河南省驻马店市新蔡县2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份河南省驻马店市新蔡县2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列式子一定是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．若关于x的方程是一元二次方程，则实数m的值为（ ）
A．B．1C．D．2
3．的平方根是（ ）
A．±4B．±2C．-2D．2
4．关于x的一元二次方程 根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．无实数根D．无法确定
5．用配方法解方程，配方后的方程是（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，G，F分别为AD、BC边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF的长为( )
A．2B．3C．4D．5
7．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，是三个正方形拼成的一个长方形，则∠1+∠2+∠3=（ ）
A．60°B．75°C．90°D．105°
9．如图，平行四边形ABCD中，对角线为AC，且AC⊥CD，以点B为圆心，以适当长度为半径作弧，交AB、BC于点M、N两点，再分别以M、N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP分别交AC、AD于QE，若AB＝1，BC＝，则AQ的长度为（ ）
A．2B．C．D．
10．如图，在等边三角形中，，点D是边上一点，且，点P是边上一动点（D、P两点均不与端点重合），作，交边于点E．若，当满足条件的点P有且只有一个时，则a的值为（ ）
A．2B．C．3D．4
二、填空题（本大题共5小题，共15分）
11．若，则 ．
12．观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是 ．
13．在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：，则方程的解为 ．
14．等腰三角形一边长是3，另两边长是关于x的方程的两个根，则k的值为 ．
15．如图，在中，分别为上的点，沿直线将折叠，使点B恰好落在上的D处，当恰好为直角三角形时，的长为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16．（1）计算：
（2）解方程：
17．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣3x+2＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，求此时方程的根．
18．如图，已知直线分别截直线于点，截直线于点，且．
(1)如果，求的长；
(2)如果，求的长．
19．如图，折叠矩形的一边，使点落在边上的点处，已知折痕，且．
(1)求证：；
(2)求矩形的周长．
20．如图，已知，为了求边的长，小亮想出了一个好办法：将边反向延长至点，使，连接，从而小亮发现图中存在一对相似三角形，问题便迎刃而解了！
(1)请你找出这对相似三角形，并进行证明；
(2)求边的长．
21．某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．
(1)设每件童装降价x元时，每天可销售_______________件，每件盈利____________元；（用x的代数式表示）
(2)每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元．
(3)要想平均每天赢利2000元，可能吗？请说明理由．
22．如图，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从点A出发，沿AB以4cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，沿CA以3cm/s的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为xs．

(1)当时，求x的值．
(2)△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由．
23．（）问题发现
如图（），在和中，，，，连接交于点．填空：
的值为______；的度数为______．
（）类比探究
如图（），在和中，，，连接，交的延长线于点．请求出的值及的度数，并说明理由．

参考答案与解析
1．C
【分析】根据二次根式的定义：形如的式子逐项判断即可．
【详解】解：A、缺少条件，不一定是二次根式，本选项不符合题意；
B、为三次根式，不符合二次根式的定义，本选项不符合题意；
C、，是二次根式，本选项符合题意；
D、，缺少条件，不一定是二次根式，本选项符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，熟知二次根式的概念是关键．
2．C
【分析】根据二次项系数不为零，最高次项的次数为2，求解即可．
【详解】∵关于x的方程是一元二次方程，
∴，
∴，且，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义即形如的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键．
3．B
【分析】先化简，再根据平方根的概念求解即可．
【详解】， ，
∴的平方根是±2，
故选：B．
【点睛】本题考查了算术平方根和平方根，这个题很基础但是个易错题，要特别注意．
4．B
【分析】求出一元二次方程根的判别式△=b2-4ac，根据平方数的非负性确定△==>0，即可得出根的情况．
【详解】解：△===，
∵≥0，
∴>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故答案为：B．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式与根个数的关系，解答此题的关键是掌握当b2-4ac>0,方程有两个不相等的实数根；b2-4ac=0,方程有两个相等的实数根；b2-4ac<0,方程没有实数根．
5．D
【分析】方程常数项移到右边，二次项系数化为1，两边加上一次项系数一半的平方，即可得到结果．
【详解】解：方程，
变形得：，
配方得：，即(x+)2=，
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
6．B
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°，
∴∠AGE+∠AEG=90°，∠BFE+∠FEB=90°，
∵∠GEF=90°，
∴∠GEA+∠FEB=90°，
∴∠AGE=∠FEB，∠AEG=∠EFB，
∴△AEG∽△BFE，
∴，
又∵AE=BE，
∴AE2=AG•BF=2，
∴AE=（舍负），
∴GF2=GE2+EF2=AG2+AE2+BE2+BF2=1+2+2+4=9，
∴GF的长为3，
故选B.
