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2024重庆市缙云教育联盟高一上学期12月月考试题数学含解析
展开这是一份2024重庆市缙云教育联盟高一上学期12月月考试题数学含解析,共18页。试卷主要包含了 设,则是成立的, 已知,,,则最小值为, 下列关系中,正确的有, 下列函数在上是减函数的是等内容,欢迎下载使用。
注意事项:
1.答题前,考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚;
2.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,在试卷上作答无效;
3.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回;
4.全卷共4页,满分150分,考试时间120分钟.
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知是第三象限角,且,则( )
A B. C. D.
2. 下列命题中真命题有( )
① ②q:所有的正方形都是矩形
③ ④
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
3. 若,则( )
A B. C. D.
4. 若命题:,:,则是的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 设,则是成立的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
6. 已知,,,则最小值为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
7. 已知函数,若关于的方程有7个不同实数解则
A. 且B. 且C. 且D. 且
8. 已知函数,若函数的零点个数恰为2个,则( )
A. 或B.
C 或D.
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求的.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得2分.
9. 下列关系中,正确的有( )
A. B.
C. D.
10. 下列函数在上是减函数的是( )
A. B. C. D.
11. 已知函数的定义域是,且,当时,,,则下列说法正确的是( )
A.
B. 函数在上减函数
C.
D. 不等式的解集为
12. 若关于的不等式的解集为,则的值可以是( )
A. B. C. 2D. 1
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13. 函数的单调递减区间为___________.
14. 设函数,则不等式的解集是___________.
15. 设,则“”是“”______的条件.(填写“充分不必要”,“必要不充分”,“充要”,“既不充分又不必要”)
16. 设函数存在最小值,则的取值范围是________.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知集合A={x∈R|ax2-3x+1=0,a∈R}.
(1)若集合A中仅有一个元素,求实数a的值;
(2)若集合A中有两个元素,求实数a的取值范围;
(3)若集合A中至多有一个元素,求实数a的取值范围.
18. 已知函数是定义在上的偶函数,且当时,
(1)求函数的解析式;
(2)若函数,求函数的最小值.
19. 已知函数在上是增函数.求实数的取值范围.
20. 已知函数().
(1)若在上的最大值为,求a的值;
(2)证明:函数有且只有一个零点,且.
21. 汕头市某体育用品商店购进一批滑板,每件进价为100元,售价为130元,每星期可卖出80件.商家决定降价促销,根据市场调查,每降价5元,每星期可多卖出20件.
(1)求商家降价前每星期的销售利润为多少元?
(2)降价后,商家要使每星期的销售利润最大,应将售价定为多少元?最大销售利润是多少?
22. (1)已知,比较与的大小.
(2)已知,求证:.
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高一数学
注意事项:
1.答题前,考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚;
2.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,在试卷上作答无效;
3.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回;
4.全卷共4页,满分150分,考试时间120分钟.
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知是第三象限角,且,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由是第三象限角可判断,利用平方关系即可求解.
【详解】解:因为是第三象限角,且,
所以,
故选:A.
2. 下列命题中真命题有( )
① ②q:所有的正方形都是矩形
③ ④
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】利用判断全称量词命题、存在量词命题真假方法,逐一判断各个命题作答.
【详解】恒成立,①是真命题;
命题“所有的正方形都是矩形”正确,②是真命题;
恒成立,③是假命题;
当时,对每一个整数y,都不是整数,④是假命题,
所以真命题的个数是2.
故选:B
3. 若,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据,结合诱导公式和已知条件即求得结果.
【详解】.
故选:B
4. 若命题:,:,则是的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可;
【详解】解:由得或,即或,所以由能够得到,由得不到,即推不出,推得出,所以是的必要不充分条件;
故选:B
5. 设,则是成立的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据指数函数的单调性、对数函数的单调性,可得出结论.
【详解】因为为R上的减函数,是上的增函数,
所以由可得(),
由可得(),
故是成立的必要不充分条件,
故选:B
【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性,对数函数的单调性,必要不充分条件,属于中档题.
6. 已知,,,则的最小值为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】由,,,所以,结合“1”的代换,结合基本不等式,即可求解.
【详解】因为,,,所以,
则,
当且仅当且,即时取等号,
故选:B.
【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题,其中解答合理构造基本不等式的条件“一正、二定、三相等”,结合“1”的代换技巧是解答的关键,着重考查推理与运算能力.
