2018年内蒙古赤峰市中考数学真题及答案

这是一份2018年内蒙古赤峰市中考数学真题及答案，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，简答题等内容，欢迎下载使用。

1．2018的相反数是（ ）
A．﹣2018B．C．2018D．﹣
2．下列符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．x2+x2=2x4B．x2•x3=x6C．（x2）3=x6D．（2x2）3=6x6
4．红山水库又名“红山湖”，位于老哈河中游，设计库容量25.6亿立方米，现在水库实际库容量16.2亿立方米，是暑期度假旅游的好去处．16.2亿用科学记数法表示为（ ）
A．16.2×108B．1.62×108C．1.62×109D．1.62×1010
5．如图是一个空心圆柱体，其俯视图是（ ）
A．B．C．D．
6．有一天，兔子和乌龟赛跑．比赛开始后，兔子飞快地奔跑，乌龟缓慢的爬行．不一会儿，乌龟就被远远的甩在了后面．兔子想：“这比赛也太轻松了，不如先睡一会儿．”而乌龟一刻不停地继续爬行．当兔子醒来跑到终点时，发现乌龟已经到达了终点．正确反映这则寓言故事的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
7．代数式+中x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A．B．C．D．
8．已知AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点G、H，∠EGB=25°，将一个60°角的直角三角尺如图放置（60°角的顶点与H重合），则∠PHG等于（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
9．已知抛物线y=a（x﹣1）2﹣3（a≠0），如图所示，下列命题：①a＞0；②对称轴为直线x=1；③抛物线经过（2，y1），（4，y2）两点，则y1＞y2；④顶点坐标是（1，﹣3），其中真命题的概率是（ ）
A．B．C．D．1
10．2017﹣2018赛季中国男子篮球职业联赛，采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（ ）
A．x（x﹣1）=380B．x（x﹣1）=380C．x（x+1）=380D．x（x+1）=380
11．如图，AB是⊙O的直线，C是⊙O上一点（A、B除外），∠AOD=130°，则∠C的度数是（ ）
A．50°B．60°C．25°D．30°
12．如图，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是以C（﹣1，0）为圆心，1为半径的圆上一点，连接PA，PB，则△PAB面积的最小值是（ ）
A．5B．10C．15D．20

二、填空题（请把答案填写在答题卡相应的横线上，每小题3分，共18分）
13．分解因式：2a2﹣8b2= ．
14．一组数据：﹣1，3，2，x，5，它有唯一的众数是3，则这组数据的中位数是 ．
15．半径为10cm的半圆围成一个圆锥，则这个圆锥的高是 cm．
16．如图，已知一次函数y=﹣x+b与反比例函数y=（k≠0）的图象相交于点P，则关于x的方程﹣x+b=的解是 ．
17．如图，P是▱ABCD的边AD上一点，E、F分别是PB、PC的中点，若▱ABCD的面积为16cm2，则△PEF的面积（阴影部分）是 cm2．
18．观察下列一组由★排列的“星阵”，按图中规律，第n个“星阵”中的★的个数是 ．

