2024届黑龙江省名校联盟高三模拟测试数学试题及参考答案

这是一份2024届黑龙江省名校联盟高三模拟测试数学试题及参考答案，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，单空题，双空题，问答题，证明题，计算题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．设复数z满足z+2z=−3−i，则z=（ ）
A．2B．2C．3D．3
2．已知x<0,y<0，且2x+y=−2，则4x+2y的最小值为（ ）
A．1B．2C．2D．22
3．已知集合A,B，若A=x∣lg3x≤1，且A∩B=0,2，则集合B可以为（ ）
A．x∣2x<4B．x∣xx−2≤0
C．y∣y=2−xD．x∣y=2−x
4．已知函数fx=csπx,x≥02x,x<0，则ff43=（ ）
A．2B．−2C．−4D．4
5．已知a=1,m,b=n,2，向量b在向量a方向上的投影向量为−12a，且a+b与向量−2,−1共线且方向相反，则（ ）
A．mn=−1B．m+n=2
C．m−n=2D．mn=1
6．若A,B,C分别为△ABC的三个内角，则“sinA>sinB”是“csA+csA+C<0”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7．若正四棱柱ABCD−A1B1C1D1与以正方形ABCD的外接圆为底面的圆柱的体积相同，则正四棱柱与该圆柱的侧面积之比为（ ）
A．π2B．2C．2πD．2π
8．已知数列an的前n项和为Sn，若a1=a2=3，且∀n≥2,n∈N*都有4Sn−Sn−1−Sn+1=0，则（ ）
A．Sn−2Sn−1是等比数列B．an=3,n=1,2n−1+1,n≥2
C．an=3,n=1,2n−1,n≥2D．S5=48
二、多选题
9．已知等差数列an的前n项和为Sn，若S2023<0,S2024>0，则下列结论正确的是（ ）
A．an是递增数列B．a1013C．S1012≤SnD．S1015>S1008
10．关于函数fx=12cs214π−2x的图象和性质，下列说法正确的是（ ）
A．x=5π8是函数fx的一条对称轴
B．7π8,0是函数fx的一个对称中心
C．将曲线y=12sin2x向左平移3π8个单位可得到曲线y=fx
D．函数fx在−π2,0的值域为−24,12
11．已知直线l:ax−y+2−2a=0与圆C:(x−4)2+(y−1)2=r2(r>0)相交于不同的两点M,N,O为坐标原点，则（ ）
A．直线l过定点2,−2
B．r∈2,+∞
C．当r=3时，MN∈4,6
D．当r=5时，CM⋅CN最小值为−25
12．在正四棱柱中ABCD−A1B1C1D1,AA1=4,AB=2,E,F分别为棱AB,CC1的中点，记α为过D1EF三点所作该正四棱柱的截面，则下列判断正确的是（ ）
A．异面直线EF与直线AA1所成角的余弦值为23
B．α与平面BCC1B1的交线与BC1平行
C．截面α为五边形
D．D点到截面α的距离为81717
三、单空题
13．已知函数fx是定义在R上的奇函数，当x<0时，fx=x−csx+1，则当x⩾0时，fx= ．
14．在平行四边形ABCD中，3BE→=ED→,CE→=λAB→+μAD→λ,μ∈R,2λ+μ= ．
15．已知球O的体积为32π3，其内接三棱锥D−ABC的底面ABC为直角三角形，且∠ACB=90∘，则三棱锥D−ABC的体积的最大值为 ．
四、双空题
16．已知f′x为函数fx的导函数，且定义域均为R，若函数f′x2+1与fx−x都是偶函数，写出函数fxx的一个对称中心为 ；f′1−1f′2+1+f′2−1f′3+1+f′3−1f′4+1+⋯+f′2023−1f′2024+1= ．
五、问答题
17．已知等差数列an公差与等比数列bn公比相同，a1=1,b2=4,b3−a6=−3．
(1)求an和bn的通项公式；
(2)记数列cn是将数列an和bn中的项从小到大依次排列而成的新数列，求数列cn前60项的和S60．
18．已知函数fx=xex,x∈R．
(1)求函数fx=xex单调区间；
(2)若过点P1,tt∈R可以作曲线y=fx的3条切线，求实数t的取值范围．
六、证明题
19．在四棱锥P−ABCD中，PB⊥AD，∠DAB=∠CDA=45∘，AD ∥ BC，且AD=2PB=4,AB=2，PD=14.
