陕西省咸阳市永寿县中学2023-2024学年高三上学期调研模拟测试理科数学试卷

这是一份陕西省咸阳市永寿县中学2023-2024学年高三上学期调研模拟测试理科数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，选考题的作答等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
5.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数满足，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
2.已知集合，则的真子集的个数为（ ）
A.16 B.15 C.14 D.8
3.已知函数若为奇函数，且，则（ ）
A. B. C. D.-1
4.已知两个单位向量满足，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
5.已知直线，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.在百端待举､日理万机中，毛泽东主席仍不忘我国的教育事业.1951年9月底，毛主席在接见安徽参加国庆的代表团时，送给代表团成员——渡江小英雄马毛姐一本精美的笔记本，并在扉页上题词：好好学习，天天向上.这8个字的题词迅速在全国传播开来，影响并指导着一代代青少年青春向上，不负韶华.他告诉我们：每天进步一点点，持之以恒，收获不止一点点.把学生现在的学习情况看作1，每天的“进步率”为，那么经过一个学期（看作120天）后的学习情况为，如果每天的“退步率”为，同样经过一个学期后的学习情况为，经过一个学期，进步者的学习情况是退步者学习情况的1335倍还多.按上述情况，若“进步”的值是“退步”的值的10倍，要经过的天数大约为（ ）（保留整数）（参考数据：）
A.28 B.38 C.60 D.100
7.如图，在三棱锥中，异面直线与所成的角为，分别为棱的中点，若，则（ ）
A.或 B.2或 C. D.2
8.已知实数满足约束条件则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
9.将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（ ）
A.的图象关于点对称
B.对任意的
C.在区间上恰好有三个零点
D.若锐角满足，则
10.已知数列的前项和为，且对于任意恒成立，则（ ）
A.是等差数列 B.是等比数列
C. D.
11.已知，则（ ）
A. B.
C. D.
12.已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与交于两点，若，则下列结论错误的是（ ）
A. B.的面积等于
C.的离心率等于 D.直线的斜率为
二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知双曲线的一条渐近线为，则的离心率为__________.
14.在的展开式中含项的系数是__________.
15.已知动点与两个定点满足，设点的轨迹为曲线，则的方程为__________；过的直线与相切，切点为为上两点，且为的中点，则面积的最大值为__________.
16.鳖臑（biē nà）出自《九章算术•商功》，指的是四个面均为直角三角形的三棱锥，如图所示的鳖臑中，，且，则其外接球体积的最小值为__________.
三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（本小题满分12分）
在中，角的对边分别为，若.
（1）求角的大小；
（2）若为上一点，，求的最小值.
18.（本小题满分12分）
2015年5月，国务院印发《中国制造》，是我国由制造业大国转向制造业强国战略的行动纲领.经过多年的发展，我国制造业的水平有了很大的提高，出现了一批在国际上有影响的制造企业.我国的造船业､光伏产业､5G等已经在国际上处于领先地位，我国的精密制造也有了长足发展.已知某精密设备制造企业生产某种零件，根据长期检测结果，得知生产该零件的生产线的产品质量指标值服从正态分布，且质量指标值在内的零件称为优等品.
（1）求该企业生产的零件为优等品的概率（结果精确到0.01）；
（2）从该生产线生产的零件中随机抽取5件，随机变量表示抽取的5件中优等品的个数，求的分布列､数学期望和方差.
附：0.9973.
19.（本小题满分12分）
已知抛物线的焦点为为上一点，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线交抛物线于两点，且（为坐标原点），记直线过定点，证明：直线过定点，并求出的面积.
20.（本小题满分12分）
如图，在多面体中，四边形是矩形，四边形是直角梯形，，与交于点，连接.
（1）证明：平面；
（2）若，求平面与平面的夹角的余弦值.
21.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）当时，证明：在上恒成立；
（2）当时，求在内的零点个数.
（二）选考题：共10分.请考生在第22､23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的一个参数方程；
（2）记与交于两点，与轴交于点，求的值.
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数，记的值域为集合，的值域为集合.
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围.
模拟卷•参考答案
理科数学（一）
1.A 由题意得，所以，故的虚部为.故选A.
2.B 由，得，所以，由，得，所以，所以，所以集合的真子集个数为.故选B.