【点睛】本题考查了相似三角形的性质的应用，利用勾股定理即可得解，解题的关键是证明△AEG∽△BFE．
7．D
【分析】根据二次根式的加、减、乘运算法则和算式平方根的定义逐一计算即可得到答案．
【详解】解：A．，计算错误，不符合题意，选项错误；
B．，计算错误，不符合题意，选项错误；
C．，计算错误，不符合题意，选项错误；
D．，计算正确，符合题意，选项正确，
故选D．
【点睛】本题考查了二次根式的加、减、乘运算和算术平方根的定义，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
8．C
【详解】【分析】容易看出∠3=45°,关键求出∠2与∠1的和是45°，根据证∆AIJ~∆CIA,得∠2=∠CAI,再由∠1+∠2=∠CAI+∠CAD =45°可推出结果.
【详解】如图
设三个小正方形的边长为1个单位．
在正方形ABCD中∠3=45°，则∠AIC=135°，且∠1=∠CAD．
∵∠AIJ=∠CIA，
,
,
即，
所以∆AIJ~∆CIA,
所以∠2=∠CAI,
又∠1=∠CAD，
则∠1+∠2=∠CAI+∠CAD =45°，
∴∠1+∠2+∠3=90°．
故正确选项为：C
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：如果两个三角形的两条对应边的比相等，且它们所夹的角也相等，那么这两个三角形相似；相似三角形对应角相等，对应边的比相等．也考查了勾股定理以及正方形的性质．
9．C
【分析】根据作图，可得BE平分∠ABC，作QFBC，可得△AFQ是等腰直角三角形，△FBQ是等腰三角形，进而求得结果．
【详解】解：如图，过点Q作QFBC，
由题意得，
BE平分交∠ABC，
∵AC⊥CD，
∴∠ACD=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ABCD，
∴∠BAC=∠ACD=90°，
∴，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ABE=22.5°，
∴∠AFQ=∠ABC=45°，
∵∠FQB=∠AFQ-∠ABQ=22.5°，
∴∠ABQ=∠FQB，
∴
∴，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查了角平分线的画法和判定，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，解决问题的关键是作辅助线，构造是等腰直角三角形．
10．D
【分析】先证明，利用相似三角形的性质得出比例式，进而建立关于的一元二次方程，再判别式为0，建立方程求解，即可得出结论．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵满足条件的点P有且只有一个，
∴方程有两个相等的实数根，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了等式的性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．
11．##0.6
【分析】根据可得：，代入运算求解即可．
【详解】∵，
∴，
∴把代入得：
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了比例的性质，掌握比例的性质，正确计算是解题的关键．
12．
【分析】观察表格可得当时， ，当时， ，可得到一元二次方程的解介于1.6与1.7之间，即可求解．
【详解】解∶根据题意得∶当时， ，
当时， ，
∴一元二次方程的解介于1.6与1.7之间，
即．
故答案为：
【点睛】本题考查估算一元二次方程的近似解问题，解题的关键是从表格中找出两个x的值使得比较接近0，本题属于基础题型．
13．，
【分析】根据新定义得到，由得到，利用配方法解方程即可．此题考查了解一元二次方程，根据题意得到一元二次方程是解题的关键．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
则，
∴，
，
开平方得，，
∴，
∴，
故答案为：，．
14．3或4．
【分析】分等腰三角形的腰长为3和底边为3两种情形求解即可．
【详解】当等腰三角形的腰长为3时，则另一边长为3，
∵另两边长是关于x的方程的两个根，
∴x=3是方程的根，
∴，
∴k=3,
∴，
∴x=3或x=1，
∴等腰三角形的三边为3,3,1，存在，
当等腰三角形的底边为3时，则两腰为方程的根，
∵另两边长是关于x的方程的两个根，
∴，
∴k=4,
∴，
∴，
∴等腰三角形的三边为2,2，3，存在，
综上所述，k=3或k=4，
故答案为：3或4．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与等腰三角形的边长之间的关系，灵活运用分类思想，根的定义，根的判别式是解题的关键．
15．或
【分析】先在中利用勾股定理求出，再根据折叠的性质得到，直线将折叠，使点B恰好落在上的D处，恰好为直角三角形，有两种可能：①，②，设，运用三角形相似列比例式解方程即可得解．
【详解】解：∵在中，，
∴．
根据折叠的性质可知，
设，则．
分类讨论：①当时，则，
∴，
∴，即，
解得：；
②当时，则，
∴，即，
解得：；
故所求的长度为：或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理以及相似三角形的判定和性质．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
