函数，则________．
5．（2022·全国·高一单元测试）已知函数是指数函数，且，则______．
【考点2：指数函数的图象】
【知识点：指数函数的图象】
1．指数函数的图象
2.指数函数图象画法的三个关键点
画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,a))).
3．指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.
由此我们可得到以下规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．
1．（2022·浙江宁波·高一期中）函数的图像（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·广东·高三学业考试）函数（a>0，且a≠1）的图象恒过定点（ ）
A．（0，－3）B．（0，－2）
C．（1，－3）D．（1，－2）
3．（2022·江苏省阜宁中学高一阶段练习）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2020·山东·青岛二中高一期中）已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022·广东·东莞市石龙中学高一期中）已知函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A的坐标满足关于的方程，则的最小值为（ ）
A．9B．24C．4D．6
6．（2022·全国·高一单元测试）函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（ ）
A．，，，B．，，，
C．，，，，D．，，，，
7．（2022·全国·高三专题练习）函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
8．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习（文））函数且的图象可能是（ ）
A．①③B．②④C．④D．①
9．（2022·全国·高一单元测试）在同一坐标系中，函数与函数的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
【考点3：指数函数的定义域与值域】
【知识点：指数函数的定义域与值域】
1．（2022·江苏·涟水县第一中学高三阶段练习）设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·浙江·高一阶段练习）已知集合，若，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·福建省漳州第一中学高三阶段练习）已知集合，，则的所有子集的个数为（ ）
A．15B．16C．31D．32
4．（2019·江苏省新海高级中学高一期中）函数 的值域是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2021·江西景德镇·高一期末）函数的定义域为M，值域为N=[1，2]，下列结论一定正确的是（ ）
A．-1MB．1M
C．MD．M
6．（2022·全国·高一单元测试）函数的定义域为___________
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则_________．
8．（2021·全国·高一专题练习）（1）函数的定义域是____________，值域是____________．
（2）函数的定义域是____________，值域是____________．
9．（2020·内蒙古·北方重工集团第五中学高一阶段练习（文））已知函数的图象经过点其中且则函数的值域是________．
10．（2021·全国·高一课前预习）求下列函数的定义域和值域：
(1)；
(2).
11．（2022·陕西·礼泉县第二中学高三阶段练习（理））已知指数函数的图像经过点.
(1)求的值；
(2)当时，求函数的值域.
【考点4：指数函数的单调性与最值】
【知识点：指数函数的单调性与最值】
(1)比较大小问题：常化为同底或同指，利用指数函数的单调性，图象或1,0等中间量进行比较.
(2)简单的指数方程或不等式的求解问题：解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．
1．（2021·山东·青岛二中高一期中）下列大小关系不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2021·山东·青岛二中高一期中）已知在上是减函数，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·广东·福田外国语高中高三阶段练习）设，，那么是（ ）
A．奇函数且在上是增函数B．偶函数且在上是减函数
C．奇函数且在上是减函数D．偶函数且在上是增函数
4．（2022·山东·淄博职业学院高一阶段练习）下列各组不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2021·天津·高一期末）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．（2022·江苏·连云港市海滨中学高三阶段练习）若函数（且）在上的最大值为4，最小值为m，实数m的值为（ ）
A．B．C．D．或
7．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，（且）在区间上的最大值比最小值大，则a的值可以为（ ）
A．B．2C．D．
8．（2022·四川·南江中学高三阶段练习（文））不等式的解集为______．
9．（2022·上海·高一单元测试）指数函数在区间[0,4]上的最大值与最小值之和为17，则______;
10．（2020·山东省青岛第十九中学高一期中）若函数 对于上任意两个不相等实数 ，不等式恒成立，则实数a的取值范围为______．
11．（2022·北京·牛栏山一中高一阶段练习）写出一个满足函数在上单调递增的值_____________.