(1)证明：平面PCD⊥平面PAB；
(2)求平面PCD与平面PBC夹角的余弦值.
七、计算题
20．已知圆C:x2−mx+y2+22−my+m−1=0,m∈R．
(1)证明：圆C过定点；
(2)当m=0时，点P为直线l:x6+y3=1上的动点，过P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，求四边形PACB面积最小值，并写出此时直线AB的方程．
21．某校高中“数学建模”实践小组欲测量某景区位于“观光湖”内两处景点A，C之间的距离，如图，B处为码头入口，D处为码头，BD为通往码头的栈道，且BD=100m，在B处测得∠ABD=π4,∠CBD=π6，在D处测得∠BDC=2π3,∠ADC=3π4（A,B,C,D均处于同一测量的水平面内）
(1)求A,C两处景点之间的距离；
(2)栈道BD所在直线与A,C两处景点的连线是否垂直？请说明理由.
八、证明题
22．已知函数fx=ex+alnx2,a<0．
(1)当a=−e时，求函数fx的极值；
(2)证明：fx+2a+aln−2a≥0．
参考答案：
1．B
【分析】令z=x+yi，由z+2z=−3−i解出x,y，利用复数模的公式计算z.
【详解】依题意，令z=x+yi,x,y∈R，则z=x−yi，
所以z+2z=3x−yi=−3−i，所以x=−1,y=1，即z=−1+i，
所以z=(−1)2+12=2.
故选：B．
2．A
【分析】利用基本不等式，结合已知条件，即可得出答案.
【详解】因为x<0,y<0，所以4x+2y=22x+2y≥222x×2y=222x+y=1，当且仅当22x=2y，即2x=y=−1时，等号成立，
故选：A．
3．D
【分析】分别求解选项中的集合，再通过交集进行检验即得.
【详解】由lg3x≤1解得0对于A选项，不等式2x<4的解为x<2,此时B=(−∞,2)，A∩B=(0,2)，故A项错误；
对于B选项，不等式xx−2≤0等价于x-2≠0xx-2≤0，解得B=0,2,A∩B=(0,2)，故B项错误；
对于C选项，y∣y=2−x=0,+∞,A∩B=(0,3)，故C项错误；
对于D选项，x∣y=2−x=−∞,2,A∩B=0,2，故D项正确.
故选:D．
4．C
【分析】根据分段函数求函数值的方法结合三角函数求值得出答案.
【详解】f43=cs4π3=csπ+π3=−csπ3=−12，
f−12=2−12=−4，
故选：C.
5．A
【分析】根据向量在另一向量方向上的投影向量的求法列式整理得n+2m1+m2=−12，由两向量共线的坐标表示列式−1+n+2m+2=0，两式联立得出m=−1n=1或m=−7n=−11，再由两向量方向相反舍去m=−7n=−11，即可代入选项中判断得出答案.
【详解】∵向量b在向量a方向上的投影向量为−12a，
∴a⋅ba⋅aa=n+2m1+m2⋅a1+m2=−12a，整理得n+2m1+m2=−12⋯①，
∵a+b与向量−2,−1共线，a+b=1+n,m+2，
∴−1+n+2m+2=0⋯②，
由①②联立，解得m=−1n=1或m=−7n=−11，
又a+b与向量−2,−1方向相反，
所以m=−7n=−11舍去，所以m=−1n=1，
则mn=−1，m+n=0，m−n=−2，mn=−1，
故选：A.
