九年级数学上册同步精品讲义 第14讲 相似三角形的性质及应用（北师大版）（原卷版+解析版）

第14讲 相似三角形的性质及应用目标导航知识精讲知识点01 相似三角形的应用1．测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法2．测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。 （1）如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.注意：（1）比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;（2）太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;（3）视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;（4）仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．知识点02 相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.3. 相似三角形周长的比等于相似比. ∽，则由比例性质可得： 4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方.∽，则分别作出与的高和，则能力拓展考法01 相似三角形的应用【典例1】小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米（如图），然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为A．10米 B．12米 C．15米 D．22.5米【即学即练】已知如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，而且落在离网5m的位置上，则球拍击球的高度h应为（    ）   A．2.7m B．1.8m C．0.9m D．2.5m【典例2】为测量一河两岸相对电线杆、之间的距离，有四位同学分别测量出了一下四组数据：①，；②，，；③，，；④，，；能根据所测数据，求出、间距离的共有（ ）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组【即学即练】如图，在针孔成像问题中，根据图形尺寸可知像 的长是物AB长的（    ）   A．3倍 B．不知AB的长度，无法计算 C． D．考法02 相似三角形的性质【典例3】如图，G是△ABC的重心，如果AB=AC=5，BC=8，那么AG的长是(     )A．1 B．2 C．3 D．4【即学即练】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8．E是BC上一点，BE＝5，DE⊥AB，垂足为D，则DE的长为（　　）A．1 B．2 C．3 D．4【典例4】如图，在中，E为边上的点，若，交于F，则等于（       ）A．4：5 B．2：5 C．5：9 D．4：9【即学即练】如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF＝4：25，则DE：DC＝(     )A．2：5 B．3：5 C．5：2 D．5：3分层提分题组A 基础过关练1．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ADC=90°，则△ABC斜边AB上的高为（　　）A．CD B．AC C．BC D．BD2．小华同学的身高为米，某一时刻他在阳光下的影长为米，与他邻近的一棵树的影长为米，则这棵树的高为（   ）A．米 B．米 C．米 D．米3．如图，在中，是边上的高，，分别是，的角平分线，，，则的度数为（       ）A．5° B．10° C．15° D．20°4．如图，AB∥CD，，AB＝2，则CD的长为（　　）A． B． C．3 D．45．已知ABC∽DEF，若AB：DE＝1：2，则ABC与DEF的面积之比是（　　）A．1：3 B．1：4 C．1：9 D．1：166．如图，在△ABC中，D、E分别在BA、CA的延长线上，且DEBC，下列比例式成立的是（   ）A． B．C． D．7．如图，D、E分别是ABC的AC，AB边上的点，BD，CE相交于点O，若，那么S四边形ADOE＝_____．8．如图，四边形是正方形，，E是中点，连接，的垂直平分线分别交于M、O、N，连接，过E作交于F，则______．9．每年的秋冬季节，青竹湖湘一外国语学校的银杏大道是学校最为靓丽的一条风景线，数学彭老师有一天为了测量一棵高不可攀的银杏树高度，他利用了反射定律，利用一面镜子和皮尺，设计如图所示的测量方案：把镜子放在离银杏树m的点处，然后观测者沿着直线后退到点，这时恰好在镜子里看到树梢顶点，再用皮尺量得m，观测者目高m，则树高约是多少米？10．如图，在矩形ABCD中，AB：BC＝1：2，点E在AD上，BE与对角线AC交于点F．(1)求证：△AEF∽△CBF；(2)若BE⊥AC，求AE：ED．题组B 能力提升练1．如图，的高、相交于O，如果，那么的大小为（       ）A．35° B．105° C．125° D．135°2．如图，在△ABC中，AD、AE分别是边BC上的中线与高，AE=4，△ABC的面积为12，则CD的长为（     ）A．2 B．3 C．4 D．53．如图，△ABC的面积计算方法是（　　）A．ACBD B．BCEC C．ACBD D．ADBD4．如图，△ABC的两条中线BE、CD交于点O，则下列结论不正确的是（　　）A． B． C．S△DOE：S△BOC＝1：2 D．△ADE∽△ABC5．如图，平行四边形ABCD中，G、H分别是AD，BC的中点，AE⊥BD，CF⊥BD，四边形GEHF是矩形，若，，则BD的长为（       ）A． B． C．8 D．6．如图，在中，AD，BE是两条中线，则为（　　）A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：67．如图，小颖同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，她调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条边DE＝8cm，DF＝10cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树高AB＝________m．8．为了测量河宽AB，某同学采用以下方法：如图，取一根标尺，把它横放，使CD∥AB，并使点B，D，O和点A，C，O分别在同一条直线上，量得CD＝10米，OC＝15米，OA＝45米，则河宽AB＝______米．9．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AB=13cm，BC=12cm，AC=5cm，求：（1）求△ABC的面积（2）求CD的长；（3）作出△ABC的边AC上的中线BE，并求出△ABE的面积．10．如图，在中，C，D分别是上的点．若．(1)求证：；(2)求的长．题组C 培优拔尖练1．如图，AE、AD分别是的高和角平分线，且，，则的度数为（       ）A． B． C． D．2．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2，过A点作AD∥BC；AE⊥AC，AC＝AE，AD＝3，连接DE，则△ADE的面积为（       ）A．3 B．6 C．12 D．183．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线．若AC＝6，AB＝10，则S△ABD：S△ACD为（　　）A．5：3 B．5：4 C．4：3 D．3：54．如图，在中，//，//，下列结论一定正确的是（       ）A． B． C． D．5．如图，在菱形中，，交BC的延长线于点E．连接AE交BD于点F，交CD于点G、于点H，连接CF．有下列结论：①；②；③；④．其中正确结论个数为（       ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．如图，在菱形ABCD中，，点E、F分别为边AB、BC上的点，且，连接CE、AF交于点H，连接DH交AC于点O．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的是（       ）A．①② B．①③④ C．②③④ D．①②③④7．如图，在中，于点，于点，且，，，则_________．8．如图，中，，连接交于点E，，垂足为点G，交的延长线于点F，连接，若，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的序号是___________．9．如图，四边形ABCD为正方形，且E是边BC延长线上一点，过点B作BF⊥DE于F点，交AC于H点，交CD于G点．(1)求证：△BGC∽△DGF；(2)求证：；(3)若点G是DC中点，求的值．10．将一副三角尺如图1放置，其中AD为Rt△ABC中BC边上的高，DE，DF分别交AB，AC于点M和N．(1)求证：△AMD∽△CND；(2)如图2，将Rt△DEF绕点D旋转，此时EF∥BC，且E，A，F共线，判断是否成立，并给出证明．课程标准1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）.