12．（河南省豫南九校2020-2021学年高三上学期教学指导卷（二）数学（文）试题）已知实数满足，实数满足．若 是的必要不充分条件，求实数 的取值范围．
13．（2022·全国·高一课时练习）已知函数在区间上的最大值与最小值之和为7．
(1)求a的值；
(2)证明：函数是上的增函数．
14．（2022·全国·高一课时练习）已知函数（且）在上的最大值与最小值之和为20，记．
(1)求a的值；
(2)求证：为定值；
(3)求的值．
【考点5：指数函数的应用】
【知识点：指数函数的应用】
1．（2022·北京房山·高三开学考试）如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为．则下列说法中正确的是（ ）
A．第5个月时，浮萍面积就会超过
B．浮萍每月增加的面积都相等
C．浮萍面积每月的增长率都相等
（注：浮萍面积每月增长率=）
D．若浮萍面积为时所对应的时间分别是，则
2．（2022·全国·高一单元测试）企业在生产中产生的废气要经过净化处理后才可排放，某企业在净化处理废气的过程中污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为（其中，k是正的常数）．如果在前10h消除了20%的污染物，则20h后废气中污染物的含量是未处理前的（ ）
A．40%B．50%C．64%D．81%
3．（2022·云南师大附中高一期中）爱护环境人人有责，如今大气污染成为全球比较严重的问题.企业在生产中产生的废气要经过净化过滤后才可排放，某企业在净化过滤废气的过程中污染物含量（单位：mg/L）与过滤时间（单位：h）间的关系为（其中，是正的常数）.若在前5h的过滤过程中污染物被净化过滤了50%，则废气净化用时10h，废气中污染物含量占未过滤前污染物含量的百分比为___________.
4．（2022·湖南·高一课时练习）随着我国经济的不断发展，2014年年底某偏远地区农民人均年收入为3 000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长，那么2021年年底该地区的农民人均年收入为________元.(精确到个位)(附：1.066≈1.42，1.067≈1.50，1.068≈1.59)
5．（2022·全国·高一课时练习）一种专门占据内存的计算机病毒，能在短时间内感染大量文件，使每个文件都不同程度地加长，造成磁盘空间的严重浪费．这种病毒开机时占据内存2KB，每3分钟后病毒所占内存是原来的2倍．记x分钟后的病毒所占内存为yKB．
（1）y关于x的函数解析式为______；
（2）如果病毒占据内存不超过，时，计算机能够正常使用，则本次开机计算机能正常使用_____分钟．
6．（2022·全国·高一学业考试）某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量与时间之间近似满足如图所示的图象，则y关于t的函数解析式为______；据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于时，治疗疾病有效，则服药一次治疗疾病有效的时间为______h．
7．（2022·湖南·高一课时练习）20世纪60年代，地质考古学家在阿拉斯加的一个洞穴中发现了古人类穿过的草鞋，实验测得那只草鞋的含量大约是现生长同种草的含量的25%，已知的半衰期为5730年，试估计草鞋的编织年代．
8．（2022·湖南·高一课时练习）已知放射性元素氡的半衰期是3.83天，问：
(1)经过7.66天以后，氡元素会全部消失吗？
(2)要经过多少天，剩下的氡元素只有现在的？
(3)质量为的氡经天衰变后其质量为，试用计算器求的值.
9．（2022·湖南·高一课时练习）现有某种细胞1个，该细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，依此规律，若该细胞分裂后，写出得到的细胞个数关于的函数解析式.若细胞总数量超过2048个，则至少要经过几小时的分裂？
10．（2022·湖南·高一课时练习）医学中常用的钴60射线，穿过厚度为1cm的铅板后，强度变为原来的0.568倍，穿过厚度为的铅板后的强度与原来的强度之比为.若铅板厚度为12cm，射线穿过铅板后的强度与原来的强度之比是多少？ 函数
y＝ax(a>0，且a≠1)
0a>1
图象
图象
特征
在x轴上方，过定点(0,1)
当x逐渐增大时，
图象逐渐下降
当x逐渐增大时，
图象逐渐上升
函数
y＝ax(a>0，且a≠1)
0a>1
性
质
定义域
R
值域
(0，＋∞)
函数
y＝ax(a>0，且a≠1)
0a>1
性质
单调性
在R上是减函数
在R上是增函数
函数值变
化规律
当x＝0时，y＝1
当x<0时，y>1；
当x>0时，0当x<0时，00时，y>1
TOC \ "1-3" \h \z \t "正文,1"
\l "_Tc118317572" 【考点1：指数函数的概念】 PAGEREF _Tc118317572 \h 1
\l "_Tc118317573" 【考点2：指数函数的图象】 PAGEREF _Tc118317573 \h 1
\l "_Tc118317574" 【考点3：指数函数的定义域与值域】 PAGEREF _Tc118317574 \h 5
\l "_Tc118317575" 【考点4：指数函数的单调性与最值】 PAGEREF _Tc118317575 \h 7
\l "_Tc118317576" 【考点5：指数函数的应用】 PAGEREF _Tc118317576 \h 7
【考点1：指数函数的概念】
【知识点：指数函数的概念】
形如y＝ax(a>0，且a≠1)的函数为指数函数.
