2023-2024学年新疆克拉玛依市高一上学期期中数学质量检测试题（含解析）

这是一份2023-2024学年新疆克拉玛依市高一上学期期中数学质量检测试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．给出四个结论：
①是由4个元素组成的集合；
②集合表示仅由一个“1”组成的集合；
③与是两个不同的集合；
④集合大于3的无理数是一个有限集．
其中正确的是（ ）
A．①④B．②④C．②③D．②
2．已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{－2，－1，0，2}，则A∩B等于（ ）
A．{0，2}B．{1，2}C．{0}D．{－2，－1，0，1，2}
3．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知，那么下列命题中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若且，则D．若且，则
5．下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
6．设，，，则a，b，c之间的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
7．化简（其中）的结果是
A．B．C．D．
8．已知集合，，是实数集，则（ ）
A．B．C．D．以上都不对
二、多选题
9．下列命题的否定是假命题的有（ ）
A．
B．所有的正方形都是矩形
C．
D．至少有一个实数x，使
10．下列命题中为真命题的是（ ）
A．“”的充要条件是“”
B．“”是“”的既不充分也不必要条件
C．“”是“”的充分不必要条件
D．命题“”的否定是“”
11．已知函数，且的对称中心为，当时，，则下列选项正确的是（ ）
A．的最小值是B．在上单调递减
C．的图像关于直线对称D．在上的函数值大于0
12．下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
13．已知命题“，恒成立”是真命题，则实数的取值范围是 .
14．计算的值为 .
15．已知函数，则 ．
16．计算 ．
四、解答题
17．已知集合，，.若.求，.
18．迎进博，要设计的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60000，四周空白的宽度为10，栏与栏之间的中缝空白的宽度按为5.
（1）试用栏目高与宽（）表示整个矩形广告面积；
（2）怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形广告面积最小，并求最小值.
19．解下列不等式并写出解集.
(1)；
(2).
20．已知函数．
(1)判断函数的单调性，并利用定义证明；
(2)若，求实数的取值范围．
21．已知是定义域为的奇函数，且时，.
(1)求函数的解析式，并写出单调区间；
(2)求不等式的解集.
22．设，且．
(1)求的值及的定义域；
(2)求在区间上的最值．
1．D
【分析】根据集合元素的特征逐一判断各选项.
【详解】对于①，集合不满足集合元素的互异性，故①错误；
对于②，集合仅有1个元素，故②正确；
对于③，集合与元素相同，是两个相同的集合，故③错误；
对于④，集合大于3的无理数是无限集，故④错误.
故选：D.
2．A
【分析】直接利用交集的定义计算即可得解.
【详解】因为集合A＝{0，1，2，3}，B＝{－2，－1，0，2}，
所以A∩B={0，2}.
故选：A
本题主要考查交集的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
3．C
【分析】根据补集的运算，求得，结合交集的运算，即可求解.
【详解】因为全集，可得，
又因为，可得.
故选：C.
4．C
【分析】根据不等式的性质逐项判断即可.
【详解】对于A，若，当时，，故A选项错误；
对于B，若，当时，则，故B选项错误；
对于C，若且，可知，所以，即有，故C选项正确；
对于D，若且，则当时也能满足已知，此时，故D选项错误.
故选：C.
5．C
【分析】分别分析每个选项中函数的定义域和对应关系式及值域是否相同即可.
【详解】选项A：函数的定义域为，而的定义域为，故A错误；
选项B：函数的定义域为，而的定义域为，，故B错误；
选项C：函数的定义域为，而的定义域为，解析式相同,故C正确；
选项D：函数的定义域为，而的定义域为，
但是，故解析式不一样，所以D错误；
故选：C.
6．B
可用0,1当中间值比较三者大小.
【详解】，，，所以，
故选：B.
7．C
【分析】根据分数指数幂化简即可.
【详解】=,选C.
本题考查分数指数幂运算,考查基本求解能力,属基础题.
8．B
【分析】根据对数函数定义域和指数函数值域可求得集合，，由补集和交集运算定义可求得结果．
【详解】由，得，故
由，得，故，
，
，即．
故选：B．
9．ABD
【分析】根据命题与命题的否定的真假性相反逐项分析判断.
【详解】对于选项A：因为，可知选项A为真命题，
所以命题的否定是假命题，故A正确；
对于选项B：因为所有的正方形都是矩形，可知选项B为真命题，
所以命题的否定是假命题，故B正确；
对于选项C：因为，可知选项C为假命题，
所以命题的否定是真命题，故C错误；
对于选项D：因为当时，则，可知选项D为真命题，
所以命题的否定是假命题，故D正确.