6．C
【分析】由正弦定理得A>B，且A,B∈0,π，函数y=csx在0,π上单调递减，所以csA【详解】解：依题意可知，在△ABC中，由正弦定理可知asinA=bsinB，
若sinA>sinB，则a>b，
于是A>B，且A,B∈0,π，函数y=csx在0,π上单调递减，
所以csA又csA+C=−csB，则csA<−csA+C=csB，所以满足充分性；
且以上过程可逆，因此也满足必要性，
故选：C．
7．B
【分析】正四棱柱底面边长与圆柱底面半径之比已知，由正四棱柱与圆柱的体积相同，求出正四棱柱与圆柱的高之比，代入侧面积公式计算即可.
【详解】依题意，设正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面边长为a，高为h1，
圆柱的高为h2，则圆柱的底面半径为22a，
则有a2h1=π22a2h2，整理得h1h2=π2，
正四棱柱与圆柱的侧面积之比4ah12π×22a×h2=2.
故选：B．
8．D
【分析】由已知变形得递推关系Sn+1−2Sn=2Sn−2Sn−1,n≥2，再计算出S2−2S1=0，因此得出Sn=2Sn−1,n≥2，结合S1可得Sn=3×2n−1，然后由Sn求出通项an，再利用an计算出S5．从而可判断各选项．
【详解】依题意，因为4Sn−Sn−1−Sn+1=0，
即Sn+1−2Sn=2Sn−4Sn−1=2Sn−2Sn−1,n≥2，
又S2−2S1=a1+a2−2×3=0，所以Sn=2Sn−1,n≥2，又S1=a1=3，
所以数列Sn是以3为首项，2为公比的等比数列，所以Sn=3×2n−1，
n=1时，a1=S1=3，n≥2时，an=Sn−Sn−1=3×2n−2，
所以an=3,n=1,3⋅2n−2,n≥2,S5=a1+a2+a3+a4+a5=3+3+6+12+24=48，
故选：D．
9．AC
【分析】根据求和公式结合条件可得a1012<0，a1012+a1013>0可判断AB，进而得到S1012最小，从而判断CD.
【详解】依题意，S2023=2023a1+a20232=2023a1012<0，所以a1012<0，
S2024=2024a1+a20242=2024a1012+a10132>0，所以a1012+a1013>0，
所以a1013>−a1012>0，
所以数列an的公差大于0，且a1013>a1012，故A正确，B错误；
所以S1012最小，即S1012≤Sn，故C正确；
S1015−S1008=a1015+a1014+a1013+a1012+a1011+a1010+a1009=7a1012<0，故D错误，
故选：AC．
10．ABD
【分析】化简函数解析式，整体代入法或验证法求函数对称轴和对称中心判断选项AB，利用图象平移的规则判断选项C，结合函数解析式求解区间内函数的值域判断选项D.
【详解】依题意，因为fx=12cs214π−2x=12cs2x−21π4
=12cs2x−5π4−4π=12cs2x−5π4
令2x−5π4=kπ,k∈Z，x=kπ2+5π8,k∈Z，当k=0时，x=5π8，
所以x=5π8是函数fx的一条对称轴，所以A选项正确；
（另解：因为f5π8=12cs214π−2×5π8=12cs4π=12，即当x=5π8时，函数fx取得最大值，所以x=5π8是函数fx的一条对称轴）；
令2x−5π4=kπ+π2,k∈Z，x=kπ2+7π8,k∈Z，当k=0,x=7π8，
所以7π8,0是函数fx的一个对称中心，所以B选项正确；
（另解：因为f7π8=12cs214π−2×7π8=12cs7π2=0，即x=7π8是函数fx的零点，所以7π8,0是函数fx的一个对称中心）．
因为fx=12cs2x−5π4=12sin2x−5π4+π2=12sin2x−3π4=12sin2x−3π8，
又将曲线y=12sin2x向左平移3π8个单位可得到曲线y=12sin2x+3π8=12sin2x+3π4，所以C选项不正确；
因为fx=12cs2x−21π4=12cs2x+3π4−6π=12cs2x+3π4，
当x∈−π2,0， 有2x+3π4∈−π4,3π4，则cs2x+3π4∈−22,1，
得函数fx的值域为−24,12，所以D选项正确.