7. 已知函数,若关于的方程有7个不同实数解则
A. 且B. 且C. 且D. 且
【答案】A
【解析】
【详解】作出函数的图象,令,由图象可知 有4个不等实根,时,有3个不相等的实数根,时无实根.题中原方程有且只有7个不等实根,即有两个实根,一根为0,另一根大于零,则,所以选A.
【点睛】涉及较复杂复合型的方程的根的个数问题解决方法是换元法,令,先画出函数的图象,根据根的个数判断原方程的根应该有几个,每个根应在哪个区间?问题转化为一元二次方程的根的分布问题,利用一元二次方程的根的分布列不等式,求出参数的取值范围.
8. 已知函数,若函数的零点个数恰为2个,则( )
A. 或B.
C. 或D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先将函数的零点个数恰为个,等价于与有个交点.再画出与的图像,结合图像即可.
【详解】函数的零点个数恰为个,
与有个交点.
当时,,
当时,,
当时,.
……
故与的图像如下:
根据图像可得:或,
解得:或.
故选:A
【点睛】本题主要考查函数的零点问题,熟练画出函数的图像为解题的关键,属于难题.
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求的.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得2分.
9. 下列关系中,正确的有( )
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据元素与集合的关系可判断ABC选项;根据集合与集合的关系可判断D选项.
【详解】,,,
方程无解,,ABD对,C错.
故选:ABD.
10. 下列函数在上是减函数的是( )
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】由各选项对应函数在上的单调性判断正误即可.
【详解】A选项,函数在R上递增函数,故A错误;
B选项,函数在上单调递减,在上单调递增,故B正确;
C选项,函数在,上单调递减,故C正确;
D选项,函数在上单调递减,在上单调递增,故D正确.
故选:BCD
11. 已知函数的定义域是,且,当时,,,则下列说法正确的是( )
A.
B. 函数在上是减函数
C.
D. 不等式解集为
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用赋值法求得,判断A;根据函数的单调性定义结合抽象函数的性质,可判断函数的单调性,判断B;利用,可求得C中式子的值,判断C;求出,将转化为,即可解不等式组求出其解集,判断D.
【详解】对于A,令 ,得,所以,故A正确;
对于B,令,得,所以,
任取,且,则,
因为,所以,所以,
所以在上是减函数,故B正确;
对于C,
,故C错误;
对于D,因为,且,所以,
所以,
所以等价于,
又在上是减函数,且,所以 ,
解得,
即不等式的解集为,故D正确,
故选:ABD.
12. 若关于的不等式的解集为,则的值可以是( )
A. B. C. 2D. 1
【答案】BC
【解析】
【分析】先根据一元二次不等式的解集得到对称轴,然后根据端点得到两个等式和一个不等式,求出的取值范围,最后都表示成的形式即可.
【详解】因为不等式的解集为,
所以二次函数的对称轴为直线,
且需满足,即,解得,
所以,所以,
所以,故的值可以是和,
故选:BC
【点睛】关键点睛:一元二次不等式的解决关键是转化为二次函数问题,求出对称轴和端点的值,继而用同一个变量来表示求解.
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13. 函数的单调递减区间为___________.
【答案】(或都对)
【解析】
【分析】
利用复合函数的单调性,同增异减,即可得到答案;
【详解】令,则,
在单调递减,在单调递增,
根据复合函数的单调性可得:在单调递减,
故答案为:.
14. 设函数,则不等式的解集是___________.
【答案】
【解析】
【分析】由解析式可得图象,根据图象可确定自变量的大小关系,解不等式组可求得结果.
【详解】函数的图象如图所示,
由图象可知:要满足不等式,则,
解得:.
故答案为:.
15. 设,则“”是“”______的条件.(填写“充分不必要”,“必要不充分”,“充要”,“既不充分又不必要”)
【答案】必要不充分
【解析】
【分析】分别求出不含参的一元二次不等式和分式不等式的解集,再结合充分必要条件的判定即可.
【详解】由,得,
由,得,解得,
所以,
所以“”“”,反之不成立.
所以“”是“”的必要不充分条件.
故答案为:必要不充分
16. 设函数存在最小值,则的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意分,,和四种情况结合二次函数的性质讨论即可》
【详解】①当时,,故函数在上单调递增,因此不存在最小值;
②当时,,
当时,,故函数存在最小值;
③当时,,故函数在上单调递减,
当时,;当时,.
若,则不存在最小值,故,解得.
此时满足题设;
④当时,,故函数在上单调递减,
当时,;当时,.
因为,所以,
因此不存在最小值.
综上,的取值范围是.
