广东省深圳市福田区红岭中学初中部2023-2024学年 上学期九年级12月月考数学试卷

这是一份广东省深圳市福田区红岭中学初中部2023-2024学年 上学期九年级12月月考数学试卷，共20页。试卷主要包含了下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（每题3分，共30分）
1．如图，一个实木正方体内部有一个圆锥体空洞，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
2．一个不透明的袋子中装有2个红球和若干个黄球，这些球除颜色外都相同．经过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中的黄球个数最有可能是（ ）
A．1B．2C．4D．6
3．若α是锐角，tanα＝1，则csα的值是（ ）
A．B．C．D．1
4．若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝1（AC＞BC），则AC等于（ ）
A．B．C．D．或
5．下列说法正确的是（ ）
A．四条边相等的四边形是正方形
B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形
6．如图，四边形ABCD是平行四边形，AE：DE＝1：2，S△BCF＝9，则四边形CDEF的面积是（ ）
A．9B．11C．13D．15
7．某班毕业时，每位同学将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1892张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程（ ）
A．x（x+1）＝1892B．x（x﹣1）＝1892
C．D．
8．下面四个图中反比例函数的表达式均为，则阴影部分的图形的面积为3的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．函数y＝kx+k和函数y＝﹣kx2+4x+4（k是常数，且k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，CD的中点，CE，BF交于点G，连接AG，则S△CFG：S△ABG＝（ ）
A．1：8B．2：15C．3：20D．1：6
二．填空题（每题3分，共15分）
11．若（abc≠0），则＝ ．
12．若m是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式2023﹣m2﹣m的值为 ．
13．若点A（﹣3，y1），B（，y2），C（2，y3）在二次函数y＝x2+2x+1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 ．
14．数学兴趣小组想测量一棵树的高度，在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米．同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），其影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米，则树高为 米．
15．如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F．若点D的坐标为（3，4），则点F的坐标是 ．
三．解答题（共55分）
16．（9分）解方程：
（1）2x2﹣4x﹣1＝0；（2）（x﹣3）（x﹣2）＝12．
（3）计算：（﹣1）2023+2sin45°﹣cs30°+sin60°+tan260°．
17．（5分）从一副扑克牌中取出四张牌，它们的牌面数字分别为1，2，2，3，将这四张扑克牌背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，记录下数字后放回，称为抽牌一次．
（1）若随机抽牌一次，抽到数字2的概率为 ．
（2）将这四张扑克牌背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，不放回；再从剩余的三张牌中随机抽取一张．请利用“列表”或“画树状图”的方法，求抽取的这两张牌的牌面数字之和为偶数的概率．
18．（7分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，﹣2）、B（4，﹣1），C（3，﹣3）．
（1）画出将△ABC向左平移5个单位，再向上平移3个单位后的△A1B1C1，并写出点B的对应点B1的坐标；
（2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△A1B1C1的一个位似△A2B2C2，使它与△A1B1C1的相似比为2：1，并写出点B1的对应点B2的坐标；
（3）若△A1B1C1内部任意一点P1的坐标为（a﹣5，b+3），直接写出经过（2）的变化后点P1的对应点P2的坐标（用含a、b的代数式表示）．
19．（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使得CF＝BE，连接DF，
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接OE，若AB＝5，CE＝2，求OE的长．
20．（8分）某种商品的标价为200元/件，由于疫情的影响，销量不佳，店家经过两次降价后的价格为128元/件，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种商品每次降价的百分率；
（2）若该种商品进价为80元/件，若以128元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种费用100元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天盈利1475元，每件应降价多少元？
