适用于新高考新教材广西专版2024届高考数学二轮总复习专题突破练4利用导数研究函数的单调性极值与最值

这是一份适用于新高考新教材广西专版2024届高考数学二轮总复习专题突破练4利用导数研究函数的单调性极值与最值，共6页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若函数f(x)=(x-a)3-3x+b的极大值是M,极小值是m,则M-m的值( )
A.与a有关,且与b有关
B.与a有关,且与b无关
C.与a无关,且与b无关
D.与a无关,且与b有关
2.若函数f(x)=x2-ax+ln x在区间(1,e)内单调递增,则实数a的取值范围是( )
A.[3,+∞)B.(-∞,3]
C.[3,e2+1]D.[-e2+1,3]
3.已知函数f(x)=,则下列关于函数f(x)的说法正确的是( )
A.在区间(-∞,+∞)内单调递增
B.在区间(-∞,1)内单调递减
C.有极大值,无极小值
D.有极小值,无极大值
4.已知直线y=kx(k>0)和曲线f(x)=x-aln x(a≠0)相切,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,0)∪(0,e)B.(0,e)
C.(0,1)∪(1,e)D.(-∞,0)∪(1,e)
5.(2023·河北保定检测)若函数f(x)=-axex有两个极值点,则实数a的取值范围为( )
A.(-∞,-)B.(-,0)
C.(,+∞)D.(0,)
6.已知P是曲线y=-sin x(x∈[0,π])上的动点,点Q在直线x-2y-6=0上运动,则当|PQ|取最小值时,点P的横坐标为( )
A.B.C.D.
7.已知a=,b=cs,c=4sin,则( )
A.c>b>aB.b>a>c
C.a>b>cD.a>c>b
二、多项选择题
8.已知函数f(x)=x3-3ln x-1,则( )
A.f(x)的极大值为0
B.曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线为x轴
C.f(x)的最小值为0
D.f(x)在定义域内单调
9.(2023·浙江绍兴高三期末)已知定义域为R的函数f(x)的导数为f'(x),若f(1)=1,且0A.f()>B.f(2)<2
C.2f(-)>f(-)D.f()f(2)<
10.(2022·新高考Ⅱ,9)已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象关于点对称,则( )
A.f(x)在单调递减
B.f(x)在有两个极值点
C.直线x=是曲线y=f(x)的一条对称轴
D.直线y=-x是曲线y=f(x)的一条切线
三、填空题
11.(2023·山东东营胜利一中校考)若函数f(x)=x3-3x在区间(a2-6,a)内有最大值,则实数a的取值范围是 .
12.试写出实数a的一个取值范围 ,使函数f(x)=有极值.
13.(2022·新高考Ⅰ,15)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是 .
四、解答题
14.(2023·河南周口模拟)已知函数f(x)=x3-ax2+(a2-1)x+b(a,b∈R),其图象在点(1,f(1))处的切线方程为x+y-3=0.
(1)求a,b的值;
(2)求函数f(x)的单调区间和极值;
(3)求函数f(x)在区间[-2,5]上的最值.
15.已知函数f(x)=aex-x-1(a∈R),g(x)=x2.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)当a>0时,若曲线C1:y1=f(x)+x+1与曲线C2:y2=g(x)存在唯一的公切线,求实数a的值.
16.已知f(x)=a2ln x-ax2-(a2-a)x(a≠0).
(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围.
专题突破练4 利用导数研究函数的单调性、极值与最值
一、单项选择题
1.C 解析 因为f(x)=(x-a)3-3x+b,所以f'(x)=3(x-a)2-3,令f'(x)=3(x-a)2-3=0,得x=a-1或x=a+1,判断可得函数的极大值M=f(a-1)=-1-3(a-1)+b=2-3a+b,极小值m=f(a+1)=1-3(a+1)+b=-2-3a+b,因此M-m=4.故选C.
2.B 解析 依题意f'(x)=2x-a+0在区间(1,e)内恒成立,即a≤2x+在区间(1,e)内恒成立,令g(x)=2x+(10,所以g(x)在区间(1,e)内单调递增,而g(1)=3,所以a≤3,即实数a的取值范围是(-∞,3].故选B.