故选：ABD
11．CD
【分析】根据直线系确定直线过定点判断A，根据定点在圆在可判断B，求出弦的最大值与最小值判断C，根据向量数量积的定义及夹角余弦最值判断D.
【详解】由直线ax−y+2−2a=0，可化为ax−2+−y+2=0，即直线l过定点P2,2，所以A选项不正确；
因为直线l与圆C有总有两个公共点，可得点P2,2在圆C内部，
所以(2−4)2+(2−1)25，所以B不正确；
当r=3时，圆C的方程为(x−4)2+(y−1)2=9，可得圆心C4,1，又P2,2，
则CP=5，可得MN长的最小值为2r2−|CP|2=4，最大值即为直径6，所以C选项正确；
当r=5时，圆C的方程为(x−4)2+(y−1)2=25，
则CM⋅CN=CMCNcs∠MCN=25cs∠MCN，
当直线l过圆心C4,1，此时cs∠MCN=−1，可得cs∠MCN的最小值−1，
所以CM⋅CN的最小值为−25，故D正确.
故选：CD．
12．ACD
【分析】直线EF与直线CC1所成角即为所求，在Rt△EFC中求出cs∠EFC可判断A；延长DC交D1F延长线于H，连接EH交BC于I，延长HE交DA延长线于K，连接D1K交AA1于J，则五边形D1FIEJ即为截面α可判断C；α与平面BCC1B1的交线FI，由FI // D1K，BC1// AD1,AD1∩D1K=D1可得FI与BC1不平行可判断B；求出△KD1H的面积，设D点到截面α的距离为h，根据VD1−DHK=VD−D1KH，求出h可判断D.
【详解】对于A选项，如图，异面直线EF与直线AA1所成的角，即为直线EF与直线CC1
所成角，连接EC，则∠EFC即为直线EF与直线CC1所成的角，
在Rt△EFC中，FC=12CC1=2，EC=EB2+BC2=5，
则EF=EC2+FC2=3，所以cs∠EFC=FCEF=23，
所以A选项正确；
对于C选项，延长DC交D1F延长线于H，连接EH交BC于I，
延长HE交DA延长线于K，连接D1K交AA1于J，
则五边形D1FIEJ即为平面D1EF截该四棱柱得到的截面．即截面α为五边形，
所以C选项正确；
对于B选项，α与平面BCC1B1的交线即为FI，根据左右两侧面平行和面面平行性质知FI// D1K，
又BC1//AD1，AD1∩D1K=D1，所以FI与BC1不平行，所以B选项不正确；
对于D选项，由于HCHD=HFHD1=FCDD1=12，所以HC=CD=2，
又AEHD=KAKD=KEKH=14，所以KA=23，
KD1=KH=42+832=4313,D1H=42,△KD1H为等腰三角形，
KF=KH2−FH2=2334，
所以△KD1H的面积为S△KD1H=12D1H×KF=22×2334=8317
设D点到截面α的距离为h，则VD1−DHK=VD−D1KH，
13×12DK⋅HD×DD1=13×S△D1KH×h，
即13×12×83×4×4=13×8173×h，解得h=81717，
即D点到截面α的距离为81717，所以D选项正确.
故选：ACD．
【点睛】关键点睛：本题选项D中解决的关键点是利用等体积转化求点到平面的距离.
13．x+csx−1
【分析】由奇函数的性质即可求解，注意当x=0时要单调独验证.