21．（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝4x+4与x轴交于A点，与y轴交于C点，抛物线）经过A，C两点，与x轴相交于另一点B，连接BC．点P是线段BC上方抛物线上的一个动点，过点P作PQ⊥BC交线段BC于点Q．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求PQ的最大值，并写出此时点P的坐标；
（3）在x轴上找一点M，抛物线上找一点N，使以点B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标．
22．（9分）【问题背景】（1）如图1，在△ABC中，∠ABC＝90°，BH⊥AC于H，求证：△AHB∽△BHC；
【变式迁移】（2）如图2，已知∠ABC＝∠D＝90°，E为BD上一点，且AE＝AB，若＝，求的值；
【拓展创新】（3）如图3，四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°，AB＝BC，E为边CD上一点，且AE＝AB，BE⊥CD，直接写出的值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，一个实木正方体内部有一个圆锥体空洞，它的俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：从上面看得该几何体的俯视图是：
．
故选：D．
2．一个不透明的袋子中装有2个红球和若干个黄球，这些球除颜色外都相同．经过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中的黄球个数最有可能是（ ）
A．1B．2C．4D．6
【解答】解：设袋子中黄球的个数可能有x个，根据题意得：
＝，
解得：x＝4，
经检验x＝4是原方程的解，
∴袋子中黄球的个数可能是4个．
故选：C．
3．若α是锐角，tanα＝1，则csα的值是（ ）
A．B．C．D．1
【解答】解：∵tanα＝1，
∴α＝45°，
∴cs45°＝．
故选：B．
4．若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝1（AC＞BC），则AC等于（ ）
A．B．C．D．或
【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝1（AC＞BC），
∴AC＝AB＝×1＝，
故选：C．
5．下列说法正确的是（ ）
A．四条边相等的四边形是正方形
B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形
【解答】解：A、四条边相等的四边形是菱形，故原说法错误，故此选项不符合题意；
B、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故原说法错误，故此选项不符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，故原说法错误，故此选项不符合题意；
D、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故原说法正确，故此选项符合题意；
故选：D．
6．如图，四边形ABCD是平行四边形，AE：DE＝1：2，S△BCF＝9，则四边形CDEF的面积是（ ）
A．9B．11C．13D．15
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵AE：DE＝1：2，
∴AE：AD＝1：3，
∴AE：BC＝1：3，
∵AE∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴＝＝，
∴＝，＝（）2，
∴S△BAF＝×9＝3，S△AEF＝×9＝1，
∴S△ABC＝3+9＝12，
∴S△ACD＝S△ABC＝12，
∴四边形CDEF的面积＝S△ACD﹣S△AEF＝12﹣1＝11．
故选：B．
7．某班毕业时，每位同学将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1892张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程（ ）
A．x（x+1）＝1892B．x（x﹣1）＝1892
C．D．
【解答】解：设全班有x名同学，根据题意，
x（x﹣1）＝1892
故选：B．
8．下面四个图中反比例函数的表达式均为，则阴影部分的图形的面积为3的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：第1个图中，阴影面积为3，
故符合题意；
第2个图中，阴影面积为，
故不符合题意；
第3个图中，阴影面积为，
故符合题意；
第4个图中，阴影面积为，
故不符合题意；
故选：B．
9．函数y＝kx+k和函数y＝﹣kx2+4x+4（k是常数，且k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：①当k＞0时：
函数y＝kx+k的图象过一、二、三象限，函数y＝﹣kx2+4x+4的图象开口向下；
∴B不正确，不符合题意．
②当k＜0时：
函数y＝kx+k的图象过二、三、四象限，函数y＝﹣kx2+4x+4的图象开口向上；
∴C不正确，不符合题意．
∵函数y＝﹣kx2+4x+4的对称轴为直线x＝﹣＝＜0，
∴A正确，符合题意；D不正确，不符合题意．
故选：A．
10．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，CD的中点，CE，BF交于点G，连接AG，则S△CFG：S△ABG＝（ ）
A．1：8B．2：15C．3：20D．1：6
【解答】解：延长CE、BA交于P，
在△DCE和△APE中
，
∴△DCE≌△APE（AAS），
∴CD＝PA，
∴PA＝AB，
∴．
∵CF∥AB，
∴△CGF∽△PGB，
∴，
∴，
∴S△CFG：S△ABG＝1：8．
故选：A．
二．填空题（共5小题）
11．若（abc≠0），则＝ ．
【解答】解：设＝k，那么a＝2k，b＝3k，c＝5k，
∴＝＝．
故答案为：．