3.C 解析 由题意得函数f(x)的定义域为R,f'(x)=令f'(x)=0,得x=1,当x<1时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x>1时,f'(x)<0,f(x)单调递减,故f(1)是函数f(x)的极大值,也是最大值,且f(1)=,函数f(x)无极小值.故选C.
4.A 解析 设直线y=kx(k>0)与曲线f(x)=x-alnx(a≠0)相切于点P(x0,x0-alnx0)(x0>0).
由题意得,f'(x)=1-,则以P为切点的切线方程为y-x0+alnx0=(1-)(x-x0),因为该切线过原点,所以-x0+alnx0=(1-)(-x0),因此lnx0=1,即x0=e,所以k=1->0,得a5.C 解析 f'(x)=-aex-axex=(ex-2ax-2a),因为f(x)有两个极值点,所以ex-2ax-2a=0有两个根,即y=ex和y=2a(x+1)的图象有两个交点,画出图象,如图.
显然a≠0.若a<0,函数y=ex和y=2a(x+1)的图象只有1个交点,不合题意;若a>0,设直线y=2a(x+1)和y=ex相切于点(x0,),则解得x0=0,故切点是(0,1),分析知,当2a>1时,函数y=ex和y=2a(x+1)的图象有两个交点,解得a>故实数a的取值范围为(,+∞).
6.C 解析 如图所示,要使|PQ|取得最小值,则曲线y=-sinx(x∈[0,π])在点P处的切线与直线x-2y-6=0平行,对函数y=-sinx求导得y'=-csx,令y'=,可得csx=-,由于0≤x≤π,所以x=故选C.
7.A 解析 因为=4tan,当x∈(0,)时,sinx1,所以c>b;设f(x)=csx+x2-1,则f'(x)=-sinx+x,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,所以f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,则f))>f(0)=0,所以cs>0,所以b>a,所以c>b>a.
二、多项选择题
8.BC 解析 函数f(x)=x3-3lnx-1的定义域为(0,+∞),f'(x)=3x2-(x3-1).
令f'(x)=(x3-1)=0,得x=1,列表得:
所以f(x)的极小值,也是最小值为f(1)=0,无极大值,在定义域内不单调,故C正确,A,D错误;
对于B,由f(1)=0及f'(1)=0,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-0=0(x-1),即y=0,故B正确,故选BC.
9.AC 解析 构造函数g(x)=,则g'(x)=<0,所以g(x)=在R上是减函数.所以,所以f>,所以A正确;,于是f(2),f(2)10.AD 解析 由题意得,f()=sin(+φ)=0,所以+φ=kπ,k∈Z,即φ=-+kπ,k∈Z.
又0<φ<π,所以k=2,φ=
故f(x)=sin(2x+).
选项A,当x∈(0,)时,2x+(),所以f(x)在区间(0,)内单调递减,故选项A正确;
选项B,当x∈(-)时,2x+(),
由函数f(x)的图象(图略),易知y=f(x)只有一个极值点,由2x+,可得极值点为x=,故选项B错误;
选项C,当x=时,2x+=3π,f()=0,所以直线x=不是曲线y=f(x)的对称轴,故选项C错误;
选项D,结合该选项,若f'(x)=2cs(2x+)=-1,得cs(2x+)=-,解得2x++2kπ或2x++2kπ,k∈Z,从而得x=kπ或x=+kπ,k∈Z,当x=kπ(k∈Z)时,f(x)=,则由-kπ(k∈Z),得k=0;当x=+kπ(k∈Z)时,f(x)=-,则--kπ(k∈Z),无解.所以函数y=f(x)的图象在点(0,)处的切线斜率为y'|x=0=2cs=-1,切线方程为y-=-(x-0),即y=-x,故选项D正确.故选AD.
三、填空题
11.(-1,2] 解析 由题意,得f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1).
由f'(x)>0,得x<-1或x>1,则f(x)在区间(-∞,-1)和(1,+∞)内单调递增,
由f'(x)<0,得-1所以解得-1故实数a的取值范围为(-1,2].
12.(-)(答案不唯一) 解析 f(x)=的定义域为R,f'(x)=,由于函数f(x)=有极值,所以f'(x)=有变号零点,因此由csx-sinx+a=0,即a=sinx-csx=sin(x-),可得a∈(-),答案只要为(-)的子集都可以.