【详解】解：当x>0,−x<0,f−x=−x−cs−x+1，又因为fx为R上的奇函数，
所以f−x=−fx=−x−cs−x+1，解得fx=x+csx−1，
又f0=0+cs0−1=0，所以当x≥0,fx=x+csx−1．
故答案为：x+csx−1.
14．−54
【分析】利用平面向量的线性运算.
【详解】由平行四边形ABCD,3BE→=ED→，
可知BD=4BE，则CD−CB=4CE−CB，
整理得CE=14CD+34CB=14BA−34BC，
则CE=−14AB−34AD，
所以2λ+μ=−54.
故答案为：−54.
15．25681/31381
【分析】先用基本不等式确定底面积最大值，再表示出所求体积后利用导数即可求解.
【详解】设AB的中点为O1，四面体ABCD的外接球的球心为O，
因为∠ACB=90∘，所以O1为△ACB外接圆的圆心，
即点O1为四面体ABCD的外接球过A,B,C三点的截面圆的圆心，
圆O1的半径为r，则AB=2r，
因为AC2+BC2=AB2=4r2，
所以S△ABC=12AC⋅BC≤12⋅AC2+BC22=r2，
当且仅当AC=BC时，取等号，
即当且仅当△ACB为等腰直角三角形时，△ACB的面积最大，
连接O1O并延长交球面于一点，若使得四面体ABCD的体积最大，则该交点应为点D，DO1即为四面体ABCD的高，设OO1=x,x∈0,2，
因为球的体积为32π3，所以球半径为2，则有x2+r2=4,DO1=x+2，
则V四面体ABCD=13SABC⋅DO1≤13r2x+2=134−x2x+2=−13x3−23x2+43x+83，
令fx=−13x3−23x2+43x+83(0≤x<2)，
则f′x=−x2−43x+43=−13x+23x−2，
当00，当23所以fx在0,23上单调递增，在23,2上单调递减，
所以f(x)max=f23=25681，
所以三棱锥D−ABC的体积的最大值为25681．
故答案为：25681．
16． 0,1 0
【分析】第一空利用奇偶性结合换元法求对称中心即可，第二空结合对称性和周期性的知识综合求解即可.
【详解】依题意，因为fx−x为偶函数，所以fx−x=f−x+x，即fxx+f−x−x=2，
令hx=fxx，则hx+h−x=2，所以hx关于点0,1对称，所以函数fxx的一个对称中心为0,1，
因为f′x2+1为偶函数，所以f′x2+1=f′−x2+1，所以函数f′x的图象关于直线x=1对称，即f′1+x=f′1−x,f′2+x=f′−x，
又因为fx−x=f−x+x，
所以f′x−1=−f′−x+1，所以f′x+f′−x=2，
f′2+x+f′x=2,f′4+x+f′2+x=2，
所以f′4+x=f′x，即函数f′x是周期为4的周期函数，
f′4−1=f′−1，即f′3=f′−1,f′0=f′4
f′1+f′−1=2,f′2+f′−2=2,f′2=f′−2，所以f′2=f′−2=1
f′3+f′1=2，所以f′0=f′4=1，
所以f′2+f′4=2
所以f′x+1⋅f′x也是周期为4的周期函数，
f′1−1f′2+1+f′2−1f′3+1+f′3−1f′4+1+⋯+
f′2023−1f′2024+1=
=f′1⋅f′2+f′1−f′2−1+f′2⋅f′3+f′2−f′3−1+
f′3⋅f′4+f′3−f′4−1++f′2023⋅f′2024+f′2023−f′2024−1
=f′1⋅f′2+f′2⋅f′3++f′2023⋅f′20244+f′1−f′2024−2023
=506f′1⋅f′2+f′2f′3+f′3f′4+f′4f′5−f′2024f′2025 +f′1−f′2024−2023
=506f′1⋅f′2+f′2f′3+f′3f′4+f′4f′5−f′0f′1+f′1−f′0 −2023
=506f′1+f′3f′2+f′4−f′0f′1+f′1−f′0−2023
=506×2×2−f′1+f′1−f′0−2023
=0
17．(1)an=2n−1,bn=2n；
(2)3042.