1．（2022·山东·淄博职业学院高一阶段练习）下列函数是指数函数的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·江苏常州·高三阶段练习）若p：函数是指数函数，，则q是p的（ ）条件
A．充要条件B．充分不必要
C．必要不充分D．既不充分也不必要
3．（2022·山东·淄博职业学院高一阶段练习）若函数为指数函数，则a的取值范围是________
4．（2022·全国·高一课时练习）若函数（，且）是指数函数，则________．
5．（2022·全国·高一单元测试）已知函数是指数函数，且，则______．
【考点2：指数函数的图象】
【知识点：指数函数的图象】
1．指数函数的图象
2.指数函数图象画法的三个关键点
画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,a))).
3．指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.
由此我们可得到以下规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．
1．（2022·浙江宁波·高一期中）函数的图像（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·广东·高三学业考试）函数（a>0，且a≠1）的图象恒过定点（ ）
A．（0，－3）B．（0，－2）
C．（1，－3）D．（1，－2）
3．（2022·江苏省阜宁中学高一阶段练习）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2020·山东·青岛二中高一期中）已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022·广东·东莞市石龙中学高一期中）已知函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A的坐标满足关于的方程，则的最小值为（ ）
A．9B．24C．4D．6
6．（2022·全国·高一单元测试）函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（ ）
A．，，，B．，，，
C．，，，，D．，，，，
7．（2022·全国·高三专题练习）函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
8．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习（文））函数且的图象可能是（ ）
A．①③B．②④C．④D．①
9．（2022·全国·高一单元测试）在同一坐标系中，函数与函数的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
【考点3：指数函数的定义域与值域】
【知识点：指数函数的定义域与值域】
1．（2022·江苏·涟水县第一中学高三阶段练习）设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·浙江·高一阶段练习）已知集合，若，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·福建省漳州第一中学高三阶段练习）已知集合，，则的所有子集的个数为（ ）
A．15B．16C．31D．32
4．（2019·江苏省新海高级中学高一期中）函数 的值域是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2021·江西景德镇·高一期末）函数的定义域为M，值域为N=[1，2]，下列结论一定正确的是（ ）
A．-1MB．1M
C．MD．M
6．（2022·全国·高一单元测试）函数的定义域为___________
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则_________．
8．（2021·全国·高一专题练习）（1）函数的定义域是____________，值域是____________．
（2）函数的定义域是____________，值域是____________．
9．（2020·内蒙古·北方重工集团第五中学高一阶段练习（文））已知函数的图象经过点其中且则函数的值域是________．
10．（2021·全国·高一课前预习）求下列函数的定义域和值域：
(1)；
(2).
11．（2022·陕西·礼泉县第二中学高三阶段练习（理））已知指数函数的图像经过点.
(1)求的值；
(2)当时，求函数的值域.
【考点4：指数函数的单调性与最值】
【知识点：指数函数的单调性与最值】
(1)比较大小问题：常化为同底或同指，利用指数函数的单调性，图象或1,0等中间量进行比较.
(2)简单的指数方程或不等式的求解问题：解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．
1．（2021·山东·青岛二中高一期中）下列大小关系不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2021·山东·青岛二中高一期中）已知在上是减函数，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·广东·福田外国语高中高三阶段练习）设，，那么是（ ）
A．奇函数且在上是增函数B．偶函数且在上是减函数
C．奇函数且在上是减函数D．偶函数且在上是增函数
4．（2022·山东·淄博职业学院高一阶段练习）下列各组不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2021·天津·高一期末）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．（2022·江苏·连云港市海滨中学高三阶段练习）若函数（且）在上的最大值为4，最小值为m，实数m的值为（ ）
A．B．C．D．或
7．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，（且）在区间上的最大值比最小值大，则a的值可以为（ ）
A．B．2C．D．
8．（2022·四川·南江中学高三阶段练习（文））不等式的解集为______．
9．（2022·上海·高一单元测试）指数函数在区间[0,4]上的最大值与最小值之和为17，则______;
10．（2020·山东省青岛第十九中学高一期中）若函数 对于上任意两个不相等实数 ，不等式恒成立，则实数a的取值范围为______．
11．（2022·北京·牛栏山一中高一阶段练习）写出一个满足函数在上单调递增的值_____________.