三、简答题（解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，共8题，满分96分）
19．（10分）先化简，再求值：﹣x+1，其中x=﹣（）﹣1﹣|1﹣|．
20．（10分）如图，D是△ABC中BC边上一点，∠C=∠DAC．
（1）尺规作图：作∠ADB的平分线，交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，求证：DE∥AC．
21．（12分）国家为了实现2020年全面脱贫目标，实施“精准扶贫”战略，采取异地搬迁，产业扶持等措施．使贫困户的生活条件得到改善，生活质量明显提高．某旗县为了全面了解贫困县对扶贫工作的满意度情况，进行随机抽样调查，分为四个类别：A．非常满意；B．满意；C．基本满意；D．不满意．依据调查数据绘制成图1和图2的统计图（不完整）．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）将图1补充完整；
（2）通过分析，贫困户对扶贫工作的满意度（A、B、C类视为满意）是 ；
（3）市扶贫办从该旗县甲乡镇3户、乙乡镇2户共5户贫困户中，随机抽取两户进行满意度回访，求这两户贫困户恰好都是同一乡镇的概率．
22．（12分）小明同学三次到某超市购买A、B两种商品，其中仅有一次是有折扣的，购买数量及消费金额如下表：
解答下列问题：
（1）第 次购买有折扣；
（2）求A、B两种商品的原价；
（3）若购买A、B两种商品的折扣数相同，求折扣数；
（4）小明同学再次购买A、B两种商品共10件，在（3）中折扣数的前提下，消费金额不超过200元，求至少购买A商品多少件．
23．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，点O在AB上，⊙O经过A、D两点，交AC于点E，交AB于点F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径是2cm，E是的中点，求阴影部分的面积（结果保留π和根号）
24．（12分）阅读下列材料：
如图1，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，可以得到：
S△ABC=absinC=acsinB=bcsinA
证明：过点A作AD⊥BC，垂足为D．
在Rt△ABD中，sinB=
∴AD=c•sinB
∴S△ABC=a•AD=acsinB
同理：S△ABC=absinC
S△ABC=bcsinA
∴S△ABC=absinC=acsinB=bcsinA
（1）通过上述材料证明：
==
（2）运用（1）中的结论解决问题：
如图2，在△ABC中，∠B=15°，∠C=60°，AB=20，求AC的长度．
（3）如图3，为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择A、B、C三个测量点，在B点测得A在北偏东75°方向上，沿笔直公路向正东方向行驶18km到达C点，测得A在北偏西45°方向上，根据以上信息，求A、B、C三点围成的三角形的面积．
（本题参考数值：sin15°≈0.3，sin120°≈0.9，≈1.4，结果取整数）
25．（14分）将一副三角尺按图1摆放，等腰直角三角尺的直角边DF恰好垂直平分AB，与AC相交于点G，BC=2cm．
（1）求GC的长；
（2）如图2，将△DEF绕点D顺时针旋转，使直角边DF经过点C，另一直角边DE与AC相交于点H，分别过H、C作AB的垂线，垂足分别为M、N，通过观察，猜想MD与ND的数量关系，并验证你的猜想．
（3）在（2）的条件下，将△DEF沿DB方向平移得到△D′E′F′，当D′E′恰好经过（1）中的点G时，请直接写出DD′的长度．
26．（14分）已知抛物线y=﹣x2﹣x的图象如图所示：
（1）将该抛物线向上平移2个单位，分别交x轴于A、B两点，交y轴于点C，则平移后的解析式为 ．
（2）判断△ABC的形状，并说明理由．
（3）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得以A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

2018年内蒙古赤峰市中考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应位置上按要求涂黑。每小题3分，共36分。）
1．2018的相反数是（ ）
A．﹣2018B．C．2018D．﹣
【考点】14：相反数．【专题】511：实数．
【分析】根据相反数的意义，可得答案．
【解答】解：2018的相反数是﹣2018，
故选：A．
【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．

2．下列符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】P3：轴对称图形；R5：中心对称图形．【专题】1：常规题型．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义即可求出答案．
【解答】解：轴对称图形是指平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．
中心对称图形是指在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合
故选：D．
【点评】本题考查中心对称图形与轴对称图形，解题的关键是正确理解中心对称图形与轴对称图形的定义，本题属于基础题型．

3．下列运算正确的是（ ）
A．x2+x2=2x4B．x2•x3=x6C．（x2）3=x6D．（2x2）3=6x6
【考点】35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方．【专题】11：计算题．
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、积的乘方和幂的乘方法则计算，判断即可．
【解答】解：A、x2+x2=2x2，故本选项不符合题意；
B、x2•x3=x5，故本选项不符合题意；
C、（x2）3=x6，故本选项符合题意；
D、（2x2）3=8x6，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方和幂的乘方，掌握它们的运算法则是解题的关键．

4．红山水库又名“红山湖”，位于老哈河中游，设计库容量25.6亿立方米，现在水库实际库容量16.2亿立方米，是暑期度假旅游的好去处．16.2亿用科学记数法表示为（ ）
A．16.2×108B．1.62×108C．1.62×109D．1.62×1010
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【专题】1：常规题型．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：16.2亿=162000 0000=1.62×109．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

5．如图是一个空心圆柱体，其俯视图是（ ）
A．B．C．D．
【考点】U2：简单组合体的三视图．【专题】1：常规题型；55F：投影与视图．
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：该空心圆柱体的俯视图是
故选：D．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．