【分析】（1）根据给定条件，结合等差等比数列通项求出公差，求出通项即得.
（2）确定数列cn前60项中，数列an和bn的项数，再利用前n项和公式计算即得.
【详解】（1）设等比数列bn的公比为tt≠0，则等差数列an的公差为t，
则b3−a6=b2⋅t−a1+5t=−3，即4t−1+5t=−3，解得t=2，
所以an=1+2n−1=2n−1,bn=b22n−2=2n．
（2）数列bn中的项从小到大依次为2,4,8,16,32,64,128，而a50=99,a60=119，
依题意，新数列cn的前60项中，数列bn的项只有前6项，数列an有54项，
所以S60=(1+3+5+7+⋯+107)+(2+4+8+16+32+64) =54(1+107)2+126 =3042.
18．(1)单调递增区间是−1,+∞；单调递减区间是−∞,−1
(2)−5e2,0
【分析】（1）求出函数的导数，解不等式，即可求得函数单调区间；
（2）设切点坐标为x0,y0，利用导数的几何意义求出切线方程，推出方程t=ex0−x02+x0+1有三个不等实数根，构造函数，将方程根的问题转化为函数y=t,y=ex0−x02+x0+1图像的交点问题，利用导数判断函数的性质，作出函数图像，数形结合，即可求解.
【详解】（1）函数fx的定义域为R，f′x=ex+xex=exx+1，
令f′x>0，解得x>−1，所以函数fx的单调递增区间是−1,+∞；
令f′x<0，解得x<−1，所以函数fx的单调递减区间是−∞,−1
（2）由题意可得f′x=x+1ex，
设切点坐标为x0,y0，则切线斜率k=x0+1⋅ex0，
所以切线方程为y−x0ex0=x0+1⋅ex0x−x0，
将P1,t代入得t=ex0−x02+x0+1．
因为存在三条切线，即方程t=ex0−x02+x0+1有三个不等实数根，
方程t=ex0−x02+x0+1有三个不等实数根等价于函数y=t,y=ex0−x02+x0+1的图像有三个交点，
设gx=−x2+x+1ex，则g′x=−x−1x+2ex，
当x∈−2,1时，g′x>0,gx在−2,1上单调递增；
在−∞,−2和1,+∞上，g′x<0,gx在−∞,−2和1,+∞上单调递减，
g−2=−5e2，g1=e；
当x<1−52或x>1+52时，gx<0，1−520，
当x→-∞时，gx→0；当x→+∞时，gx→-∞，
画出gx=−x2+x+1ex的图象如图，
要使函数y=t,y=ex0−x02+x0+1的图像有三个交点，需g2即−5e2【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于根据过点P1,tt∈R可以作曲线y=fx的3条切线，求解参数的范围，解答时要利用导数的几何意义求出切线方程，即要使得方程t=ex0−x02+x0+1有三个不等实数根，构造函数，转化为函数的图像的交点问题，利用导数判断函数性质，数形结合，即可求解.
19．(1)证明见解析
(2)33
【分析】（1）先由余弦定理求得BD=10，再由勾股定理及线面垂直的判定定理证明PB⊥底面ABCD，则有BH⊥PB，由勾股定理得BH⊥AB，从而利用线面垂直的判定定理得DC⊥平面PAB，进而利用面面垂直的判定定理证明即可；
（2）解法一：建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，然后利用夹角公式计算即可；
解法二：利用二面角的定义作出二面角的平面角，然后在直角三角形中求解余弦值即可.