故选：ABD．
10．BC
【分析】对A，由，但推不出即可判断；对B，取，满足，但；同理取，满足，但即可判断；对C，因为，但推不出即可判断；对D，根据存在量词的命题的否定即可判断.
【详解】对A：由，但当时，推不出，
所以是的充分不必要条件，故选项A错误；
对B：取，满足，但，所以推不出；
同理取，满足，但，所以推不出，
所以是的既不充分也不必要条件，故选项B正确；
对C：因为，当时满足但推不出，
所以“，”是“”的充分不必要条件，故选项C正确；
对D：命题“，”的否定是，”，故选项D错误；
故选：BC.
11．AC
【分析】根据函数的性质以及时，可得函数的部分图象，进而结合图象即可求解.
【详解】根据可得为偶函数，对称中心为，可知的图象关于对称，结合时，，可画出的部分图象如下：
有图象可知：的最小值是，在上单调递增，的图像关于直线对称，在上的函数值小于于0，故AC正确，BD错误，
故选：AC
本题主要考查了函数的性质 ，函数与方程等知识点，处理这类问题往往可以采用数形结合法：根据函数的对称性以及单调性画出函数的图象，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)辅助解题.
12．ACD
【分析】利用指数函数和幂函数图像比较数的大小.
【详解】对于A，在定义域上是增函数，，故A正确；
对于B，在定义域上是减函数，，故B错误；
对于C，在上是减函数，，故C正确；
对于D，故D正确；
故选：ACD.
13．
【分析】分与两种情况讨论，结合已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】已知命题“，恒成立”是真命题.
当时，则有恒成立，合乎题意；
当时，则有，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为.
结论点睛：利用二次不等式在实数集上恒成立，可以利用以下结论来求解：
设
①在上恒成立，则；
②在上恒成立，则；
③在上恒成立，则；
④在上恒成立，则.
14．
【分析】将根式化成分数指数幂，再根据指数幂的性质即可求解.
【详解】，
故答案为.
15．##1.5
【分析】由分段函数的概念直接带入解析式计算即可.
【详解】由题意可得.
故答案为.
16．##
【分析】根据指数和对数的运算性质即可求出．
【详解】解：原式．
故．
17．，.
【分析】化简集合，利用集合的交并补运算求解即可.
【详解】若时，
∴，
由或，
所以
18．（1）；（2）当广告矩形栏目的高为，宽为时，可使广告的面积最小为.
【分析】（1）由题意知，所以，表示出广告的面积；
（2）由（1）可得，利用基本不等式可得出广告面积的最小值．
【详解】（1）由栏目高与宽（），可知，
广告的高为，宽为(其中)
广告的面积
（2）由，所以
当且仅当，即时取等号，此时.
故当广告矩形栏目的高为，宽为时，可使广告的面积最小为.
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”：
（1）“一正”：就是各项必须为正数；
（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
19．(1)
(2)
【分析】利用二次不等式的解法求解即可.
【详解】（1）由，得，解得或，
所以的解集为.
（2）由得，
即，解得，
故不等式的解集为；
20．(1)在上单调递减,证明见解析；
(2)
【分析】（1）任取，且，作差判断符号，结合单调性的定义即可证明；
（2）利用单调性解不等式.
【详解】（1）在上递减，理由如下：
任取，且，则
，
因为，且，则有，，
可得，即，
所以在上单调递减；
（2）由（1）可知在上递减，
所以由，得
，解得，
所以实数的取值范围为．
21．(1)；单调减区间为.
(2)
【分析】（1）根据奇函数的性质，即可求出函数的解析式，进而求得函数的单调区间；
（2）分和，两种情况讨论分别解得不等式的解集，进而得到答案.
【详解】（1）解：当时，则，
因为函数为奇函数，可得，
故所以函数的解析式为，
则函数的单调减区间为.
（2）解：当，即时，等价于，
即，所以，解得，
当，即时，等价于，即，
所以，解得，
综上所述，不等式的解集为.
22．(1)，
(2)最小值是，最大值是2．
【分析】（1）利用代入法，结合对数型函数的定义域进行求解即可；
（2）根据对数的运算性质，结合对数型函数的单调性进行求解即可.
【详解】（1）∵，
∴，
解得，或舍去，
由得，
∴函数的定义域为；
（2）由（1）知，．
∴．
∵二次函数的图像开口向下，对称轴为，
∴在上单调递增，在上单调递减．
∵，，，∴，．∴当时，．
又∵在上单调递增，
∴当时，．
∴在区间上的最小值是，最大值是2．