6．有一天，兔子和乌龟赛跑．比赛开始后，兔子飞快地奔跑，乌龟缓慢的爬行．不一会儿，乌龟就被远远的甩在了后面．兔子想：“这比赛也太轻松了，不如先睡一会儿．”而乌龟一刻不停地继续爬行．当兔子醒来跑到终点时，发现乌龟已经到达了终点．正确反映这则寓言故事的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
【考点】E6：函数的图象．【专题】53：函数及其图象．
【分析】根据题意得出兔子和乌龟的图象进行解答即可．
【解答】解：乌龟运动的图象是一条直线，兔子运动的图象路程先增大，而后不变，再增大，并且乌龟所用时间最短，
故选：D．
【点评】此题考查函数图象问题，本题需先读懂题意，根据实际情况找出正确函数图象即可．

7．代数式+中x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A．B．C．D．
【考点】62：分式有意义的条件；72：二次根式有意义的条件；C4：在数轴上表示不等式的解集．【专题】514：二次根式．
【分析】根据被开方数是非负数且分母不能为零，可得答案．
【解答】解：由题意，得
3﹣x≥0且x﹣1≠0，
解得x≤3且x≠1，
在数轴上表示如图，
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数且分母不能为零得出不等式是解题关键．

8．已知AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点G、H，∠EGB=25°，将一个60°角的直角三角尺如图放置（60°角的顶点与H重合），则∠PHG等于（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
【考点】JA：平行线的性质．【专题】551：线段、角、相交线与平行线．
【分析】依据AB∥CD，可得∠EHD=∠EGB=25°，再根据∠PHD=60°，即可得到∠PHG=60°﹣25°=35°．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠EHD=∠EGB=25°，
又∵∠PHD=60°，
∴∠PHG=60°﹣25°=35°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．

9．已知抛物线y=a（x﹣1）2﹣3（a≠0），如图所示，下列命题：①a＞0；②对称轴为直线x=1；③抛物线经过（2，y1），（4，y2）两点，则y1＞y2；④顶点坐标是（1，﹣3），其中真命题的概率是（ ）
A．B．C．D．1
【考点】O1：命题与定理．【专题】17：推理填空题．
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性判定命题的真假，根据概率公式计算即可．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，①是真命题；
对称轴为直线x=1，②是真命题；
当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴抛物线经过（2，y1），（4，y2）两点，则y1＜y2，③是假命题；
顶点坐标是（1，﹣3），④是真命题；
∴真命题的概率=，
故选：C．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

10．2017﹣2018赛季中国男子篮球职业联赛，采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（ ）
A．x（x﹣1）=380B．x（x﹣1）=380C．x（x+1）=380D．x（x+1）=380
【考点】AC：由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】1：常规题型．
【分析】设参赛队伍有x支，根据参加篮球职业联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛380场，可列出方程．
【解答】解：设参赛队伍有x支，则
x（x﹣1）=380．
故选：B．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数做为等量关系列方程求解．

11．如图，AB是⊙O的直线，C是⊙O上一点（A、B除外），∠AOD=130°，则∠C的度数是（ ）
A．50°B．60°C．25°D．30°
【考点】M5：圆周角定理．【专题】55：几何图形．
【分析】根据圆周角定理进行解答即可．
【解答】解：∵∠AOD=130°，
∴∠C=90°﹣，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．

12．如图，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是以C（﹣1，0）为圆心，1为半径的圆上一点，连接PA，PB，则△PAB面积的最小值是（ ）
A．5B．10C．15D．20
【考点】F5：一次函数的性质；F8：一次函数图象上点的坐标特征．【专题】531：平面直角坐标系．
【分析】作CH⊥AB于H交⊙O于E、F．当点P与E重合时，△PAB的面积最小，求出EH、AB的长即可解决问题
【解答】解：作CH⊥AB于H交⊙O于E、F．
∵C（﹣1，0），直线AB的解析式为y=﹣x+3，
∴直线CH的解析式为y=x+，
由解得，
∴H（，），
∴CH==3，
∵A（4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，AB=5，
∴EH=3﹣1=2，
当点P与E重合时，△PAB的面积最小，最小值=×5×2=5，
故选：A．
【点评】本题考查一次函数图象上的点的坐标特征、一次函数的性质、直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用直线与圆的位置关系解决问题，属于中考填空题中的压轴题．

