04平面向量-福建省2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教A版,2019新版）

这是一份04平面向量-福建省2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教A版,2019新版），共36页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2022上·福建宁德·高三校考期末）如图，在中，，以为直径的半圆上有一点M，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2022上·福建三明·高三统考期末）已知△ABC中，，，点O是△ABC的外心，则（ ）
A．－B．－C．D．
3．（2019上·福建厦门·高三统考期末）长江某地南北两岸平行，一艘游船南岸码头出发航行到北岸.假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为.设和的夹角为，北岸的点在的正北方向，则游船正好到达处时，（ ）
A．B．C．D．
4．（2019上·福建三明·高三统考期末）已知向量，满足，，，则，的夹角为（ ）
A．B．C．D．
5．（2018上·福建福州·高三校考期末）在△ABC中，点D满足BD＝BC，当E点在线段AD上移动时，若，则的最小值是( )
A．B．C．D．
6．（2019上·福建莆田·高三校考期末）已知向量，的值为（ ）
A．B．C．D．
7．（2021上·福建三明·高三统考期末）设非零向量，的夹角为.若，且，则等于（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
8．（2020上·福建三明·高三统考期末）已知向量，的夹角为，且，，则（ ）
A．B．C．D．
9．（2020上·福建龙岩·高三统考期末）如图所示，已知在中，，，交于点，若，则（ ）
A．B．
C．D．
10．（2020上·福建厦门·高三统考期末）在边长为2的菱形中，，则（ ）
A．1B．C．3D．
11．（2020上·福建莆田·高三校联考期末）在梯形中，，，，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．0
12．（2020上·福建龙岩·高三统考期末）已知向量，满足，，且与的夹角为，则（ ）
A．B．2C．D．4
13．（2020上·福建福州·高三统考期末）已知向量,则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．充要条件
C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件
14．（2020·福建宁德·高三统考期末）设向量满足，则（ ）
A．B．C．D．
15．（2019上·福建三明·高三统考期末）已知等边三角形的边长为3，若上一点满足，则当取最小值时，
A．B．C．D．7
16．（2019上·福建厦门·高三校联考期末）在中，，，为的中点，则
A．B．C．D．5
二、多选题
17．（2022上·福建福州·高三统考期末）已知向量，，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
18．（2022上·福建宁德·高三校考期末）已知向量，满足，，，则 .
19．（2022上·福建福州·高三校考期末）设，为单位向量，且，则 .
20．（2021上·福建莆田·高三莆田二中校考期末）设平面上的向量、、、满足关系，，又设与的模均为且互相垂直，则与的夹角余弦值的取值范围为 .
21．（2020上·福建龙岩·高三统考期末）设，向量，，且，则 .
22．（2020上·福建莆田·高三校联考期末）若向量和垂直，则 .
23．（2020上·福建莆田·高三校联考期末）在锐角中，角所对的边分别为，点为外接圆的圆心，，且，则的最大值为 .
24．（2020上·福建福州·高三统考期末）已知向量满足，与的夹角为，则 ．
四、证明题
25．（2019上·福建三明·高三统考期末）已知是圆：上的动点，设在轴上的射影为，动点满足，的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）圆及曲线与轴的四个交点，自上而下记为，，，，直线，与轴分别交于，（为相异两点），直线与的另一个交点为，求证：，，三点共线.
参考答案：
1．A
【分析】以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系. ,得出以为直径的圆的方程，根据向量坐标用表示出的坐标，代入圆的方程可得答案.
【详解】以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系.
则，
则以为直径的圆的圆心为的中点.
则以为直径的圆的方程为：
则
，所以
由点在圆上，可得
即，解得或（舍）
故选：A
2．C
【分析】由△ABC为等腰直角三角形，得出，结合数量积公式计算即可.
【详解】，即△ABC为等腰直角三角形，即
点O是△ABC的外心，点O是的中点
故选：C
3．D
【分析】设船的实际速度为，根据题意作图，设与南岸上游的夹角为，由题意可得的值，再计算的值即可.
【详解】设船的实际速度为，与南岸上游的夹角为，如图所示，
要使得游船正好到达处，则，即，
又因为，所以，
故选：D.