12．（河南省豫南九校2020-2021学年高三上学期教学指导卷（二）数学（文）试题）已知实数满足，实数满足．若 是的必要不充分条件，求实数 的取值范围．
13．（2022·全国·高一课时练习）已知函数在区间上的最大值与最小值之和为7．
(1)求a的值；
(2)证明：函数是上的增函数．
14．（2022·全国·高一课时练习）已知函数（且）在上的最大值与最小值之和为20，记．
(1)求a的值；
(2)求证：为定值；
(3)求的值．
【考点5：指数函数的应用】
【知识点：指数函数的应用】
1．（2022·北京房山·高三开学考试）如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为．则下列说法中正确的是（ ）
A．第5个月时，浮萍面积就会超过
B．浮萍每月增加的面积都相等
C．浮萍面积每月的增长率都相等
（注：浮萍面积每月增长率=）
D．若浮萍面积为时所对应的时间分别是，则
2．（2022·全国·高一单元测试）企业在生产中产生的废气要经过净化处理后才可排放，某企业在净化处理废气的过程中污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为（其中，k是正的常数）．如果在前10h消除了20%的污染物，则20h后废气中污染物的含量是未处理前的（ ）
A．40%B．50%C．64%D．81%
3．（2022·云南师大附中高一期中）爱护环境人人有责，如今大气污染成为全球比较严重的问题.企业在生产中产生的废气要经过净化过滤后才可排放，某企业在净化过滤废气的过程中污染物含量（单位：mg/L）与过滤时间（单位：h）间的关系为（其中，是正的常数）.若在前5h的过滤过程中污染物被净化过滤了50%，则废气净化用时10h，废气中污染物含量占未过滤前污染物含量的百分比为___________.
4．（2022·湖南·高一课时练习）随着我国经济的不断发展，2014年年底某偏远地区农民人均年收入为3 000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长，那么2021年年底该地区的农民人均年收入为________元.(精确到个位)(附：1.066≈1.42，1.067≈1.50，1.068≈1.59)
5．（2022·全国·高一课时练习）一种专门占据内存的计算机病毒，能在短时间内感染大量文件，使每个文件都不同程度地加长，造成磁盘空间的严重浪费．这种病毒开机时占据内存2KB，每3分钟后病毒所占内存是原来的2倍．记x分钟后的病毒所占内存为yKB．
（1）y关于x的函数解析式为______；
（2）如果病毒占据内存不超过，时，计算机能够正常使用，则本次开机计算机能正常使用_____分钟．
6．（2022·全国·高一学业考试）某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量与时间之间近似满足如图所示的图象，则y关于t的函数解析式为______；据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于时，治疗疾病有效，则服药一次治疗疾病有效的时间为______h．
7．（2022·湖南·高一课时练习）20世纪60年代，地质考古学家在阿拉斯加的一个洞穴中发现了古人类穿过的草鞋，实验测得那只草鞋的含量大约是现生长同种草的含量的25%，已知的半衰期为5730年，试估计草鞋的编织年代．
8．（2022·湖南·高一课时练习）已知放射性元素氡的半衰期是3.83天，问：
(1)经过7.66天以后，氡元素会全部消失吗？
(2)要经过多少天，剩下的氡元素只有现在的？
(3)质量为的氡经天衰变后其质量为，试用计算器求的值.
9．（2022·湖南·高一课时练习）现有某种细胞1个，该细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，依此规律，若该细胞分裂后，写出得到的细胞个数关于的函数解析式.若细胞总数量超过2048个，则至少要经过几小时的分裂？
10．（2022·湖南·高一课时练习）医学中常用的钴60射线，穿过厚度为1cm的铅板后，强度变为原来的0.568倍，穿过厚度为的铅板后的强度与原来的强度之比为.若铅板厚度为12cm，射线穿过铅板后的强度与原来的强度之比是多少？ 函数
y＝ax(a>0，且a≠1)
0
图象
图象
特征
在x轴上方，过定点(0,1)
当x逐渐增大时，
图象逐渐下降
当x逐渐增大时，
图象逐渐上升
函数
y＝ax(a>0，且a≠1)
0
性
质
定义域
R
值域
(0，＋∞)
函数
y＝ax(a>0，且a≠1)
0
性质
单调性
在R上是减函数
在R上是增函数
函数值变
化规律
当x＝0时，y＝1
当x<0时，y>1；
当x>0时，0
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