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2024天津滨海新区田家炳中学高一上学期期中数学试题含解析
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这是一份2024天津滨海新区田家炳中学高一上学期期中数学试题含解析，文件包含天津市滨海新区田家炳中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题原卷版docx、天津市滨海新区田家炳中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题含解析docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共15页， 欢迎下载使用。
一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分）
1. 全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求再与进行交集运算即可求解.
【详解】因为全集，集合，
所以，
因为，
所以，
故选：B.
2. 下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据元素与集合的关系，集合与集合的关系逐个分析判断即可.
【详解】对于A，因为空集是集合，所以，所以A错误，
对于B，因为0属于自然数，即，所以B错误，
对于C，因为，所以C错误，
对于D，因为，所以D正确，
故选：D
3. 下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的性质，即可判断选项.
【详解】A.当，有，若，则，故A错误；
B.若，则，故B错误；
C.若，则，则，故C正确；
D.若，则，故D错误.
故选：C
4. 已知，为实数，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断.
【详解】当时，，即成立，
由，得，解得或，
所以当时，不一定成立，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A
5. 下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】逐一判断四个选项中两个函数的定义域和对应关系是否相同即可得正确选项.
【详解】对于A：定义域为，的定义域为，定义域不同不是同一函数，故选项A不正确；
对于B：与对应关系不一致，不是同一函数，故选项B不正确；
对于C：定义域为，定义域为，两个函数的定义域和对应关系都相同，所以是同一函数，故选项C正确；
对于D：由可得，所以定义域为，由可得或，所以定义域为或，定义域不同不是同一函数，故选项D不正确；
故选：C.
6. 若，则的大小关系为（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.
【详解】由在R上递增，则，
由在上递增，则.
所以.
故选：D
7. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”.在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.下面的图象对应的函数可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先由函数的定义域排除CD，再由时，排除A，即可得答案.
【详解】由图象可知，函数的定义域为，
因为的定义域为，所以排除C，
因为的定义域为，所以排除D，
因为当时，，所以排除A，
故选：B
8. 下列函数中，在区间上是增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用基本初等函数的性质对选项逐项判断即可．
【详解】解：在区间上是减函数，不符合题意；
定义域为，在区间上不单调，不符合题意；
定义域为，在区间上不单调，不符合题意；
：根据幂函数的性质可知，区间上是增函数，符合题意．
故选：．
9. 已知，且，则的最小值为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】应用基本不等式“1”的代换求最小值，注意取值条件.
【详解】由题设，
当且仅当时等号成立，故目标式的最小值为9.
故选：D
10. 函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由函数为偶函数转化为，，再利用函数在上的单调性比较即可.
【详解】因为函数是定义域为的偶函数，
则，，
又因为函数在上单调递减，且，
所以，
即；
故选：D.
11. 函数的零点所在的区间为（ ）
A. （-1，0）B. （0，）C. （，1）D. （1，2）
【答案】C
【解析】
【分析】由解析式判断各选项区间端点值的函数值符号，结合零点存在性定理确定零点的区间.
【详解】由题设，，，，，
∴零点所在的区间为（，1）.
故选：C
12. 若函数是奇函数，且在上是增函数，又，则的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可得在上递增，，所以可得当或时，；当或时，，再由，得或，从而可求得结果.
【详解】因为函数是奇函数，且在上是增函数， ，
所以在上递增，，
所以当或时，；当或时，，
因为，
所以或，
所以或，
即不等式的解集为，
故选：C
二、填空题（本题共8小题，每小题5分，共40分.其中双空题，答对一空给3分，两空全部答对给5分）
13. 计算______________.
【答案】
【解析】
【分析】应用有理数指数幂的运算性质化简求值.
【详解】原式.
故答案为：
14. 已知集合，则集合的子集有______________.
【答案】，，，
【解析】
【分析】先求出集合，再列出它的子集即可.
【详解】∵，
所以集合的子集有：，，，.
故答案为：，，，
15. 命题，的否定是______________.