16．（1）（2），
【分析】本题主要考查了二次根式混合运算和解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握运算方法，准确计算．
（1）先利用二次根式性质进行化简，然后再根据二次根式混合运算法则进行计算即可；
（2）用分解因式法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：，
原方程可化为：，
整理得：，
分解因式得：
∴，
解得：，．
17．（1）且m≠1；（2）x1＝1，x2＝2．
【分析】（1）由方程有两个相等的实数根得△=b2﹣4ac≥0，可得关于m的不等式，解之可得m的范围，再结合一元二次方程的定义，可得答案；
（2）根据题意并由（1）知m=2，代入方程，再用因式分解法，即可求解．
【详解】解：（1）∵△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4（m﹣1）×2=﹣8m+17，
依题意，得 ，
解得且m≠1；
（2）∵m为正整数，结合（1），
∴m=2，
∴原方程为x2﹣3x+2=0，
即，
解得x1=1，x2=2．
【点睛】本题考查一元二次方程，难度不大，熟练掌握一元二次方程根的判别式以及解法是顺利结解题的关键．
18．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了平行四分线段成比例定理，解题的关键是数形结合，得出比例线段．
（1）根据，得出，然后代入数据进行计算即可；
（2）根据， 得出，根据，求出，最后求出即可．
【详解】（1）解：∵，
，
，
，
；
（2）解：∵，
，
∵，
，
解得：，
．
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了矩形的特点、图形的折叠、相似三角形的判定定理及性质等内容．
（1）矩形的特点是四个角均为直角，折叠的部分所包含的角也是直角，利用在直角三角形中两锐角互余可得，进而可证明；
（2）利用相似三角形对应边成比例，再利用勾股定理即可得解．
【详解】（1）证明：由题意易得，
．
（2）解：
设，
．
，
，
即，
．
在中，由勾股定理，得，
（负值已舍去），
矩形的周长为．
20．(1)，证明见解析
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边对等角．
（1）由等边对等角求得，再推出，即可证明；
（2）利用相似三角形的性质列式计算即可求解．
【详解】（1）解：．
证明：，
，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
解得．
∵，
∴．
21．(1)；
(2)每件童装降价20元时，平均每天赢利1200元
(3)不可能平均每天赢利2000元，理由见解析
【分析】（1）根据销售量＝原销售量＋因价格下降增加的销售量，每件的利润＝实际售价－进价，列式即可；
（2）根据总利润＝每件的利润×销售数量，列方程求解即可；
（3）根据总利润＝每件的利润×销售数量，列方程求解即可．
【详解】（1）解：设每件童装降价x元时，每天可销售件，每件盈利元，
故答案为：，；
（2）依题可得：，
∴，
∴，
∴，，
扩大销售量，增加利润，
，
答：每件童装降价20元时，平均每天赢利1200元；
（3）根据题意得：，
∴，
∴△= =-4×1×600=-15000，
∴原方程无解.
答：不可能平均每天赢利2000元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，理解题意找出题目蕴含的等量关系是解本题的关键．
22．(1)
(2)能，AP＝cm或20cm
【分析】（1）利用平行线分线段对应成比例，列比例式进行计算即可；
（2）分类讨论：①△APQ∽△CQB，②当△APQ∽△CBQ，利用相似的性质，对应边对应成比例，列式计算即可．
【详解】（1）解：当时，AP：AB＝AQ：AC，
∵AP＝4x，AQ＝30－3x，
∴，
解得：x＝；
（2）解：∵BA＝BC
∴，
①当△APQ∽△CQB时，有，
即：，
解得：，
∴（cm），
②当△APQ∽△CBQ时，有，
即：，
解得：x＝5或x＝－10（舍去），
∴PA＝4x＝20（cm），
综上所述，当AP＝cm或20cm时，△APQ与△CQB相似．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，以及相似三角形的判定和性质．熟练掌握相关知识点是解题的关键．
23．（） ；；（），，理由见解析．
【分析】（）利用定理证出，根根三角形全等的性质可得的值；再由三角形全等的性质得，然后根据三角形的内角和定理即可得；
（）先利用相似三角形的判定定理推出，再根据相似三角形的性质得的值；与（）的解法类似，先由相似三角形的性质得，然后根据三角形的内角和定理即可得；
本题考查了三角形全等的判定定理与性质、相似三角形的判定定理与性质、三角形的内角和定理，根据已知条件推出两个三角形全等或相似是解题的关键．
【详解】（），
，
又∵，，
，
，，
，
故答案为；
设交于点，

，，
，
故答案为：；
（），．
理由如下：，
，
即，
，
，
，，
设交于点，

，，
，
．
x
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
0.09
0.34
0.61