3.A 由题意，知，且，所以.故选A.
4.C 因为，所以，即，因为，所以，所以，又，所以.故选C.
5.C 若的方程分别为，显然有；若，则，且，所以，所以“”是“”的充要条件.故选C.
6.B ，即，所以，所以大约为38天.故选B.
7.A 取的中点，连接，则，且，
所以为异面直线与所成的角（或其补角），所以，或，
当时，；
当时，.
故或.故选A.
8.D 由题意知，画出可行域如图中阴影部分所示（包含边界），目标函数的几何意义是定点与可行域内的点连线所在直线的斜率，由图知，当目标函数经过点时，目标函数取得最大值，联立解得所以，所以的最大值为.故选D.
9.C 由题意知，将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，令，得，所以函数的图象关于
点不对称，故A错误；因为，所以不满足对任意的，都有，故B错误；因为，所以，因为，所以，所以，所以函数在区间上恰好有三个零点，故C正确；由，得，又，所以，所以，所以，所以，故D错误.故选C.
10.D 因为对于任意，满足，所以，即2.所以数列在去掉第1项后是公差为2的等差数列，又所以错误；，C错误；，D正确.故选D.
11.B 令函数，则，所以在上单调递减，所以，即，即，即.令函数，则，当时，，所以在上单调递减，又，且，所以，所以，所以，即，综上，.故选B.
12.D 设，则，所以，因为，即，故，所以，所以，故，即，故A正确；所以，故B正确；在中，因为，所以，所以直线的斜率的绝对值为，故C正确，D错误.故选D.
13. 设的半焦距为，由题意知，所以.
14. 的展开式的通项，令，得，令，得，故在的展开式中含项是，即含项的系数为-90.
15.（2分）（3分） 设，由题意得，化简，得；设，因为，所以，故点的轨迹为圆，因为到直线的距离为2，所以到的最大距离为3，所以.
16. 将三棱锥补形为长方体，如图所示，
则三棱锥的外接球即为长方体的外接球，所以，所以，当且仅当时取等号，此时长方体的体对角线最短，即外接球的直径最小，最小值为5，所以.
17.解：（1）因为，由正弦定理得，
所以，即，
由余弦定理，得，
又，所以.
（2）因为，所以，
由，得，
又，
所以，即，
所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为27.
18.解：（1）因为产品质量指标值，则，
所以优等品的概率
，
所以该企业生产零件为优等品的概率约为0.82.
（2）由（1）知产品为优等品的概率为0.82，由题意知，
故的分布列为，
所以.
19.（1）解：因为在上，所以，
又，所以，
所以，解得或，当时，，当时，，不满足，
故，所以抛物线的方程为.
（2）证明：设，
联立消去整理得，
所以，且，所以，
因为，
所以，
所以直线的方程为，
所以直线过定点.
又，且直线过定点，
所以，所以.
20.（1）证明：取的中点，连接，则且，
又且，
所以且，所以四边形是平行四边形，
所以，
又平面平面，所以平面.
（2）解：因为，所以，
又，所以.
以为坐标原点，分别以为轴，轴，过垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系（如图所示），则.
因为，所以，
又平面，所以平面，
所以点在平面上，所以为平面的一个法向量，
又，所以，
所以.
设平面的一个法向量为，
则
取，得，
所以，
设平面与平面的夹角为，则
.
21.（1）证明：当时，，
则，
令，则，
因为，所以，所以
所以在上单调递增，
所以，
在上，，所以在上单调递减，
所以，
即在上恒成立.
（2）解：当时，，
由，得，
令，
则，
令，得，即，又，
所以，故；
令，得，即，
又，所以
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
又
所以当时，在内有两个零点，故在内有两个零点.
22.解：（1）由，且，
得，所以曲线的直角坐标方程为，
所以曲线的一个参数方程为（为参数）.
（2）由的参数方程知与轴的交点，
将的参数方程（为参数）代入的普通方程，
并整理得，
所以，
设两点对应的参数分别为和，
则，
所以.
23.解：（1），
当且仅当，即时等号成立，
故的值域为，即.
（2），
当且仅当时等号成立，
所以，
由（1）知，又，所以，
所以，解得，
故实数的取值范围是.