【详解】（1）连接BD，因为∠BAD=45∘,AB=2,AD=4，
由余弦定理可得BD2=16+2−2×4×2cs45∘=10，所以BD=10，
在△PBD中，PD=14,PB=2,BD=10，则PD2=PB2+BD2，所以PB⊥BD，
又PB⊥AD,AD∩BD=D，AD平面ABCD，BD平面ABCD，所以PB⊥底面ABCD，
依题意可知ABCD为等腰梯形，AB=2，可得BC=2，取AD中点H，连接BH，
则BC=DH=2,BC ∥ DH，所以四边形BCDH为平行四边形，DC ∥ BH，
又BH=BA=2,AH=2，所以BH⊥AB，又PB⊥平面ABCD，BH⊂平面ABCD，
所以BH⊥PB，又PB∩AB=B，PB⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，
所以BH⊥平面PAB，所以DC⊥平面PAB，又DC⊂平面PCD，
所以平面PCD⊥平面PAB.
（2）解法1：如图，以B为坐标原点，BH、BA、BP为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，
B0,0,0,C2,−2,0,D22,−2,0,P0,0,2，
PC=2,−2,−2,DC=−2,0,0,BC=2,−2,0，
设平面PCD法向量为m=x,y,z，
则PC⋅m=2x−2y−2z=0,DC⋅m=−2x=0，
取z=−1，得m=0,2,−1，
同理，设平面PBC法向量为n=a,b,c，
则PC⋅m=2a−2b−2c=0,BC⋅n=2a−2b=0，取a=1，得n=1,1,0，
由题意，csm,n=m⋅nmn=23⋅2=33.
设平面PCD与平面PCB的夹角为θ，则csθ=csm,n=33.
解法2：由（1）可知，PB⊥平面ABCD,PB⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面ABCD，
过D作DH⊥BC，则DH⊥平面PBC垂足为H，PC⊂平面PBC，则DH⊥PC，
过H作PC的垂线，垂足为E，连DE，
由于HE⊥PC,DH⊥PC,HE∩DH=H,HE,DH⊂平面DEH，
所以PC⊥平面DEH,DE⊂平面DEH，故PC⊥DE，
则∠DEH为所求二面角夹角的平面角，
因为PB=BC=2,PB⊥BC，所以∠BCP=π4，
又AB=CD=2，则DH=CDsinπ4=1,CH=DH=1,HE=HCsinπ4=22，
所以DH=12+222=62，所以cs∠DEH=HEDE=2262=33.
所以平面PCD与平面PBC夹角的余弦值为33.
20．(1)证明见解析
(2)面积最小值为53，2x+4y+3=0
【分析】（1）依题意改写圆的方程，令参数的系数为0即可；
（2）依题意表示出所求面积，再用点到直线的距离公式即可求解.
【详解】（1）依题意，将圆C的方程x2−mx+y2+22−my+m−1=0化为
x2+y2+4y−1+1−x−2ym=0，
令1−x−2y=0，即x=1−2y，则(1−2y)2+y2+4y−1=0恒成立，
解得x=1,y=0，即圆C过定点1,0；
（2）当m=0时，圆C:x2+(y+2)2=5，
直线l:x6+y3=1，
设Ps,t，依题意四边形PACB的面积S=2S△PAC=2×12PA×5，
当PA取得最小值时，四边形PACB的面积最小，
又PA=|PC|2−5，即当PC最小时，四边形PACB的面积最小，
圆心C0,−2到直线l:x6+y3=1的距离即为PC的最小值，
即PC|min=0−4−65=25,PA|min=(25)2−5=15
Smin=15×5=53，即四边形PACB面积最小值为53，
此时直线PC与直线l垂直，
所以直线PC的方程为y=2x−2，与直线l联立，解得P2,2，
设以PC为直径的圆Q上任意一点Dx,y：DP→·DC→=xx-2+y+2y-2=0，
故圆Q的方程为xx−2+y+2y−2=0，
即x2+y2−2x−4=0，又圆C:x2+y2+4y−1=0，
两式作差可得直线AB方程2x+4y+3=0.