【答案】，
【解析】
【分析】根据存在量词命题的否定形式写出即可.
【详解】命题的否定为.
故答案为：.
16. 函数的定义域是________.
【答案】
【解析】
【分析】根据分式和偶次根式有意义的基本要求可构造不等式求得结果.
【详解】由题意知：，解得：，的定义域为.
故答案为：.
17 已知函数，则______________.
【答案】2
【解析】
分析】由分段函数解析式，将自变量代入求值.
【详解】由解析式，则.
故答案为：
18. 已知幂函数的图像过点，则______．
【答案】16
【解析】
【分析】根据条件先算出幂函数解析式，然后再求.
【详解】由题意，，解得，故，则.
故答案为：
19. 若函数在_______________时取得最小值，最小值为______________.
【答案】 ①. 5 ②. 6
【解析】
【分析】应用基本不等式求函数最小值，并确定取值条件即可得答案.
【详解】由题设，则，
当且仅当时等号成立，函数最小值为6.
故答案为：5，6
20. 满足：对任意都有成立，a的取值范围________．
【答案】
【解析】
【分析】先判断出为减函数，列不等式组，解出a的范围.
【详解】因为对任意都有成立，
不妨设，则有，所以为减函数，
所以需满足：，解得：.
则a的取值范围.
故答案为：
【点睛】由分段函数（数列）单调性求参数的取值范围的方法：
(1)分段函数的每一段都单调；
(2)根据单调性比较端点函数值的大小.
三、解答题（本大题4小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21. 已知全集，集合，.
（1）求，；
（2）求；
（3）若集合，且，则实数的取值范围.
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）应用集合的交集并集运算即可；
（2）先求集合B的补集，再应用交集的运算即可；
（3）根据集合间的包含关系即可求解.
【小问1详解】
；
【小问2详解】
或，
【小问3详解】
因为，且，则实数的取值范围
22. 已知关于的函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围；
（3）二次函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.
【答案】（1）或
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式的解法直接求解即可；
（2）由题意可得，从而可求出实数取值范围；
（3）求出抛物线的对称轴，则由题意结合二次函数的性质可得，从而可求出实数的取值范围.
【小问1详解】
当时，即，
，解得或，
所以不等式的解集为或；
【小问2详解】
因为对任意的恒成立，
所以即得.
所以实数a的取值范围为；
【小问3详解】
因为二次函数在区间上单调递增，
又因为对称轴为
所以，得，
所以实数a的取值范围为.
23. 已知函数是定义在上的偶函数，如图当时，.
（1）求，的值；
（2）求出当时，的解析式；
（3）请在图中的坐标系中将函数的图象补充完整；并根据图象直接写出函数的单调增区间及值域.
【答案】（1），
（2）
（3）作图见解析，单调增区间，，值域
【解析】
【分析】（1）根据偶函数的性质和已知的函数解析式直接求解即可；
（2）由偶函数的性质结合已知条件求解；
（3）根据偶函数的对称性作出函数的另一部分图象，结合图象可求出函数的单调增区间和值域.
【小问1详解】
因为函数是定义在上的偶函数，当时，，
所以；；
【小问2详解】
设，则，
因为当时，，
所以，
因为是偶函数，
所以；
【小问3详解】
因为是偶函数，所以的图象关于轴对称，
所以将在轴左侧的图象关于轴对称，可得函数在轴右侧的图象，
由图象可知的单调增区间，，
当时，，
当时，，
所以值域为.
24. 已知，.
（1）判断的奇偶性并说明理由；
（2）求证：函数在上单调递增；
（3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）奇函数，理由见解析；
（2）证明见解析； （3）.
【解析】
【分析】（1）应用奇偶性定义证明的奇偶性；
（2）由单调性定义证明区间单调性；
（3）问题化为在给定区间内，利用单调性求函数最值，再解不等式求参数范围.
【小问1详解】
为奇函数，理由如下：
时，，
故为奇函数；
【小问2详解】
令，则
，
∵，则，，，，
∴，即，
所以，
∴在上单调递增.