4．D
【分析】把平方求出，再由数量积定义求得夹角的余弦值，得夹角．
【详解】，，
因为，
所以与的夹角为.
故选：D
5．C
【分析】设，利用向量线性运算可得，，利用二次函数求最值即可.
【详解】如图，
存在实数使得 ，，
所以，
所以 ，
原式 ，
当时，函数取得最小值，
故选：C
6．D
【分析】直接进行数量积的坐标运算即可.
【详解】因为，
所以.
故选：D
7．B
【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量数量积的定义，求得csθ的值，可得θ的值.
【详解】解：∵非零向量，的夹角为θ，
若，且，
∴
，
解得，∴θ=60°，
故选：B.
8．A
【解析】根据平面向量数量积的运算律首先求得，进而得到结果.
【详解】
故选：
【点睛】本题考查平面向量模长的求解问题，关键是能够根据数量积的运算律首先求得模长的平方，进而得到结果.
9．B
【解析】设，利用向量加法的三角形法则以及减法的几何意义可得，从而可得，再根据三点共线，可得，解得，即可求出
【详解】设，
，，
，
，
三点共线，，解得，
，，
.
故选：B
【点睛】本题考查了向量加法、减法以及向量共线定理的推论，考查了学生基本知识的应用能力，属于基础题.
10．C
【解析】建立直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积坐标表示得结果.
【详解】以AC,BD所在直线为x,y轴建立直角坐标系，
则
；
故选：C
【点睛】本题考查向量数量积坐标表示，考查基本分析求解能力，属基础题.
11．D
【解析】由直角三角形的性质得出，由向量的加减法得出，再由向量的数量积公式求解即可.
【详解】在中，，，则
故选：D
【点睛】本题主要考查了向量的数量积公式，涉及了向量的三角形法则，属于中档题.
12．C
【解析】根据模长性质先求，转化为向量数量积运算，即可求解.
【详解】,
.
故选:C
【点睛】本题考查向量的模长及向量的数量积运算，属于基础题.
13．A
【解析】先算出，再利用向量平行的坐标运算得出的值，即可判断.
【详解】，，
，
，
.
因此“”是“”的充分不必要条件.
故选：.
【点睛】本题主要考查的是充分不必要条件的判断，涉及向量平行的坐标运算，属基础题.
14．C
【解析】将两式分别平方再相减即可.
【详解】由题,故,,两式相减有.
故.
故选：C
【点睛】本题主要考查了向量模长的运用,一般将两边平方进行化简,属于基础题型.
15．B
【分析】由条件可知x＞0，y＞0，并可得出x+2y＝1，利用均值不等式可知y＝x=时有最小值，
结合即可得到结果.
【详解】解：由题意可知，x＞0，y＞0；
∵M，A，B三点共线，且；
∴x+＝1；
∴
≥5+2=9，当，即y＝x=时取“＝”，即取最小值；
，
即
故选B．
【点睛】本题考查向量加法的平行四边形法则，三点A，B，C共线的充要条件：，且x+y＝1，基本不等式的运用，注意基本不等式等号成立的条件，向量数量积的运算及计算公式．
16．B
【分析】根据平面向量的基本定理，求得，代入计算，即可求解.
【详解】由题意，如图所示，根据平面向量的基本定理和数量积的运算，
可得，故选B.

【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算，以及平面向量的基本定理的应用，其中解答中利用平面向量的基本定理，转化为向量和是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
17．BCD
【分析】首先解方程组求得，根据向量平行与垂直的坐标表示、向量模长和夹角的坐标运算依次验证各个选项即可.
【详解】由得：
对于A，，，即与不平行，A错误；
对于B，，，，B正确；
对于C，，，，C正确；
对于D，，，
，即，D正确.
故选：BCD.
18．
【分析】先根据条件求出的坐标，再根据列方程求解.
【详解】，,
,
又，
，
得，
故答案为：.
19．
【分析】根据，是单位向量以及，求出的值，通过求解即可得到的值.
【详解】解：由题意，，为单位向量，且
∴
解得：
∵
∴
故答案为：.
20．
【分析】由已知条件求得，利用平面向量的数量积计算得出，利用对勾函数的单调性可求得结果.
【详解】因为，可得，
因为且，
所以，，
，，
所以，
，
因为函数在上单调递增，当时，，则，
所以，.
故答案为：.
21．
【解析】利用向量垂直数量积为，求出，然后将平方即可求解.
【详解】由向量，，且，
所以，解得，
则
所以，
故答案为：
【点睛】本题考查了向量数量积的坐标表示以及向量的坐标求向量的模，属于基础题.
22．5；
【解析】由向量垂直得出，再由向量模长的坐标公式求解即可.
【详解】向量和垂直，则，解得：
则，，故答案为：5
【点睛】本题主要考查了已知向量垂直求参数以及模长的求解，属于基础题.
23．
【解析】首先变形，得到，两边平方后，得到，最后利用基本不等式求的最大值
【详解】是锐角三角形，在的内部，


，
两边平方后
,
，且，


，
，
设，
，解得：（舍）或 ，
即，
的最大值是.
故答案为：
【点睛】本题考查向量加，减和数量积运算的综合问题，意在考查转化与化归的思想和计算能力，本题的关键的关键转化是，整理后得到，然后再两边平方求的最大值.
24．
【解析】根据平面向量数量积公式求解即可.
【详解】易得.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了平面向量数量积公式,属于基础题型.
25．（1）；（2）见解析.
【详解】
（1）设，则，所以，
故的轨迹的方程为：，它是焦点在轴上的椭圆.
（2）设，则，故，同理.
设（），则，
由可得，故，所以.
又，而，
要证三点共线，即证：，
也就是即证：，即证：，
即证：①.
因为在圆上，故即，所以①成立.
故三点共线.
【点睛】本题考查动点的轨迹以及椭圆中的三点共线，求动点的轨迹，一般先考虑动点是否满足曲线的定义，再考虑用动点转移的方法，而证明三点共线，可用共线向量定理来考虑，本题属于难题.