21．(1)1005m
(2)不垂直，理由见解析
【分析】（1）先在△BCD和△ABD中求出AD、CD的长度，结合∠ADC=3π4，用余弦定理即可求解；
（2）通过计算DB⋅AC即可判断BD所在直线与A,C两处景点的连线不垂直.
【详解】（1）由题意可知，在△BCD中，∠CBD=π6,∠BDC=2π3,BD=100
所以∠BCD=π−2π3−π6=π6，所以△BCD为等腰三角形，
所以BD=DC=100，
在△ABD中，∠ABD=π4,∠ADB=2π−2π3−3π4=7π12,∠BAD=π−7π12−π4=π6，BD=100，
由正弦定理：BDsin∠BAD=ADsin∠ABD，即10012=AD22，解得AD=1002
在△ACD中，AD=1002,DC=100,∠ADC=3π4，
由余弦定理：AC=(1002)2+1002−2×1002×100×−22=1005
所以A,C两处景点之间的距离为1005m
（2）在△ABD中，因为∠ADB=7π12，
cs∠ADB=cs7π12=csπ4+π3=22×12−22×32=2−64
DB⋅AC=DB⋅DC−DA=DB⋅DC−DB⋅DA
=100×100×−12−100×1002×2−64
=10000−12−2×2−64=50003−2≠0
所以栈道BD所在直线与A,C两处景点的连线不垂直.
22．(1)极小值e1+ln2，无极大值
(2)证明见解析
【分析】（1）进行二次求导，分析单调性即可求解.
（2）设函数f′x在0,+∞存在唯一零点x0，根据函数f(x)的单调性的函数的最小值f(x0)，只要fx0+2a+aln−2a≥0成立即可.
【详解】（1）当a=−e时，fx=ex−elnx2,x∈0,+∞
所以f′x=ex−ex,x∈0,+∞
令f″x=ex+ex2>0在0,+∞恒成立，所以函数f′x在0,+∞单调递增，且
f′1=0，
所以当x∈0,1,f′x<0，函数fx在0,1上单调递减；
当x∈1,+∞,f′x>0，函数fx在1,+∞上单调递增；
所以函数fx在x=1处取得极小值f1=e1+ln2，无极大值；
（2）当a<0时，fx=ex+alnx2,x∈0,+∞
所以f′x=ex+ax,x∈0,+∞．
令gx=f′x,g′x=ex−ax2>0在0,+∞恒成立
所以函数gx在0,+∞单调递增，
且当x→0时，f′x=ex+ax→−∞；当x→+∞时，f′x=ex+ax→+∞，
所以函数f′x=ex+ax在0,+∞存在唯一零点x0，
即f′x0=ex0+ax0=0,ex0=−ax0，
且当x∈0,x0,f′x<0，函数fx在0,x0上单调递减；
当x∈x0,+∞,f′x>0，函数fx在x0,+∞上单调递增,
所以函数fx在x=x0处取得极小值fx0=ex0+alnx02,
也为最小值，
要证不等式fx+2a+aln−2a≥0成立，
即证fx0+2a+aln−2a≥0成立，
即ex0+alnx02+2a+aln−2a=−ax0+alnx02+ln−2a+2a
=−ax0+2a+aln−x0a
=−ax0+−ax0+2a
=−a1x0+x0+2a
≥2−a+2a=0
当且仅当1x0=x0时，即x0=1时，等号成立，
所以fx+2a+aln−2a≥0.
【点睛】利用导数比较大小、利用导数证明不等式，常常通过构造函数，把不等式转化为确定函数的单调性，利用单调性得函数值的大小，为此需要求导，利用导数确定单调性，在此过程中可能需要多次求导（当然需要多次构造函数）才能得出最终结论．