云南省临沧市民族中学2021-2022学年高二上学期期末考试数学试题

这是一份云南省临沧市民族中学2021-2022学年高二上学期期末考试数学试题，共10页。试卷主要包含了请将各题答案填在答题卷上，本试卷主要考试内容，若表示短轴在轴上的椭圆，则，已知，则等于，已知，且，则等于，已知函数，其中，已知，则的大小关系为等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1．本试卷共150分，考试时间120分钟。
2．请将各题答案填在答题卷上．
3．本试卷主要考试内容：必修第一册占30%，必修第二册占30%，选择性必修第一册占40%．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则为（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数满足，则为（ ）
A．B．C．D．
3．已知命题．则命题的否定为（ ）
A．B．
C．D．
4．若表示短轴在轴上的椭圆，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知，则等于（ ）
A．B．C．D．
6．已知，且，则等于（ ）
A．5B．C．D．
7．甲、乙两人分别独立参加某高校自主招生面试，若甲、乙能通过面试的概率都是，则面试结束后至多有一人通过的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，其中．若的最小正周期为，且当时，函数取得最大值，则（ ）
A．在区间上是增函数B．在区间上是增函数
C．在区间上是减函数D．在区间上是减函数
9．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．平方尺B．平方尺C．平方尺D．平方尺
10．已知，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
11．如图，在平行四边形中，，现将沿对角线折起，使与成角，则之间的距离的平方为（ ）
A．B．或C．2D．2或
12．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线及其准线分别交于两点，，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中的横线上．
13．已知直线与垂直，则________．
14．写出一个最小值为2的偶函数________．
15．已知双曲线的右焦点，点关于的一条渐近线的对称点落在的另一条渐近线上，则双曲线的方程为________．
16．如图，已知圆锥，底面圆内接正方形，若平面平面．现有以下三个结论：
①平面；
②；
③若为钝角，是底面圆周上的动点，则的最大面积大于的面积．
其中所有正确结论的序号是________．
三、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
中，角所对的边分别为．
（1）求角的值；
（2）若，求边的长．
18．（12分）
已知函数．
（1）若的图象关于直线对称，求实数的值；
（2）若函数的值域为，求函数的值域．
19．（12分）
已知圆经过两点，且圆心在直线上．
（1）求圆的方程；
（2）过点作圆的切线，求切线方程．
20．（12分）
为了研究的需要，某科研团队进行了如下动物实验：将实验核酸疫苗注射到小白鼠身体中，通过正常的生理活动产生抗原蛋白，诱导机体持续作出免疫产生抗体，经过一段时间后用某种科学方法测算出动物体内抗体浓度，得到如图所示的统计频率分布直方图．
（1）求抗体浓度百分比的中位数；
（2）为了研究“小白鼠注射疫苗后出现副作用症状”，从实验中分层抽取了抗体浓度在中的6只小白鼠进行研究，并且从这6只小白鼠中选取了2只进行医学观察，求这2只小白鼠中恰有1只抗体浓度在中的概率．
21．（12分）
如图，在三棱锥中，是以为底的等腰直角三角形，为的中点．
（1）证明：平面．
（2）若点在棱上，且二面角为，求直线与平面所成角的正弦值．
22．（12分）
已知椭圆经过点，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作直线轴，第四象限内一点在椭圆上（点不在直线上），点和点关于直线对称，直线与椭圆的另一个交点为，试判断直线和直线（O为原点）的位置的关系，并说明理由．
临沧市民族中学2021~2022学年上学期期末考试
高二年级数学试卷参考答案
1．B 因为，所以．因为，所以．
2．D 由已知得．
3．C 命题是一个全称量词命题，故其否定是一个存在量词命题，先改写量词，然后否定结论即可得到，该命题的否定为“”．
4．C 由题知．
5．D 因为，所以，
．
6．A ．
7．D 由题知，两人都不通过的概率为，只有一人通过的概率为，所以所求概率．
8．A 由，∴函数，当时，函数取得最大值，即，
，由，
得，函数的增区间为，故A正确．
9．C 可以把该四棱锥补成一个长方体，且长方体的长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，易知四棱锥的外接球就是长方体的外接球，其直径为尺，表面积为平方尺．
10．A 由题易知，，，．
11．В ，
，
与成角，或．
当时，
，
；当时，易得．
之间的距离的平方为或．
12．B 过做垂直准线垂足为，则，
由，则，则，
则，则，
所以直线的斜率．
13． 由题意，可得，所以．
14． 是一个最小值为2的偶函数．
15． 不妨设在上，则与关于直线对称，由渐近线关于轴对称可知，过一、三象限的渐近线的倾斜角为，即，又，故，则双曲线的方程为．
16．①②③ 由，得平面，则①正确；又因为平面，且平面平面，所以，则②正确；由题意可知，当垂直时，面积才最大，且为，由于为钝角，所以，则③正确．
17．解：（1）由及正弦定理得，即，
，又为三角形的内角，．
（2）由余弦定理，得．
18．解：（1）因为的图象关于直线对称，所以函数的图象关于直线对称，所以．
（2）因为函数的值域为，所以对于方程，有，所以或，所以，故，所以函数的值域为．
19．解：（1）设圆的方程为．
由题意，①，②，
又圆心在直线上，故③，
由①②③解得，
故圆的方程为．
（2）由（1）可知圆，设过的直线为，易知斜率为0时，为圆的切线；当的斜率不为0时，设所求切线方程为，
代入得，得．
令，解得，
即切线方程为或．
20．解：（1）设抗体浓度百分比的中位数为，
由题意知，
解得，所以抗体浓度百分比的中位数为4．
（2）根据频率分布直方图，抗体浓度在中的比例为，
则抽取的6只小白鼠中抗体浓度在中的有只，分别是、；抽取的6只小白鼠中抗体浓度在中的有只，分别是，从这6只小白鼠中选取2只进行医学观察的样本有、、、、、、、、、、、、、、，共15个，其中2只小白鼠中恰有1只抗体浓度在中的样本有，共8个，所以2只小白鼠中恰有1只抗体浓度在中的概率为．
21．解：（1）因为为的中点，所以．连接，因为为等腰直角三角形，且，则．
由知．
由知平面．
（2）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系．
由已知得，，取平面的法向量，
设，则，
设平面的法向量为，
由得，可取，
所以．
由已知可得．
所以．解得（舍去），．所以．
又，所以．
所以与平面所成角的正弦值为．
22．解：（1）由题可得解得，所以椭圆的方程为．
（2）直线和直线平行，证明如下：
由题易知直线和直线斜率均存在，且，设直线斜率为，
则可知，设，
联立与椭圆方程，得，
则，所以，
同理可得，
所以
．
又知，因为在第四象限，所以点不在直线上．
综上可知，直线和直线平行．