统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷四热点问题专练热点五基本不等式理（附解析）

这是一份统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷四热点问题专练热点五基本不等式理（附解析），共6页。
A．100B．81C．36D．9
2．[2023·上海市交通大学附属中学高三月考](基本不等式)已知a>0，b>0，若a＋b＝4，则( )
A．a2＋b2有最小值B．eq \r(ab)有最小值
C．eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)有最大值D．eq \f(1,\r(a)＋\r(b))有最大值
3．[2023·广东省东莞市东华高级中学联考](基本不等式)已知m>0，n>0，m＋n＝6，则eq \f(2,m)＋eq \f(8,n)的最小值是( )
A．4eq \r(2)B．4C．eq \r(6)D．3
4．[2023·湖北十一校联考(一)](基本不等式)设a>0，b>0，则“eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)≤4”是“ab≥eq \f(1,4)”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5．[2023·山东大联考](基本不等式)已知实数x，y满足x＋eq \f(1,x)＋9y＋eq \f(1,y)＝17，其中x>0，y>0，则eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)的最小值为( )
A．eq \f(1,16)B．1C．2D．16
6．[2023·新疆库车县乌尊镇中学月考](基本不等式)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是( )
A．eq \f(24,5)B．eq \f(28,5)C．5D．6
7．[2023·山东新高考质量测评联盟联考](基本不等式)已知10，若不等式eq \f(4,a)＋eq \f(1,b)≥eq \f(m,a＋b)恒成立，则m的最大值为( )
A．10B．12C．16D．9
9．[2023·江西省南昌市第一中学月考](与解三角形结合)在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且asin2B＋bsinA＝0，若a＋c＝2，则边b的最小值为( )
A．eq \r(2)B．3eq \r(3)C．2D．eq \r(3)
10．[2023·辽宁省凌海市第二高级中学高三月考](与向量结合)点A，B，C为直线l上互异的三点，点P∉l，若eq \(PA,\s\up6(→))＝xeq \(PB,\s\up6(→))＋yeq \(PC,\s\up6(→))(x>0，y>0)，则eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)的最小值为( )
A．16B．17C．18D．19
11．(与数列结合)在各项均为正数的等比数列{an}中，a6＝3，则a4＋a8( )
A．有最小值6B．有最大值6
C．有最大值9D．有最小值3
12．(直线与圆＋基本不等式)若直线l：ax－by＋2＝0(a>0，b>0)经过圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心，则eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)的最小值为( )
A．2eq \r(2)B．eq \r(2)C．2eq \r(2)＋1D．eq \r(2)＋eq \f(3,2)
[答题区]
13.(与三角函数结合)eq \f(9,sin2α)＋eq \f(1,cs2α)的最小值为________．
14．[2023·天津市经济技术开发区第一中学期中](与数列结合)已知首项与公比相等且不为1的等比数列{an}中，若m，n∈N*，满足ama eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) ＝a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) ，则eq \f(2,m)＋eq \f(1,n)的最小值为________．
15．[2023·山东省德州市高三上学期期中考试](与直线方程结合)若点A(2，1)在直线mx＋ny－1＝0上，且m>0，n>0.则eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)的取值范围为________．
16．(基本不等式成立的条件)已知函数f(x)＝x＋eq \f(4,x)，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))，∃x2∈[2，3]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是________．
热点（五） 基本不等式
1．C 已知x>0，y>0，且eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1，所以eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)≥2eq \r(\f(1,x)×\f(9,y))，即1≥2eq \r(\f(9,xy))，故xy≥36，当且仅当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＝\f(9,y)，,\f(1,x)＋\f(9,y)＝1，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝18))时等号成立．所以xy的最小值为36.故选C.
2．A 由题意，可知a>0，b>0，且a＋b＝4，
因为a>0，b>0，则a＋b≥2eq \r(ab)，即ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2)＝4，
所以a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝16－2ab≥16－2×4＝8，
当且仅当a＝b＝2时，等号成立，取得最小值8，故选A.
3．D 因为m>0，n>0，m＋n＝6，
所以eq \f(2,m)＋eq \f(8,n)＝eq \f(1,6)（m＋n）eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,m)＋\f(8,n)))＝eq \f(1,6)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10＋\f(2n,m)＋\f(8m,n)))≥3，
当且仅当eq \f(2n,m)＝eq \f(8m,n)，即m＝2，n＝4时取等号．故选D.