二、填空题（请把答案填写在答题卡相应的横线上，每小题3分，共18分）
13．分解因式：2a2﹣8b2= 2（a﹣2b）（a+2b） ．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．【专题】44：因式分解．
【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：2a2﹣8b2，
=2（a2﹣4b2），
=2（a+2b）（a﹣2b）．
故答案为：2（a+2b）（a﹣2b）．
【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次分解因式．

14．一组数据：﹣1，3，2，x，5，它有唯一的众数是3，则这组数据的中位数是 3 ．
【考点】W4：中位数；W5：众数．【专题】11：计算题．
【分析】先根据数据的众数确定出x的值，即可得出结论．
【解答】解：∵一组数据：﹣1，3，2，x，5，它有唯一的众数是3，
∴x=3，∴此组数据为﹣1，2，3，3，5，
∴这组数据的中位数为3，
故答案为3．
【点评】此题主要考查了数据的中位数，众数的确定，掌握中位数和众数的确定方法是解本题的关键．

15．半径为10cm的半圆围成一个圆锥，则这个圆锥的高是 5 cm．
【考点】MP：圆锥的计算．【专题】554：等腰三角形与直角三角形．
【分析】由半圆的半径可得出圆锥的母线及底面半径的长度，利用勾股定理即可求出圆锥的高．
【解答】解：∵半径为10cm的半圆围成一个圆锥，
∴圆锥的母线l=10cm，圆锥底面半径r=5cm，
∴圆锥的高h==5cm．
故答案为：5．
【点评】本题考查了圆锥的计算，利用勾股定理求出圆锥的高是解题的关键．

16．如图，已知一次函数y=﹣x+b与反比例函数y=（k≠0）的图象相交于点P，则关于x的方程﹣x+b=的解是 x1=1，x2=2 ．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．【专题】532：函数及其图像．
【分析】根据待定系数法，可得函数解析式，根据解方程，可得答案．
【解答】解：由图象，得
y=﹣x+b与反比例函数y=（k≠0）的图象相交于点P（1，2），
把P点坐标带入函数解析式，得
﹣1+b=2，k=1×2=2，
解得b=3，k=2
关于x的方程﹣x+b=，即﹣x+3=，
解得x1=1，x2=2，
故答案为：x1=1，x2=2．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法得出k，b的值是解题关键．

17．如图，P是▱ABCD的边AD上一点，E、F分别是PB、PC的中点，若▱ABCD的面积为16cm2，则△PEF的面积（阴影部分）是 2 cm2．
【考点】L5：平行四边形的性质．【专题】1：常规题型；555：多边形与平行四边形．
【分析】先根据S▱ABCD=16cm2知S△PBC=S▱ABCD=8，再证△PEF∽△PBC得=（）2，即=，据此可得答案．
【解答】解：∵▱ABCD的面积为16cm2，
∴S△PBC=S▱ABCD=8，
∵E、F分别是PB、PC的中点，
∴EF∥BC，且EF=BC，
∴△PEF∽△PBC，
∴=（）2，即=，
∴S△PEF=2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质与相似三角形的判定与性质．

18．观察下列一组由★排列的“星阵”，按图中规律，第n个“星阵”中的★的个数是 n2+n+2 ．
【考点】38：规律型：图形的变化类．【专题】2A：规律型．
【分析】排列组成的图形都是三角形．第一个图形中有2+1×2=4个★，第二个图形中有2+2×3=8个★，第三个图形中有2+3×4=14个★，…，继而可求出第n个图形中★的个数．
【解答】解：∵第一个图形有2+1×2=4个，
第二个图形有2+2×3=8个，
第三个图形有2+3×4=14个，
第四个图形有2+4×5=22个，
…
∴第n个图形共有：2+n×（n+1）=n2+n+2．
故答案为：n2+n+2．
【点评】本题考查规律型中的图形变化问题，解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律．

三、简答题（解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，共8题，满分96分）
19．（10分）先化简，再求值：﹣x+1，其中x=﹣（）﹣1﹣|1﹣|．
【考点】6D：分式的化简求值；6F：负整数指数幂．【专题】11：计算题；513：分式．
【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用二次根式性质、负整数指数幂及绝对值性质计算出x的值，最后代入计算可得．
【解答】解：原式=﹣（x﹣1）
=﹣
=，
∵x=2﹣2﹣（﹣1）=2﹣2﹣+1=﹣1，
∴原式===．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则及负整数指数幂、绝对值性质、二次根式的性质．

