2024绵阳南山中学高三上学期12月月考试题数学（理）含答案

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命题人：朱晨蕊，审题人：陈燕春
时间：120分钟 满分：150分
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分
第I卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．复数的共轭复数是（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．若是夹角为的两个单位向量，与垂直，则（ ）
A．B．C．D．
4．若，满足约束条件，则的最大值为（ ）
A．25B．27C．29D．30
5．函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知点是抛物线的焦点，点，且点为抛物线上任意一点，则的最小值为（ ）
A．7B．6C．5D．4
7．已知的展开式中常数项为24，则的值为（ ）
A．1B．C．2D．
8．七辆汽车排成一纵队，要求甲车、乙车、丙车均不排队头或队尾且各不相邻，则排法有（ ）
A．48种B．72种C．90种D．144种
9．已知函数，将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象.若的图象关于直线对称，则（ ）
A．B．C．D．
10．已知圆，是圆上的一条动弦，且，为坐标原点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
11．双曲线C：（，）的一条渐近线过点，，是C的左右焦点，且，若双曲线上一点M满足，则（ ）
A．或B．C．D．
12．若实数a，b，，且满足，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．c>b>aB．b>a>cC．a>b>cD．b>c>a
第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．函数的图象在处的切线方程为 .
14．已知是各项均不相同的等差数列，是公比为q的等比数列，且，则 ．
15．已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且与该抛物线在第一象限交于点，若轴，则椭圆C的离心率为 ．
16．人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术.在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.设，则曼哈顿距离，余弦距离，其中（O为坐标原点）.已知点，则的最大值近似等于 .（保留3位小数）（参考数据：.）
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：60分
17．（本小题满分12分）
已知单调递增数列的前项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)记，求数列的前项和．
18．（本小题满分12分）
在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．
(1)求角B；
(2)若，，D为AC边的中点，求的面积．
19．（本小题满分12分）
2023年上海书展于8月16日至22日在上海展览中心举办.展会上随机抽取了50名观众，调查他们每个月用在阅读上的时长，得到如图所示的频率分布直方图：

(1)求x的值，并估计这50名观众每个月阅读时长的平均数；
(2)用分层抽样的方法从这两组观众中随机抽取6名观众，再若从这6名观众中随机抽取2人参加抽奖活动，求所抽取的2人恰好都在这组的概率.
20．（本小题满分12分）
设椭圆的左右顶点分别为，左右焦点.已知，.
(1)求椭圆方程.
(2)若斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，与以为直径的圆交于C，D两点.若，求直线的方程.
21．（本小题满分12分）
已知函数．
(1)当时，求的零点个数；
(2)若恒成立，求实数a的值．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
(2)若曲线C和直线l相交于M，N两点，Q为MN的中点，点，求．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．已知函数R，且的解集为[-1，1].
(1)求m的值；
(2)若，且，求证：.