【小问3详解】
因为对任意恒成立，
由（2）知，因为在上单调递增，
故，
所以，则，可得或，
所以.
一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分）
1. 全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求再与进行交集运算即可求解.
【详解】因为全集，集合，
所以，
因为，
所以，
故选：B.
2. 下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据元素与集合的关系，集合与集合的关系逐个分析判断即可.
【详解】对于A，因为空集是集合，所以，所以A错误，
对于B，因为0属于自然数，即，所以B错误，
对于C，因为，所以C错误，
对于D，因为，所以D正确，
故选：D
3. 下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的性质，即可判断选项.
【详解】A.当，有，若，则，故A错误；
B.若，则，故B错误；
C.若，则，则，故C正确；
D.若，则，故D错误.
故选：C
4. 已知，为实数，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断.
【详解】当时，，即成立，
由，得，解得或，
所以当时，不一定成立，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A
5. 下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】逐一判断四个选项中两个函数的定义域和对应关系是否相同即可得正确选项.
【详解】对于A：定义域为，的定义域为，定义域不同不是同一函数，故选项A不正确；
对于B：与对应关系不一致，不是同一函数，故选项B不正确；
对于C：定义域为，定义域为，两个函数的定义域和对应关系都相同，所以是同一函数，故选项C正确；
对于D：由可得，所以定义域为，由可得或，所以定义域为或，定义域不同不是同一函数，故选项D不正确；
故选：C.
6. 若，则的大小关系为（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.
【详解】由在R上递增，则，
由在上递增，则.
所以.
故选：D
7. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”.在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.下面的图象对应的函数可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先由函数的定义域排除CD，再由时，排除A，即可得答案.
【详解】由图象可知，函数的定义域为，
因为的定义域为，所以排除C，
因为的定义域为，所以排除D，
因为当时，，所以排除A，
故选：B
8. 下列函数中，在区间上是增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用基本初等函数的性质对选项逐项判断即可．
【详解】解：在区间上是减函数，不符合题意；
定义域为，在区间上不单调，不符合题意；
定义域为，在区间上不单调，不符合题意；
：根据幂函数的性质可知，区间上是增函数，符合题意．
故选：．
9. 已知，且，则的最小值为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】应用基本不等式“1”的代换求最小值，注意取值条件.
【详解】由题设，
当且仅当时等号成立，故目标式的最小值为9.
故选：D
10. 函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由函数为偶函数转化为，，再利用函数在上的单调性比较即可.
【详解】因为函数是定义域为的偶函数，
则，，
又因为函数在上单调递减，且，
所以，
即；
故选：D.
11. 函数的零点所在的区间为（ ）
A. （-1，0）B. （0，）C. （，1）D. （1，2）
【答案】C
【解析】
【分析】由解析式判断各选项区间端点值的函数值符号，结合零点存在性定理确定零点的区间.
【详解】由题设，，，，，
∴零点所在的区间为（，1）.
故选：C
12. 若函数是奇函数，且在上是增函数，又，则的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可得在上递增，，所以可得当或时，；当或时，，再由，得或，从而可求得结果.
【详解】因为函数是奇函数，且在上是增函数， ，
所以在上递增，，
所以当或时，；当或时，，
因为，
所以或，
所以或，
即不等式的解集为，
故选：C
二、填空题（本题共8小题，每小题5分，共40分.其中双空题，答对一空给3分，两空全部答对给5分）
13. 计算______________.
【答案】
【解析】
【分析】应用有理数指数幂的运算性质化简求值.
【详解】原式.
故答案为：
14. 已知集合，则集合的子集有______________.
【答案】，，，
【解析】
【分析】先求出集合，再列出它的子集即可.
【详解】∵，
所以集合的子集有：，，，.
故答案为：，，，
15. 命题，的否定是______________.
【答案】，
【解析】
【分析】根据存在量词命题的否定形式写出即可.
【详解】命题的否定为.
故答案为：.
16. 函数的定义域是________.