12．若m是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式2023﹣m2﹣m的值为 2022 ．
【解答】解：∵x＝m是一元二次方程x2+x﹣1＝0的一个根，
∴m2+m﹣1＝0，∴m2+m＝1，
∴2023﹣m2﹣m＝2023﹣（m2+m）＝2023﹣1＝2022．
故答案为：2022．
13．若点A（﹣3，y1），B（，y2），C（2，y3）在二次函数y＝x2+2x+1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 ．
【解答】解：由题知，
抛物线y＝x2+2x+1的开口向上，且对称轴是直线x＝﹣1，
所以函数图象上的点，离对称轴越近，函数值越小．
又，
所以y2＜y1＜y3．
14．数学兴趣小组想测量一棵树的高度，在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米．同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），其影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米，则树高为 4.2 米．
【解答】解：方法1、如图，设从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度是x米．
则有，解得x＝3．
∴树高是3+1.2＝4.2（米），
故答案为4.2．
方法2、将落在墙上的影子看作物体，此时它的影子设为a米，
根据题意得，，
∴a＝0.96，
所以大树的影子全部落在地面上的影子长为2.4+0.96＝3.36米，
设树的高度为y米，根据题意得，，∴y＝4.2米
故答案为：4.2．
15．如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F．若点D的坐标为（3，4），则点F的坐标是 （6，） ．
【解答】解：过点D作DM⊥OB，垂足为M，
∵D（3，4），∴OM＝3，DM＝4，
∴OD＝＝5，
∵菱形OBCD，
∴OB＝BC＝CD＝OD＝5，
∴B（5，0），C（8，4），
∵A是菱形OBCD的对角线交点，
∴A（4，2），代入y＝得，k＝8，
∴反比例函数的关系式为：y＝，
设直线BC的关系式为y＝kx+b，将B（5，0），C（8，4）代入得：
5k+b＝0且8k+b＝4，
解得：k＝，b＝﹣，
∴直线BC的关系式为y＝x﹣，
将反比例函数与直线BC联立方程组得：
解得：，（舍去），
∴F（6，），
解法二：过点F作FH⊥x轴于点H，设BH＝3a．
∵FB∥OD，∴∠FBH＝∠DOM，
∴tan∠FBH＝tan∠DOM＝＝，
∴FH＝4a，∴F（5+3a，4a），
∵A（4，2），∴（5+3a）×4a＝8，解得a＝或﹣2（舍去），∴F（6，）．
故答案为：（6，）．
三．解答题（共7小题）
16．解方程：
（1）2x2﹣4x﹣1＝0；
（2）（x﹣3）（x﹣2）＝12．
（3）计算：（﹣1）2023+2sin45°﹣cs30°+sin60°+tan260°．
【解答】解：（1）2x2﹣4x﹣1＝0，
移项，得2x2﹣4x＝1，
除以2，得x2﹣2x＝，
配方，得x2﹣2x+1＝+1，
（x﹣1）2＝，
开方得：x﹣1＝，
解得：x1＝，x2＝；
（2）（x﹣3）（x﹣2）＝12，
整理得：x2﹣5x﹣6＝0，
（x+1）（x﹣6）＝0，
x+1＝0或x﹣6＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝6．
（3）（﹣1）2023+2sin45°﹣cs30°+sin60°+tan260°
＝﹣1+2×﹣++（）2
＝﹣1++3
＝2+．
17．从一副扑克牌中取出四张牌，它们的牌面数字分别为1，2，2，3，将这四张扑克牌背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，记录下数字后放回，称为抽牌一次．
（1）若随机抽牌一次，抽到数字2的概率为 ．
（2）将这四张扑克牌背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，不放回；再从剩余的三张牌中随机抽取一张．请利用“列表”或“画树状图”的方法，求抽取的这两张牌的牌面数字之和为偶数的概率．
【解答】解：（1）若随机抽牌一次，抽到数字2的概率为＝，
故答案为：；
（2）树状图如图所示．
共有12种等可能的结果，其中抽取的这两张牌的牌面数字之和为偶数的有4种，
故抽取的这两张牌的牌面数字之和为偶数的概率为．
18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，﹣2）、B（4，﹣1），C（3，﹣3）．
（1）画出将△ABC向左平移5个单位，再向上平移3个单位后的△A1B1C1，并写出点B的对应点B1的坐标；
（2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△A1B1C1的一个位似△A2B2C2，使它与△A1B1C1的相似比为2：1，并写出点B1的对应点B2的坐标；
（3）若△A1B1C1内部任意一点P1的坐标为（a﹣5，b+3），直接写出经过（2）的变化后点P1的对应点P2的坐标（用含a、b的代数式表示）．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1为所求三角形．B1（﹣1，2）；
（2）如图所示，△A2B2C2为所求三角形．B2（﹣2，4）；
（3）P2（2a﹣10，2b+6）．
19．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使得CF＝BE，连接DF，
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接OE，若AB＝5，CE＝2，求OE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC且AD＝BC，
∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
∴AD＝EF，