4．A 因为a>0，b>0，所以4≥eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)≥2eq \r(\f(1,a)·\f(1,b))，当且仅当a＝b时取等号，则2≥eq \f(1,\r(ab))，所以ab≥eq \f(1,4)；若ab≥eq \f(1,4)，取a＝eq \f(1,4)，b＝1，则eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝4＋1＝5>4，即eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)≤4不成立．
所以“eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)≤4”是“ab≥eq \f(1,4)”的充分不必要条件，故选A.
5．B 因为x＋eq \f(1,x)＋9y＋eq \f(1,y)＝17，所以x＋9y＝17－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(1,y)))，因为x>0，y>0，所以（x＋9y）eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(1,y)))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(17－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(1,y)))))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(1,y)))，又（x＋9y）eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(1,y)))＝10＋eq \f(x,y)＋eq \f(9y,x)≥10＋2eq \r(\f(x,y)·\f(9y,x))＝16，当且仅当eq \f(x,y)＝eq \f(9y,x)时取“＝”，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝\f(4,3)))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,4),y＝\f(1,12)))时取“＝”，所以eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(17－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(1,y)))))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(1,y)))≥16．
令eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝t，则17t－t2≥16，即t2－17t＋16≤0，解得1≤t≤16，即1≤eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)≤16，
当且仅当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝\f(4,3)))时，eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)≥1取“＝”，当且仅当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,4),y＝\f(1,12)))时，eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)≤16取“＝”，所以eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)的最小值为1.故选B.
6．C 由已知可得eq \f(3,5x)＋eq \f(1,5y)＝1，
则3x＋4y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5x)＋\f(1,5y)))（3x＋4y）＝eq \f(9,5)＋eq \f(4,5)＋eq \f(12y,5x)＋eq \f(3x,5y)≥eq \f(13,5)＋eq \f(12,5)＝5，当且仅当eq \f(12y,5x)＝eq \f(3x,5y)等号成立，所以3x＋4y的最小值为5，故选C.
7．C ∵10，
∴eq \f(2,m－1)＋eq \f(3,4－3m)＝9＋eq \f(6（4－3m）,3m－3)＋eq \f(3（3m－3）,4－3m)≥9＋6eq \r(2)，
当且仅当eq \f(6（4－3m）,3m－3)＝eq \f(3（3m－3）,4－3m)，又10，且不等式eq \f(4,a)＋eq \f(1,b)≥eq \f(m,a＋b)恒成立，
所以m≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,a)＋\f(1,b)))（a＋b）恒成立，
等价于m≤eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,a)＋\f(1,b)))（a＋b）))eq \s\d7(min).
因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,a)＋\f(1,b)))（a＋b）＝5＋eq \f(4b,a)＋eq \f(a,b)≥5＋2eq \r(\f(4b,a)·\f(a,b))＝9（当且仅当eq \f(4b,a)＝eq \f(a,b)，即a＝2b时取等号），所以m≤9.
即m的最大值为9，故选D.
9．D 根据asin2B＋bsinA＝0由正弦定理可得sinAsin2B＋sinBsinA＝0，
即2sinAsinBcsB＋sinBsinA＝0，∵sinA≠0，sinB≠0，∴csB＝－eq \f(1,2)，∴B＝eq \f(2π,3)，
由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accsB＝a2＋c2＋ac＝（a＋c）2－ac＝4－ac.
∵a＋c＝2≥2eq \r(ac)，∴ac≤1.∴b2＝4－ac≥3，即b≥eq \r(3)，
故边b的最小值为eq \r(3).故选D.
10．A 因为点A，B，C为直线l上互异的三点，所以存在实数t，使得eq \(AB,\s\up6(→))＝teq \(AC,\s\up6(→))（t≠1），
又点P∉l，所以eq \(PB,\s\up6(→))－eq \(PA,\s\up6(→))＝t（eq \(PC,\s\up6(→))－eq \(PA,\s\up6(→))），则（t－1）eq \(PA,\s\up6(→))＝teq \(PC,\s\up6(→))－eq \(PB,\s\up6(→))，
因此eq \(PA,\s\up6(→))＝eq \f(t,t－1)eq \(PC,\s\up6(→))－eq \f(1,t－1)eq \(PB,\s\up6(→))，又eq \(PA,\s\up6(→))＝xeq \(PB,\s\up6(→))＋yeq \(PC,\s\up6(→))，所以x＋y＝eq \f(t,t－1)－eq \f(1,t－1)＝1，
所以eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(9,y)))（x＋y）＝1＋9＋eq \f(y,x)＋eq \f(9x,y)≥10＋2eq \r(9)＝16，
当且仅当eq \f(y,x)＝eq \f(9x,y)，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,4),y＝\f(3,4)))时，等号成立．故选A.