20．（10分）如图，D是△ABC中BC边上一点，∠C=∠DAC．
（1）尺规作图：作∠ADB的平分线，交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，求证：DE∥AC．
【考点】J9：平行线的判定；N2：作图—基本作图．【专题】13：作图题．
【分析】（1）利用基本作图作∠ADB的平分线BE；
（2）利用角平分线定义得到∠ADE=∠BDE，再根据三角形外角性质得∠ADB=∠C+∠DAC，加上∠C=∠DAC，从而得到∠BDE=∠C，然后根据平行线的判定方法得到结论．
【解答】（1）解：如图，
（2）证明：∵DE平分∠ADB，
∴∠ADE=∠BDE，
∵∠ADB=∠C+∠DAC，
而∠C=∠DAC，
∴2∠BDE=2∠C，即∠BDE=∠C，
∴DE∥AC．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了平行线的判定．

21．（12分）国家为了实现2020年全面脱贫目标，实施“精准扶贫”战略，采取异地搬迁，产业扶持等措施．使贫困户的生活条件得到改善，生活质量明显提高．某旗县为了全面了解贫困县对扶贫工作的满意度情况，进行随机抽样调查，分为四个类别：A．非常满意；B．满意；C．基本满意；D．不满意．依据调查数据绘制成图1和图2的统计图（不完整）．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）将图1补充完整；
（2）通过分析，贫困户对扶贫工作的满意度（A、B、C类视为满意）是 95% ；
（3）市扶贫办从该旗县甲乡镇3户、乙乡镇2户共5户贫困户中，随机抽取两户进行满意度回访，求这两户贫困户恰好都是同一乡镇的概率．
【考点】VB：扇形统计图；VC：条形统计图；X6：列表法与树状图法．【专题】1：常规题型；54：统计与概率．
【分析】（1）先由A类别户数和所占百分比求得样本总量，再根据各类别户数和等于总户数求得C的数量即可补全图形；
（2）用A、B、C户数和除以总户数即可得；
（3）画树状图列出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．
【解答】解：（1）∵被调查的总户数为60÷60%=100，
∴C类别户数为100﹣（60+20+5）=15，
补全图形如下：
（2）贫困户对扶贫工作的满意度（A、B、C类视为满意）是×100%=95%，
故答案为：95%；
（3）画树状图如下：
由树状图知共有20种等可能结果，其中这两户贫困户恰好都是同一乡镇的有8种结果，
所以这两户贫困户恰好都是同一乡镇的概率为=．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．

22．（12分）小明同学三次到某超市购买A、B两种商品，其中仅有一次是有折扣的，购买数量及消费金额如下表：
解答下列问题：
（1）第 三 次购买有折扣；
（2）求A、B两种商品的原价；
（3）若购买A、B两种商品的折扣数相同，求折扣数；
（4）小明同学再次购买A、B两种商品共10件，在（3）中折扣数的前提下，消费金额不超过200元，求至少购买A商品多少件．
【考点】9A：二元一次方程组的应用；C9：一元一次不等式的应用．【专题】34：方程思想；521：一次方程（组）及应用；524：一元一次不等式(组)及应用．
【分析】（1）由第三次购买的A、B两种商品均比头两次多，总价反而少，可得出第三次购物有折扣；
（2）设A商品的原价为x元/件，B商品的原价为y元/件，根据总价=单价×数量结合前两次购物的数量及总价，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（3）设折扣数为z，根据总价=单价×数量，即可得出关于z的一元一次方程，解之即可得出结论；
（4）设购买A商品m件，则购买B商品（10﹣m）件，根据总价=单价×数量结合消费金额不超过200元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小整数即可得出结论．
【解答】解：（1）观察表格数据，可知：第三次购买的A、B两种商品均比头两次多，总价反而少，
∴第三次购买有折扣．
故答案为：三．
（2）设A商品的原价为x元/件，B商品的原价为y元/件，
根据题意得：，
解得：．
答：A商品的原价为30元/件，B商品的原价为40元/件．
（3）设折扣数为z，
根据题意得：5×30×+7×40×=258，
解得：z=6．
答：折扣数为6．
（4）设购买A商品m件，则购买B商品（10﹣m）件，
根据题意得：30×m+40×（10﹣m）≤200，
解得：m≥，
∵m为整数，
∴m的最小值为7．
答：至少购买A商品7件．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用、二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）观察三次购物的数量及总价，找出哪次购物有折扣；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（4）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．