∵AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴四边形AEFD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AD＝5，
∴AD＝AB＝BC＝5，
∵EC＝2，
∴BE＝5﹣2＝3，
在Rt△ABE中，，
∴DF＝AE＝4，
在Rt△AEC中，AC＝＝＝2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，
∴OE＝AC＝．
20．某种商品的标价为200元/件，由于疫情的影响，销量不佳，店家经过两次降价后的价格为128元/件，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种商品每次降价的百分率；
（2）若该种商品进价为80元/件，若以128元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种费用100元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天盈利1475元，每件应降价多少元？
【解答】解：（1）设该种商品每次降价的百分率为x，
依题意，得：200（1﹣x）2＝128，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不合题意，舍去），
答：该种商品每次降价的百分率为20%；
（2）设每件商品应降价x元，根据题意，得：
（128﹣80﹣x）（20+5x）﹣100＝1475，
解方程得x1＝41，x2＝3，
∵在降价幅度不超过10元的情况下，
∴x＝41不合题意舍去．
答：每件商品应降价3元．
21．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝4x+4与x轴交于A点，与y轴交于C点，抛物线）经过A，C两点，与x轴相交于另一点B，连接BC．点P是线段BC上方抛物线上的一个动点，过点P作PQ⊥BC交线段BC于点Q．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求PQ的最大值，并写出此时点P的坐标；
（3）在x轴上找一点M，抛物线上找一点N，使以点B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标．
【解答】解：（1）对于y＝4x+4，当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝﹣1，
故点A、C的坐标分别为：（﹣1，0）、（0，4），
则，解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）过点P作PH∥y轴交BC于点H，
由点B、C的坐标得，直线CB的表达式为：y＝﹣x+4，
设点P（x，﹣x2+x+4），则H（x，﹣x+4），
则PH＝（﹣x2+x+4）﹣（﹣x+4）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣）2+3≤3，
即当x＝时，PH的最大值为3，此时，点P的坐标为：（，5），
∵PH∥y轴，则∠PHQ＝∠PCB，
在Rt△BOC中，BO＝3，CO＝4，则BC＝5，
则sin∠PHQ＝sin∠PCB＝，
则PQ＝HPsin∠PHQ＝PH，
即当PH最大时，PG最大，
故PQ的最大值为：×3＝，
即PG最大值，点P的坐标为；
（3）设点M（x，0）、点N（m，n），n＝﹣m2+m+4，
当BC是对角线时，
由中点坐标公式得：且n＝﹣m2+m+4，
解得：（不合题意的值已舍去），
故点M的坐标为：（1，0）；
当BM或BN为对角线时，由中点坐标公式得：
或且n＝﹣m2+m+4，
解得：或，
即点M的坐标为：（﹣2+，0）或（﹣2﹣，0）或（5，0），
综上，点M的坐标为：（1，0）或（﹣2+，0）或（﹣2﹣，0）或（5，0）．
22．【问题背景】（1）如图1，在△ABC中，∠ABC＝90°，BH⊥AC于H，求证：△AHB∽△BHC；
【变式迁移】（2）如图2，已知∠ABC＝∠D＝90°，E为BD上一点，且AE＝AB，若＝，求的值；
【拓展创新】（3）如图3，四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°，AB＝BC，E为边CD上一点，且AE＝AB，BE⊥CD，直接写出的值．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°，BH⊥AC，
∴∠AHB＝∠BHC＝90°，
∠A+∠C＝90°，∠A+∠ABH＝90°，
∴∠ABH＝∠C，
∴△AHB∽△BHC；
（2）如图，过点A作AF⊥BE于点F，
则∠AFB＝90°，
∵AE＝AB，AF⊥BE，
∴BF＝EF＝，
∵∠ABC＝∠D＝90°，∠AFB＝90°，
∴∠AFB＝∠D＝90°，
∠ABF+∠CBD＝90°，
∠C+∠CBD＝90°，
∴∠ABF＝∠C，
∴△ABF∽△BCD，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（3）如图，过点A作AH⊥BE于点H，延长BE，AD相交于点N，
∵AE＝AB，AH⊥BE，
∴BH＝EH＝，
设BH＝x（x＞0），则EH＝x，BE＝2x，
∵AH⊥BE，∠ABC＝90°，BE⊥CD，
∴∠AHB＝∠BEC＝90°，
∠ABH+∠CBE＝90°，
∠C+∠CBE＝90°，
∴∠ABH＝∠C，
在△AHB与△BEC中，
，
∴△AHB≌△BEC（AAS），
∴AH＝BE＝2x，BH＝CE＝x，
∵AH⊥BE，∠DAB＝90°，
∴∠AHB＝∠NHA＝90°，
∠ABH+∠N＝90°，∠N+∠NAH＝90°，
∴∠ABH＝∠NAH，
∴△AHB∽△NHA，
∴，
∴，
∴NH＝4x，
∴NE＝NH﹣EH＝4x﹣x＝3x，
∵∠DAB＝∠ABC＝90°，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∴AN∥BC，
∴∠N＝∠CBE，
又∵∠NED＝∠BEC，
∴△NED∽△BEC，
∴．