四川省岳池中学2023届高三上学期10月月考理科数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省岳池中学2023届高三上学期10月月考理科数学试题（Word版附解析），共19页。试卷主要包含了 已知,,且,则的最小值是， 函数的最大值为等内容，欢迎下载使用。
一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在复平面内，复数，则对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】根据共轭复数的定义可得，再结合复数的几何意义即可求解.
【详解】因为，所以，即对应的点为，位于第三象限.
故选：C.
2. 已知集合,且,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】画图，按照真子集的定义分析即可
【详解】由题知
又,所以实数的取值范围为
故选：A
3. 在 中， ， ， 分别是角 ， ， 对边，若 ， ， 成等比数列， ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意知 成等比数列化简得，再由余弦定理，即可求解．
【详解】由题意知 成等比数列得 ，代入，
所以，
由余弦定理得，故选A．
【点睛】本题主要考查了等比数列的性质，及余弦定理的应用问题，其中解答中根据等比数列的性质求解，再利用余弦定理求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
4. 已知等比数列的公比为,且,,则（ ）
A. 3B. 2C. 3或-2D. 3或-3
【答案】D
【解析】
【分析】列出方程解出首项和公比即可
【详解】由题知,解得或
所以
故选：D
5. 函数的图象为，下列结论中正确的是
A. 图象C关于直线对称
B. 图象C关于点（）对称
C. 函数在区间内是增函数
D. 由的图象向右平移个单位长度可以得到图象
【答案】C
【解析】
【分析】根据正弦型函数的基本性质逐项分析即可
【详解】因为,不是最大值或最小值,故选项A不正确
,故选项B不正确
令,得函数的增区间
当时,在区间单调递增,故选项C正确
的图象向右平移个单位长度可以得到函数,故选项D不正确
故选 ：C
6. 已知,,且,则的最小值是( )
A. 8B. 7C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用基本不等式求解
【详解】
当且仅当,即取等
所以的最小值是
故选：C
7. 设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知函数为偶函数，把，转化为同一个单调区间上，再比较大小．
【详解】是R的偶函数，．
，
又在(0，+∞)单调递减，
∴，
，故选C．
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．
8. 在△ABC中，csC=，AC=4，BC=3，则tanB=（ ）
A. B. 2C. 4D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】先根据余弦定理求，再根据余弦定理求，最后根据同角三角函数关系求
【详解】设
故选：C
【点睛】本题考查余弦定理以及同角三角函数关系，考查基本分析求解能力，属基础题.
9. 下列条件是“过点可以作两条与曲线相切的直线”的充分条件的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】画出草图，结合图像分析即可
【详解】
由题知点在直线上运动,与的交点为,由图像可知.
要使过点有两条与曲线相切直线,则点只需要在点的右侧
结合选项可知为其充分条件
故选:C.
10. 函数的最大值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】化简得，令，则，令，根据二次函数的性质即可求解.
【详解】
，
令，则，
令，其开口向下，对称轴，
所以在上单调递增，
所以当，即时，函数有最大值3.
故选：B.
11. 如图,在棱长为1的正四面体中,是四面体的中心,平面平面ABC,设,三棱锥的体积为,其导函数的图象大致为
( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】通过分析函数的单调性来分析导函数的正负即可
【详解】当点从到的过程为底面积一直再增大,高先减少再增大,当底面经过点时,高为0,所以体积先增大,后减少,再增大,故先正再负再正.
故选：A
12. 已知点是圆上任意一点，，则（ ）
A. 的最大值是B. 的最小值是
C. 的最小值是D. 的最大值是
【答案】B
【解析】
【分析】利用三角换元的思想，结合三角函数最值的求法对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】圆的方程可化为，
设，且， 且，
则，
当，时，取得最大值，故A错误；
，
所以当时，取得最小值，故B正确；
，
所以当时，取得最小值，故C错误；
，
所以当时，取得最大值，故D错误.
故选：B
【点睛】利用三角换元的思想来求最值，是一个很好的方法.在圆的标准方程可转化为，类比，可以得到，则可进行三角换元如下：.
二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 函数最小正周期是__________.
【答案】
【解析】
【分析】化简，求出的最小正周期，即可求出函数的最小正周期.
【详解】因为，
因为的最小正周期为，
所以函数最小正周期为.
故答案为：.
14. 设的内角的对边分别为，且则________________
【答案】
【解析】
【详解】由得由正弦定理得由余弦定理得
则
【考点定位】利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值本题的突破点，然后利用正弦定理建立已知和未知之间的关系．同时要求学生牢记特殊角的三角函数值
15. 三棱锥，则点P到底面的距离为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】把三棱锥放入球中分析即可
【详解】
如图,因为,所以可以把三棱锥放入一个球中,其中为球心,为外接圆圆心,则到底面ABC的距离即为OP的长.
在中由正弦定理得,所以
所以
故答案为:
16. 已知集合,任意的,使不等式恒成立,则的取值范围 ___________.
【答案】
【解析】
【分析】转换为关于的函数求解
【详解】由题知,不等式即
设,则在上恒成立
因为为一次函数,所以只需,即
所以或
所以的取值范围为
故答案为：
三､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知等差数列满足，且.