23．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，点O在AB上，⊙O经过A、D两点，交AC于点E，交AB于点F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径是2cm，E是的中点，求阴影部分的面积（结果保留π和根号）
【考点】ME：切线的判定与性质；MO：扇形面积的计算．【专题】559：圆的有关概念及性质．
【分析】（1）连接OD，只要证明OD∥AC即可解决问题；
（2）连接OE，OE交AD于K．只要证明△AOE是等边三角形即可解决问题；
【解答】解：（1）连接OD．
、
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵∠OAD=∠DAC，
∴∠ODA=∠DAC，
∴OD∥AC，
∴∠ODB=∠C=90°，
∴OD⊥BC，
∴BC是⊙O的切线．
（2）连接OE，OE交AD于K．
∵=，
∴OE⊥AD，
∵∠OAK=∠EAK，AK=AK，∠AKO=∠AKE=90°，
∴△AKO≌△AKE，
∴AO=AE=OE，
∴△AOE是等边三角形，
∴∠AOE=60°，
∴S阴=S扇形OAE﹣S△AOE=﹣×22=﹣．
【点评】本题考查切线的判定、扇形的面积、等边三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

24．（12分）阅读下列材料：
如图1，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，可以得到：
S△ABC=absinC=acsinB=bcsinA
证明：过点A作AD⊥BC，垂足为D．
在Rt△ABD中，sinB=
∴AD=c•sinB
∴S△ABC=a•AD=acsinB
同理：S△ABC=absinC
S△ABC=bcsinA
∴S△ABC=absinC=acsinB=bcsinA
（1）通过上述材料证明：
==
（2）运用（1）中的结论解决问题：
如图2，在△ABC中，∠B=15°，∠C=60°，AB=20，求AC的长度．
（3）如图3，为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择A、B、C三个测量点，在B点测得A在北偏东75°方向上，沿笔直公路向正东方向行驶18km到达C点，测得A在北偏西45°方向上，根据以上信息，求A、B、C三点围成的三角形的面积．
（本题参考数值：sin15°≈0.3，sin120°≈0.9，≈1.4，结果取整数）
【考点】K3：三角形的面积；T7：解直角三角形．【专题】21：阅读型；55：几何图形．
【分析】（1）根据材料中的S△ABC=absinC=acsinB=bcsinA，化为比例式可得结论；
（2）根据公式，直接代入可得结论；
（3）先根据公式计算AC的长，由S△ABC=AC×BC×sin∠ACB可得结论．
【解答】解：（1）∵absinC=acsinB，
∴bsinC=csinB，
∴=，
：同理得：=，
∴==；（4分）
（2）由题意得：∠B=15°，∠C=60°，AB=20，
∴，即，
∴，
∴AC=40×0.3=12；（8分）
（3）由题意得：∠ABC=90°﹣75°=15°，∠ACB=90°﹣45°=45°，
∠A=180°﹣15°﹣45°=120°，
由==得：=，
∴AC=6，
∴S△ABC=AC×BC×sin∠ACB=×6×18×0.7≈38．（12分）
【点评】本题是阅读材料问题，考查了解直角三角形、三角形面积、比例的性质，关键是理解并运用公式S△ABC=absinC=acsinB=bcsinA解决问题．

