高中考试数学特训练习含答案——等式、不等式的性质与均值不等式

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基础巩固组
1
.若 m0 且 m+n1,b>0,则
+ 的最小值为
( )
푏
A.4
B.5
C.6
D.8
1
2
1
3.已知-1≤x+y≤1,1≤x-y≤3,则 8x·
y 的取值范围是( )
1
2
A.[2,28]
C.[2,27]
B. ,28
1
D. ,27
2
1
4.(2020 河北正定模拟,理 15)若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,则 3x+4y 的最小值是 .
创新应用组
1
1
5.(2020 江苏,12)已知 5x2y2+y4=1(x,y∈R),则 x2+y2 的最小值是 .
6.某校决定在学校门口利用一侧原有墙体,建造一间墙高为 3 米,底面为 24 平方米,且背面靠墙的长
方体形状的校园警务室.由于此警务室的后背靠墙,无需建造费用,甲工程队给出的报价为:屋子前面
新建墙体的报价为每平方米 400 元,左右两面新建墙体报价为每平方米 300 元,屋顶和地面以及其他
报价共计 14 400 元.设屋子的左右两面墙的长度均为 x 米(3≤x≤6).
(1)当左右两面墙的长度为多少时,甲工程队报价最低?并求出最低报价;
(2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标,其给出的整体报价为1
右两面墙的长度为多少米,乙工程队都能竞标成功,试求 a 的取值范围.
800푎(1 + 푥)
元(a>0),若无论左
푥

参考答案
课时规范练 3 等式、不等式
的性质与均值不等式
1
2
.D (取特殊值法)令 m=-3,n=2 分别代入各选项检验,可知 D 正确.
1
1
1
1
푏- 푎
푎푏
.A 命题 q: < ,即为 ― 0 成立,则命题 q 一定成立;反之,当命题 q 成
푎
푏
푎
푏
立,不一定有命题 p:a>b>0 成立,所以 p 是 q 成立的充分不必要条件,故选 A.
1
푥
3
.D ∵x0,x+ 0,cs x+x0,所以 2 020a-b>1,故 B 正确;对于 C,
푏
函数 y=ln x 的定义域为(0,+∞),而 a,b 不一定是正数,所以 C 错误;对于 D,因为 c2+1>0,所以
a(c2+1)>b(c2+1),所以 D 正确.
1
2
7
.ABD ∵a+b=1,∴(a+b)2=1=a2+b2+2ab≤2(a2+b2),当且仅当 a=b 时,等号成立.∴a2+b2 ≥ ,故 A 正
确;
∵
∴
∴
a+b=1,a>0,b>0,
a+1=2a+b>b,
a-b>-1,

1
2
∴
∵
∴
∴
2a-b>2-1= ,故 B 正确;
a+b=1≥2 푎푏,当且仅当 a=b 时,等号成立.
1
1
4
ab ≤ ,lg a+lg b=lg ab≤lg =-2,故 C 错误;∵a+b=1≥2 푎푏,当且仅当 a=b 时,等号成立.
2
2
2
2
4
2 푎푏 ≤ 1,( 푎 + 푏)2=a+b+2 푎푏 ≤ 2, ∴ 푎 + 푏 ≤ 2,故 D 正确,故选 ABD.
1
푎
1
푎
푎-
8
.4ꢀ∵a>0,b>0,且 + =1,得 a>1,b>1,b= 1,
푏
4
1
4
1
1
푎- 1
∴
+
=
+
푎
=
+4(a-1)≥2 1 · ( - )=4,
-
1
4 푎 1
푎
-
1
푏
-
1
푎
-
1
푎
-
1
푎
-
1
3
2
1
4
当且仅当 a= 时,等号成立,因此,
+
的最小值为 4.
푎
-
1
푏
-
1
.aabb>abbaꢀ푎푎푏 =aa-b·bb-a=
b
푎
푏
a-b.若 a>b,则 >1,a-b>0,
푎
9
푎
푏
푏
푎
푏
푎
푏
∴
∴
a-b>1,∴aabb>abba;
푎
若 ab 成立,但 > ,A 选项错误;对于 B,取 a=π,b=0,则 a>b 成立,但 sin
푏
1
3
1
3
1
3
π=sin 0,B 选项错误;对于 C,因为 y=
x 在 R 上单调递减,若 a>b,则
ab,但 a21,b>0,且 a+2b=2,所以 a-1>0,(a-1)+2b=1,所以
+ =
+
·[(a-1)+2b]=4+
푏
푏
푎
-
1
4푏
푎- 1
푎
-
1
3
2
1
4
2
푎- 1
1
4
푏
푎
-
1
=
8
,
当
且
仅
当
=
,即 a= ,b= 时,等号成立,所以
+ 的最小值是 8,故选
+
≥
4
+
2
·
푏
푏
푏
푎
-
1
푏
D.
,
,
푠
+
푡
=
3
푠
=
1
1
3.C 令 3x-y=s(x+y)+t(x-y)=(s+t)x+(s-t)y,则
又-1≤x+y≤1,2≤2(x-y)≤6,
∴
-
- ,
,
푠
푡
=
1
푡
=
2

∴
1≤3x-y≤7.
1
2
则 8x·
y=23x-y∈[2,27].故选 C.
1
푦
3
5푥
1
3
9
4
5
3푥 12푦 13
1
4.5 由 x+3y=5xy,可得5
+
=1,所以 3x+4y=(3x+4y)
+
= +
+
+
≥
+2 3푥 12푦
·
5푦 5푥
5
5푦
5푥
5
5
푦
5푥
1
3
12
5
=5,当且仅当3푥
12푦
5푥
1
2
=
+
=
,即 x=1,y= 时取等号,故 3x+4y 的最小值是 5.
5
5푦
4
1
5. 由 5x2y2+y4=1,
5
1
5
1
푦2
得 x2=
- 푦2 .
1
1
푦2
1
1
5푦2
4
4
25
4
所以 x2+y2= · ― y2+y2=
+ y2≥2
= .
5
5
5
5
1
푦2
4
1
2
3
10
当5 = y2,即 y2= ,x2= 时,等号成立,
5
4
所以 x2+y2 的最小值为 .
5
1
6.解 (1)设甲工程队的总造价为 y 元,
2
푥
4
16
푥
则 y=3 300×2x+400 ×
+14 400=1 800 푥 +
+14 400≥1 800×2 ×
16+14 400=28
푥
푥
×
8
00,3≤x≤6,当且仅当 x=16,即 x=4 时等号成立.
푥
故当左右两侧墙的长度为 4 米时,甲工程队的报价最低为 28 800 元.
1
푥
6
1 800푎(1 + 푥)
(푥 + 4)2 푎(1 + 푥)
(2)由题意可得 1 800
+14 400>
对任意的 x∈[3,6]恒成立.故
>
,
푥
+
푥
푥
푥
(푥 + 4)2
푥 + 1
从而
>a 恒成立,
(푥 + 4)2 (푡 + 3)2
9
푡
9
푡
令 x+1=t,
=
=t+ +6,t∈[4,7].又 y=t+ +6 在 t∈[4,7]单调递增,故 ymin=12.25.
푥
+
1
푡
所以 a 的取值范围为(0,12.25).