（1）求数列的通项公式：
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）首先根据已知条件列方程求出，再根据等差数列通项公式求即得；
（2）由题可得，再利用裂项相消法求和即得.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，
∵，则由，得，
解得，
所以；
【小问2详解】
由题可得，
所以
.
18. 如图，四棱锥中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，，E为PC中点．
（1）求证：DE⊥平面PCB；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件先证BC⊥平面PCD，得到BC⊥DE，再由DEPC，即可证明DE⊥平面PCB.
（2）以点D为坐标原点，分别以直线DA，DC，DP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面BDE，平面PDB的法向量，即可求得二面角的余弦值.
【小问1详解】
证明:PD⊥平面ABCD，
∴PD⊥BC，
又∵正方形ABCD中，CDBC，PDCD＝D，
∴BC⊥平面PCD，
又∵DE平面PCD，
∴BC⊥DE，
∵PD＝CD，E是PC的中点，DEPC，PCBC＝C，
且面，面
∴DE⊥平面PCB
【小问2详解】
以点D为坐标原点，分别以直线DA，DC，DP为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意知：
则，
设平面BDE的法向量为，
则，
令，得到，
又，则，且AC⊥平面PDB，
∴平面PDB的一个法向量为，
设二面角的平面角为，
则，
所以二面角的余弦值为．
19. 2019年5月5日6时许,桂林市雁山区一出租房发生一起重大火灾,事故发生后,附近消防员及时赶到,控制住火情,将灾难损失降到了最低．某保险公司统计的数据表明:居民住宅区到最近消防站的距离(单位:千米)和火灾所造成的损失数额(单位:千元)有如下的统计资料:
如果统计资料表明与有线性相关关系,试求(解答过程中,各种数据都精确到0.01)
(1)相关系数;
(2)线性回归方程;
(3)若发生火灾的某居民区与最近的消防站相距10.0千米,评估一下火灾的损失．
参考数据:,,,
参考公式:相关系数
回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:,．
【答案】(1) (2)(7.32或7.33均给分)(3)(63.52或63.53均给分)
【解析】
分析】(1)根据相关系数公式可计算出相关系数;
(2)由题中数据计算出的均值,计算出回归方程的系数,得回归方程;
(3)把代入回归方程可得预估值．
【详解】(1)
(2)依题意得
,
所以,
又因为(7.32,7.33均给分)
故线性回归方程为(7.32或7.33均给分)
(3)当时,根据回归方程有:(63.52或63.53均给分)
20. 已知双曲线为坐标原点,离心率,点在双曲线上
（1）求双曲线的方程;
（2）如图,若斜率为的直线过双曲线的左焦点,分别交双曲线于两点,求的值,并求出外接圆的方程
【答案】（1）
（2）,
【解析】
分析】（1）根据条件列方程即可
（2）设直线方程与双曲线联立，再运用韦达定理即可求出，由OP,OQ垂直，知PQ为外接圆直径，即可求出外接圆方程.
【小问1详解】
由题知,解得
所以双曲线的方程为:
【小问2详解】
直线,设
联立,得
所以
所以外接圆圆心为
直径为,即半径
所以外接圆的方程为
21. 设函数.
（1）若，求证：；
（2）设函数，直线与曲线及都相切，且与切点的横坐标为，求证：.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先变形再构造函数证明
（2）分别求切线方程，然后对应系数相等建立方程组即可
【小问1详解】
若,即证,即证
设
恒成立
令,得
当单调递增
当单调递减
所以为的极大值,也是最大值
所以
所以
即,有
【小问2详解】
设直线与曲线相切于点
,所以斜率
方程为
,所以斜率
方程为
所以,即
因为,所以
为函数的零点
由于,所以在上单调递增
即在上存在唯一零点
所以
【点睛】方法点睛：对于含有的不等式证明，通常可以运用“指数找基友”的方法.
二选一：
22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为．
（1）求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；
（2）若直线过点且与直线l平行，直线交曲线C于A，B两点，求的值．
【答案】（1），
（2）2
【解析】
【分析】（1）利用三角消参即可求出曲线C的普通方程；由即可求出直线l的直角坐标方程；（2）利用直线参方形式中的“t的几何意义”即可求解
【小问1详解】
因为曲线C的参数方程为，（θ为参数），
所以曲线C的普通方程为．
由，得，即，
因为，，所以直线l的直角坐标方程为．
【小问2详解】
因为直线l的斜率为，所以l的倾斜角为，
所以过点且与直线l平行的直线的方程可设为（t为参数）．
设点A，B对应的参数分别为，，将代入，可得，整理得，则，，，
所以．
23. 已知函数．
（1）解不等式；
（2）设函数的最小值为，若正数，，满足，证明：．
【答案】（1）；
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）分，，三种情况讨论解不等式，最后再取并集即可；
（2）先由绝对值三角不等式求出，再由结合基本不等式求解即可.
【小问1详解】
当时，，由可得，则；
当时，，由可得显然成立，则；
当时，，由可得，则；
综上：不等式的解集为；
【小问2详解】
，当且仅当即时取等，，则，
又，，均为正数，则距消防站距离(千米)
1.8
2.6
3.1
4.3
5.5
6.1
火灾损失费用(千元)
17.8
19.6
27.5
31.3
36.0
43.2