25．（14分）将一副三角尺按图1摆放，等腰直角三角尺的直角边DF恰好垂直平分AB，与AC相交于点G，BC=2cm．
（1）求GC的长；
（2）如图2，将△DEF绕点D顺时针旋转，使直角边DF经过点C，另一直角边DE与AC相交于点H，分别过H、C作AB的垂线，垂足分别为M、N，通过观察，猜想MD与ND的数量关系，并验证你的猜想．
（3）在（2）的条件下，将△DEF沿DB方向平移得到△D′E′F′，当D′E′恰好经过（1）中的点G时，请直接写出DD′的长度．
【考点】RB：几何变换综合题．【专题】152：几何综合题．
【分析】（1）解直角三角形求出AC、AG即可解决问题；
（2）由△AHM∽△CBN，可得=①，由△DHM∽△CDN，可得=②由①②可得AM•BN=DN•DM，即=，推出=，推出=，由AD=BD，可得AM=DN，由此即可解决问题；
（3）如图3中，作GK∥DE交AB由K．求出AK的值即可解决问题；
【解答】解：（1）如图1中，
在Rt△ABC中，∵BC=2，∠B=60°，
∴AC=BC•tan60°=6，AB=2BC=4，
在Rt△ADG中，AG==4，
∴CG=AC=AG=6﹣4=2．
（2）如图2中，结论：DM+DN=2或DM=DN．
理由：∵HM⊥AB，CN⊥AB，
∴∠AMH=∠DMH=∠CNB=∠CND=90°，
∵∠A+∠B=90°，∠B+∠BCN=90°，
∴∠A=∠BCN．
∴△AHM∽△CBN，
∴=①，
同法可证：△DHM∽△CDN，
∴=②
由①②可得AM•BN=DN•DM，
∴=，
∴=，
∴=，
∵AD=BD，
∴AM=DN，
∴DM+DN=AM+DM=AD=2．
或∵△ABC为直角三角形，D为斜边AB的中点，
∴CD=BD=AD．
又∠B=60°，∴△BDC为等边三角形，∴∠CDB=60°．
又∠EDF=90°，∴∠MDA=30°．
∵∠A=90°﹣∠B=30°，∴AH=HD，
又HM⊥AD，∴MD=．
在等边三角形 BCD中，CN⊥BD，
∴ND=NB．
又AD=BD，
∴MD=ND．
（3）如图3中，作GK∥DE交AB由K．
在△AGK中，AG=GK=4，∠A=∠GKD=30°，作GH⊥AB于H．
则AH=AG•cs30°=2，
可得AK=2AH=4，此时K与B重合．
∴DD′=DB=2．
【点评】本题考查几何变换综合题、旋转变换平移变换、相似三角形的判定和性质、比例的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用比例式证明线段相等，属于中考压轴题．

26．（14分）已知抛物线y=﹣x2﹣x的图象如图所示：
（1）将该抛物线向上平移2个单位，分别交x轴于A、B两点，交y轴于点C，则平移后的解析式为 y=﹣x2﹣x+2 ．
（2）判断△ABC的形状，并说明理由．
（3）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得以A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【考点】HF：二次函数综合题．【专题】537：函数的综合应用．
【分析】（1）根据函数图象的平移规律，可得新的函数解析式；
（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得A，B，C的坐标，根据勾股定理及逆定理，可得答案；
（3）根据等腰三角形的定义，可得关于n的方程，根据解方程，可得答案．
【解答】解：（1）将该抛物线向上平移2个单位，得y=﹣x2﹣x+2，
故答案为：y=﹣x2﹣x+2；
（2）当y=0时，﹣x2﹣x+2=0，解得x1=﹣4，x2=1，即B（﹣4，0），A（1，0）．
当x=0时，y=2，即C（0，2）．
AB=1﹣（﹣4）=5，AB2=25，
AC2=（1﹣0）2+（0﹣2）2=5，BC2=（﹣4﹣0）2+（0﹣2）2=20，
∵AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形；
（3）y=﹣x2﹣x+2的对称轴是x=﹣，设P（﹣，n），
AP2=（1+）2+n2=+n2，CP2=+（2﹣n）2，AC2=12+22=5
当AP=AC时，AP2=AC2，+n2=5，方程无解；
当AP=CP时，AP2=CP2，+n2=+（2﹣n）2，解得n=0，即P1（﹣，0），
当AC=CP时AC2=CP2，+（2﹣n）2=5，解得n1=2+，n2=2﹣，P2（﹣，2+），P3（﹣，2﹣）．
综上所述：使得以A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形，点P的坐标（﹣，0），（﹣，2+），（﹣，2﹣）．
【点评】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是二次函数图象的平移，解（2）的关键是利用勾股定理及逆定理；解（3）的关键是利用等腰三角形的定义得出关于n的方程，要分类讨论，以防遗漏．
类别
次数
购买A商品数量（件）
购买B商品数量（件）
消费金额（元）
第一次
4
5
320
第二次
2
6
300
第三次
5
7
258
类别
次数
购买A商品数量（件）
购买B商品数量（件）
消费金额（元）
第一次
4
5
320
第二次
2
6
300
第三次
5
7
258