11．A 设等比数列{an}的公比为q（q>0）.
∵a6＝3，∴a4＝eq \f(a6,q2)＝eq \f(3,q2)，a8＝a6q2＝3q2，
∴a4＋a8＝eq \f(3,q2)＋3q2≥2eq \r(\f(3,q2)·3q2)＝6，
当且仅当eq \f(3,q2)＝3q2，即q＝1时，等号成立，故选A.
12．D 直线ax－by＋2＝0（a>0，b>0）经过圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心，所以圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心（－1，2）在直线ax－by＋2＝0上，代入直线方程可得－a－2b＋2＝0，即a＋2b＝2，所以eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(1,2)（a＋2b）eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝eq \f(3,2)＋eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2b,a)＋\f(a,b)))≥eq \f(3,2)＋eq \r(\f(2b,a)·\f(a,b))＝eq \f(3,2)＋eq \r(2)，当且仅当eq \f(2b,a)＝eq \f(a,b)时等号成立，所以eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)的最小值为eq \f(3,2)＋eq \r(2)，故选D.
13．答案：16
解析：eq \f(9,sin2α)＋eq \f(1,cs2α)＝（sin2α＋cs2α）eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,sin2α)＋\f(1,cs2α)))＝9＋1＋eq \f(9cs2α,sin2α)＋eq \f(sin2α,cs2α)≥9＋1＋2eq \r(\f(9cs2α,sin2α)·\f(sin2α,cs2α))＝16.
14．答案：eq \f(2,3)
解析：设等比数列{an}公比为q，则首项a1＝q，
由ama eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) ＝a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) 得a1qm－1·（a1qn－1）2＝（a1q5）2，则qm＋2n＝q12，
∴m＋2n＝12.
∴eq \f(2,m)＋eq \f(1,n)＝eq \f(1,12)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,m)＋\f(1,n)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m＋2n))＝eq \f(1,12)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(4n,m)＋\f(m,n)＋2))＝eq \f(1,12)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4＋\f(4n,m)＋\f(m,n)))
∵m，n∈N*，∴eq \f(4n,m)>0，eq \f(m,n)>0，
则eq \f(4n,m)＋eq \f(m,n)≥2eq \r(\f(4n,m)·\f(m,n))＝4（当且仅当eq \f(4n,m)＝eq \f(m,n)，即2n＝m时取等号），即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4n,m)＋\f(m,n)))eq \s\d7(min)＝4，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,m)＋\f(1,n)))eq \s\d7(min)＝eq \f(1,12)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4＋4))＝eq \f(2,3).
15．答案：[3＋2eq \r(2)，＋∞）
解析：因为点A（2，1）在直线mx＋ny－1＝0上，所以2m＋n＝1.
因为m>0，n>0，
所以eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＝（2m＋n）eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,m)＋\f(1,n)))＝3＋eq \f(2m,n)＋eq \f(n,m)≥3＋2eq \r(\f(2m,n)·\f(n,m))＝3＋2eq \r(2).
当且仅当eq \f(2m,n)＝eq \f(n,m)，即m＝1－eq \f(\r(2),2)，n＝eq \r(2)－1时取等号．
故eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)的取值范围为[3＋2eq \r(2)，＋∞）.
16．答案：（－∞，1]
解析：∀x1∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))，∃x2∈[2，3]，使得f（x1）≥g（x2），
等价于f（x1）min≥g（x2）min，x1∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))，x2∈[2，3].
因为f（x）＝x＋eq \f(4,x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))上单调递减，
所以在该区间上f（x）min＝f（1）＝1＋eq \f(4,1)＝5.
因为g（x）＝2x＋a在区间[2，3]上单调递增，
所以在该区间上g（x）min＝g（2）＝22＋a＝4＋a.
所以5≥4＋a，解得a≤1，
即实数a的取值范围是（－∞，1].
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案