故答案为:
【点睛】关键点点睛:此题考查含参数的分段函数求最值,考查二次函数的性质,解题的关键是结合二次函数的性质求函数的最小值,考查分类讨论思想,属于较难题.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知集合A={x∈R|ax2-3x+1=0,a∈R}.
(1)若集合A中仅有一个元素,求实数a的值;
(2)若集合A中有两个元素,求实数a的取值范围;
(3)若集合A中至多有一个元素,求实数a的取值范围.
【答案】(1)a=0或a=;(2)且;(3)或
【解析】
【分析】
(1)将问题转化为方程有一个根,分两种情况讨论即可;
(2)将问题转化为方程有两个根,即可根据求得结果;
(3)分两种情况进行分类讨论,列出不等式即可求得结果.
【详解】(1)当a=0时,x=,符合题意;
当a≠0时,=(-3)2-4a=0,解得a=.
综上,集合A中仅含有一个元素时,a=0或a=.
(2)集合A中含有两个元素,即关于x的方程ax2-3x+1=0有两个不相等的实数解,
所以a≠0,且=(-3)2-4a>0,
解得a<且a≠0,
所以实数a的取值范围为且
(3)当a=0时,x=,符合题意;
当a≠0时,=(-3)2-4a≤0,即a≥.
所以实数a的取值范围为或.
【点睛】本题考查由集合的元素个数求参数的范围,属基础题.
18. 已知函数是定义在上的偶函数,且当时,
(1)求函数的解析式;
(2)若函数,求函数的最小值.
【答案】(1);(2)
【解析】
分析】(1)设,则,进而根据偶函数性质求解析式即可;
(2)由题知,进而分,,三种情况讨论求解.
【详解】解:(1)设,则,
因为是定义在上的偶函数,且当时,,
所以,
所以
(2),对称轴方程为,
当,即时,在上单调递增,为最小值;
当,即时,在上单调递减,在上单调递增,为最小值;
当,即时,在上单调递减,为最小值.
综上,
19. 已知函数在上是增函数.求实数取值范围.
【答案】a的取值范围是.
【解析】
【分析】设,根据函数在区间上单调递增,即,即可得到,再根据的取值范围即可得解;
【详解】解:设,所以
因为函数在上是增函数,
所以.
因为,所以,即
因为, ,所以,所以.
所以的取值范围是
【点睛】本题考查根据函数的单调性求参数的取值范围,属于中档题.
20. 已知函数().
(1)若在上的最大值为,求a的值;
(2)证明:函数有且只有一个零点,且.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】(1)由在上递增,可得,从而可求出a的值,
(2)由函数的单调性和零点存在性定理可证得函数有且只有一个零点,方法一:由,可得,再由,可得,则,再结合可证得结论,方法二:由得,再结单调性可得,从而可证得,由在单调递增,可得,从而可得结论
【小问1详解】
因为函数和在上递增,
所以在上递增,
又因为在上的最大值为,所以,
因为,所以解得;
【小问2详解】
证明:因为,所以,所以在上不存在零点.由(1)得在上单调递增,且,
所以在上有唯一零点,且
方法一:因为,所以,,
因为,所以,
所以, ,
由于,
所以
因为,所以,得证.
方法二:因为,有
所以
因为在单调递减,所以
当时,有,所以
有,即
因为在单调递增,所以
所以
21. 汕头市某体育用品商店购进一批滑板,每件进价为100元,售价为130元,每星期可卖出80件.商家决定降价促销,根据市场调查,每降价5元,每星期可多卖出20件.
(1)求商家降价前每星期的销售利润为多少元?
(2)降价后,商家要使每星期的销售利润最大,应将售价定为多少元?最大销售利润是多少?
【答案】(1)2400(元);(2)应将售价定为125元,最大销售利润是2500元.
【解析】
【分析】(1)由销售利润=单件成本×销售量,即可求商家降价前每星期的销售利润;
(2)由题意得,根据二次函数的性质即可知最大销售利润及对应的售价.
【详解】(1)由题意,商家降价前每星期的销售利润为(元);
(2)设售价定为元,则销售利润.
当时,有最大值2500.
∴应将售价定为125元,最大销售利润是2500元.
22. (1)已知,比较与的大小.
(2)已知,求证:.
【答案】(1)(2)见解析
【解析】
【分析】
(1)计算得到答案.
(2)根据,得到,再根据得到证明.
【详解】(1).
∵,∴.
∴∴.
(2)∵,∴,
∴,∴.∵ ∴.
【点睛】本题考查了比较式子的大小,证明不等式,意在考查学生对于不等式知识的综合应用.
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