【答案】
【解析】
【分析】根据分式和偶次根式有意义的基本要求可构造不等式求得结果.
【详解】由题意知：，解得：，的定义域为.
故答案为：.
17 已知函数，则______________.
【答案】2
【解析】
分析】由分段函数解析式，将自变量代入求值.
【详解】由解析式，则.
故答案为：
18. 已知幂函数的图像过点，则______．
【答案】16
【解析】
【分析】根据条件先算出幂函数解析式，然后再求.
【详解】由题意，，解得，故，则.
故答案为：
19. 若函数在_______________时取得最小值，最小值为______________.
【答案】 ①. 5 ②. 6
【解析】
【分析】应用基本不等式求函数最小值，并确定取值条件即可得答案.
【详解】由题设，则，
当且仅当时等号成立，函数最小值为6.
故答案为：5，6
20. 满足：对任意都有成立，a的取值范围________．
【答案】
【解析】
【分析】先判断出为减函数，列不等式组，解出a的范围.
【详解】因为对任意都有成立，
不妨设，则有，所以为减函数，
所以需满足：，解得：.
则a的取值范围.
故答案为：
【点睛】由分段函数（数列）单调性求参数的取值范围的方法：
(1)分段函数的每一段都单调；
(2)根据单调性比较端点函数值的大小.
三、解答题（本大题4小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21. 已知全集，集合，.
（1）求，；
（2）求；
（3）若集合，且，则实数的取值范围.
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）应用集合的交集并集运算即可；
（2）先求集合B的补集，再应用交集的运算即可；
（3）根据集合间的包含关系即可求解.
【小问1详解】
；
【小问2详解】
或，
【小问3详解】
因为，且，则实数的取值范围
22. 已知关于的函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围；
（3）二次函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.
【答案】（1）或
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式的解法直接求解即可；
（2）由题意可得，从而可求出实数取值范围；
（3）求出抛物线的对称轴，则由题意结合二次函数的性质可得，从而可求出实数的取值范围.
【小问1详解】
当时，即，
，解得或，
所以不等式的解集为或；
【小问2详解】
因为对任意的恒成立，
所以即得.
所以实数a的取值范围为；
【小问3详解】
因为二次函数在区间上单调递增，
又因为对称轴为
所以，得，
所以实数a的取值范围为.
23. 已知函数是定义在上的偶函数，如图当时，.
（1）求，的值；
（2）求出当时，的解析式；
（3）请在图中的坐标系中将函数的图象补充完整；并根据图象直接写出函数的单调增区间及值域.
【答案】（1），
（2）
（3）作图见解析，单调增区间，，值域
【解析】
【分析】（1）根据偶函数的性质和已知的函数解析式直接求解即可；
（2）由偶函数的性质结合已知条件求解；
（3）根据偶函数的对称性作出函数的另一部分图象，结合图象可求出函数的单调增区间和值域.
【小问1详解】
因为函数是定义在上的偶函数，当时，，
所以；；
【小问2详解】
设，则，
因为当时，，
所以，
因为是偶函数，
所以；
【小问3详解】
因为是偶函数，所以的图象关于轴对称，
所以将在轴左侧的图象关于轴对称，可得函数在轴右侧的图象，
由图象可知的单调增区间，，
当时，，
当时，，
所以值域为.
24. 已知，.
（1）判断的奇偶性并说明理由；
（2）求证：函数在上单调递增；
（3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）奇函数，理由见解析；
（2）证明见解析； （3）.
【解析】
【分析】（1）应用奇偶性定义证明的奇偶性；
（2）由单调性定义证明区间单调性；
（3）问题化为在给定区间内，利用单调性求函数最值，再解不等式求参数范围.
【小问1详解】
为奇函数，理由如下：
时，，
故为奇函数；
【小问2详解】
令，则
，
∵，则，，，，
∴，即，
所以，
∴在上单调递增.
【小问3详解】
因为对任意恒成立，
由（2）知，因为在上单调递增，
故，
所以，则，可得或，
所以.
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