13.(-∞,-4)∪(0,+∞) 解析 由题意可得,y'=ex+(x+a)ex=(1+x+a)ex.
设切点为(x0,(x0+a)),则切线方程为y-(x0+a)=(1+x0+a)(x-x0).
又切线过原点,∴-(x0+a)=-x0(1+x0+a),整理得+ax0-a=0.
∵曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,+ax0-a=0有2个不同实数解,
∴Δ=a2+4a>0,解得a>0或a<-4.
故a的取值范围是(-∞,-4)∪(0,+∞).
四、解答题
14.解 (1)由题意得,f'(x)=x2-2ax+a2-1,f'(1)=1-2a+a2-1=a2-2a,f(1)=-a+a2-1+b=a2-a+b-,
又图象在点(1,f(1))处的切线方程为x+y-3=0,所以
解得
(2)由(1)得f(x)=x3-x2+,f'(x)=x2-2x=x(x-2),
当x<0或x>2时,f'(x)>0,当0所以f(x)的单调递增区间是(-∞,0)和(2,+∞),单调递减区间是(0,2),
极大值是f(0)=,极小值是f(2)=
(3)由(2)知f(x)在区间[-2,0]和[2,5]上单调递增,在区间(0,2)内单调递减,
又f(-2)=-4,f(5)=,
所以f(x)在区间[-2,5]上的最大值是,最小值是-4.
15.解 (1)f'(x)=aex-1.
当a≤0时,f'(x)<0恒成立,f(x)在区间(-∞,+∞)内单调递减.
当a>0时,由f'(x)=0,得x=-lna.
当x<-lna时,f'(x)<0,f(x)单调递减;
当x>-lna时,f'(x)>0,f(x)单调递增.
综上,当a≤0时,f(x)在区间(-∞,+∞)内单调递减;
当a>0时,f(x)在区间(-∞,-lna)内单调递减,在区间(-lna,+∞)内单调递增.
(2)因为曲线C1:y1=aex与曲线C2:y2=x2存在唯一的公切线,设该公切线与曲线C1,C2分别切于点(x1,a),(x2,),显然x1≠x2.
由于y1'=aex,y2'=2x,所以a=2x2=,
因此2x2x1-2=a=2x2-,所以2x1x2-=2x2,即x2=2x1-2.
由于a>0,故x2>0,从而x2=2x1-2>0,因此x1>1.
此时a=(x1>1).
设F(x)=(x>1),则问题等价于当x>1时,直线y=a与曲线y=F(x)有且只有一个公共点.
又F'(x)=,令F'(x)=0,解得x=2,所以F(x)在区间(1,2)内单调递增,在区间(2,+∞)内单调递减.
而F(2)=,F(1)=0,当x→+∞时,F(x)→0,所以F(x)的值域为(0,],故a=
16.解 (1)由题意得,当a=1时,函数f(x)=lnx-x2,其定义域为(0,+∞),因此f'(x)=-x=
令f'(x)>0,即1-x2>0,得0令f'(x)<0,即1-x2<0,得x>1,所以f(x)在区间(1,+∞)内单调递减.
故函数f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).
(2)由题意,函数f(x)=a2lnx-ax2-(a2-a)x(a≠0)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=-ax-(a2-a)=-
当a<0时,-a>0.
①若-10,即(x+a)(x-1)>0,得x>1或0所以当x=1时,函数f(x)取得极小值,不符合题意.
②若a=-1,可得f'(x)=0,此时函数f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,函数f(x)无极值,不符合题意.
③若a<-1.令f'(x)>0,即(x+a)(x-1)>0,得x>-a或0当a>0时,-a<0.
令f'(x)>0,即(x+a)(x-1)<0,得0令f'(x)<0,即(x+a)(x-1)>0,得x>1,
所以f(x)在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,+∞)内单调递减,所以当x=1时,函数f(x)取得极大值,符合题意.
综上可得,实数a的取值范围是(-∞,-1)∪(0,+∞).
x
(0,1)
1
(1,+∞)
f'(x)
-
0
+
f(x)
单调递减
极小值
单调递增