广西玉林、贵港、贺州市2023届高三联合调研考试（一模）数学（理）试题(含答案)

这是一份广西玉林、贵港、贺州市2023届高三联合调研考试（一模）数学（理）试题(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、设集合,集合,则( )
A.B.
C.D.
2、在区间内随机取一个数x,使得不等式成立的概率为( )
A.B.C.D.
3、某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.B.C.D.
4、已知双曲线的右焦点为,过F和两点的直线与双曲线的一条渐近线平行,则该双曲线的方程为( )
A.B.C.D.
5、的展开式中的系数为( )
A.40B.-40C.80D.-80
6、已知正项等比数列}满足为与的等比中项,则( )
A.B.C.D.2
7、已知函数,则下列说法正确的是( )
A.的一条对称轴为
B.的一个对称中心为
C.在上的值域为
D.的图象可由的图象向右平移个单位得到
8、已知抛物线）的焦点为F,准线为l,过F的直线与抛物线交于点A、B,与直线l交于点D,若,则( )
A.1B.C.2D.3
9、牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为,则经过一定时间t分钟后的温度T满足,h称为半衰期,其中是环境温度.若,现有一杯80°C的热水降至75°C大约用时1分钟,那么此杯热水水温从75°C降至45°C大约还需要（参考数据：,）( )
A.10分钟B.9分钟C.8分钟D.7分钟
10、是定义在R上的函数,为奇函数,则( )
A.-1B.C.D.1
11、如图,在中,M为线段BC的中点,G为线段AM上一点且,过点G的直线分别交直线AB、AC于P、Q两点,,,则的最小值为( )
A.B.1C.D.4
12、已知a、b、,,,,则( )
A.B.C.D.
二、填空题
13、已知i为虚数单位,若,则____________.
14、若钝角中,,,则的面积为__________.
15、近年来,“考研热”持续升温,2022年考研报考人数官方公布数据为457万,相比于2021年增长了80万之多,增长率达到21%以上.考研人数急剧攀升原因较多,其中,本科毕业生人数增多、在职人士考研比例增大,是两大主要因素.据统计,某市各大高校近几年的考研报考总人数如下表：
根据表中数据,可求得y关于x的线性回归方程为,则m的值为_________.
16、已知棱长为8的正方体中,平面ABCD内一点E满足,点P为正方体表面一动点,且满足,则动点P运动的轨迹周长为_________.
17、4月23日是“世界读书日”.读书可以陶冶情操,提高人的思想境界,丰富人的精神世界.为了丰富校园生活,展示学生风采,某中学在全校学生中开展了“阅读半马比赛”活动. 活动要求每位学生在规定时间内阅读给定书目,并完成在线阅读检测.通过随机抽样得到100名学生的检测得分（满分：100分）如下表：
(1)若检测得分不低于70分的学生称为“阅读爱好者”
①完成下列2×2列联表
②请根据所学知识判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下,认为“阅读爱好者”与性别有关;
(2)若检测得分不低于80分的人称为“阅读达人”.现从这100名学生中的男生“阅读达人’中,按分层抽样的方式抽取5人,再从这5人中随机抽取3人,记这三人中得分在内的人数为X,求X的分布列和数学期望.
附：,其中
三、解答题
18、已知数列的前n项和为,,
(1)证明：数列{}为等差数列;
(2),求λ的最大值.
19、在三棱锥中,底面ABC是边长为的等边三角形,点P在底面ABC上的射影为棱BC的中点O,且PB与底面ABC所成角为,点M为线段PO上一动点.
(1)求证：;
(2)是否存在点M,使得二面角的余弦值为,若存在,求出点M的位置;若不存在,请说明理由.
20、已知椭圆过,两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)F为椭圆C的右焦点,直线l交椭圆C于P,Q（均不与点A重合）两点,记直线AP,AQ,l的斜率分别为k1,,,若,求的周长.
21、已知函数,
(1)当时,求函数的最小值;
(2)若关于x的方程有两个不同的实根,证明：.
22、在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为（t为参数）,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为.
(1)求曲线C的直角坐标方程;
(2)若直线l与曲线C交于A,B两点,求.
23、已知函数,
(1)当时,求的最小值;
(2)若对,不等式恒成立,求a的取值范围.
参考答案
1、答案：C
解析：由已知,
.
故选：C.
2、答案：B
解析：由可得,
由几何概型的定义可得使不等式成立的概率为：.
故选：B.
3、答案：A
解析：由三视图可知：该几何体是一个棱长为的正方体内挖去一个底面半径为,高为的圆锥,
由正方体和圆锥的体积计算公式可得：
,
故选：A.
4、答案：A
解析：因为双曲线,所以它的渐近线为,
又因为,,所以直线PF的斜率为,
因为直线PF与双曲线的一条渐近线平行,所以,故,
又因为双曲线的右焦点为,所以,故,
所以该双曲线的方程为.
故选：A.
5、答案：A
解析：的展开式的通项,
令,解得,
所以,所以项的系数为40,
故选：A.
6、答案：B
解析：设等比数列的公比为q,
由题意得,即,
,,,
,
故选：B.
7、答案：C
解析：,
因为,故不是对称轴,故A错误.
,不是的一个对称中心,
故B错误.
当时,,故,
所以,即在上的值域为,
故C正确.
的图象向右平移后对应的解析式为,
当时,此时函数对应的函数值为,而,
故与不是同一函数,故D错误.
故选：C.
8、答案：D
解析：如图,
设准线与x轴的交点为K,作,,垂足分别为,,
则.根据抛物线定义知,,
又,所以,
设,因为,所以,
则.
所以,又,可得,所以,
所以,
可得,即.
故选：D.
9、答案：A
解析：将所给数据代入得,,
即,所以
当水温从75°C降至45°C时,满足,
可得,即分钟.
故选：A.
10、答案：A
解析：是定义在R上的函数,为奇函数,
则.
.
故选：A.
11、答案：B
解析：由于M为线段BC的中点,则
又,所以,又,
所以,则
因为G,P,Q三点共线,则,化得
由
当且仅当时,即,时,等号成立,的最小值为1.
故选：B.
12、答案：A
解析：因为a、b、,由可得,由可得,
由可得,
构造函数,其中,则,
当时,;当时,.
所以,函数的增区间为,减区间为,
因为,所以,,即,
即,
因为a、b、,则、、,所以,,
因此,.
故选：A.
13、答案：1
解析：因为,所以,
所以,,则,
故答案为：1.
14、答案：
解析：由正弦定理得,
C是三角形内角,则或,
若,则不合题意,舍去,故,,
.
故答案为：.
15、答案：2.8
解析：,,
,
,
解得.
故答案为：2.8.
16、答案：
解析：,则E在CB的延长线上,且,
由正方体性质知平面,当P在平面上时,平面,,由得,因此P点轨迹是以B为圆心,2为半径的圆在正方形内的部分即圆周的,弧长为,从而知P点在以B为顶点的三个面内.
当P在棱上时,,,
因此P点在面时,P点轨迹是以E为圆心,为半径的圆在正方形内的圆弧,圆弧的圆心角为,弧长为,同理P点在面ABCD内的轨迹长度也为,
所以所求轨迹长度为.
故答案为：.
17、答案：(1)① 填表见解析;②不能
(2)分布列见解析;期望为
解析：（1）由题中表格可得2×2列联表如下
由题意得,
所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下,不能认为“阅读爱好者”与性别有关.
（2）根据检测得分不低于80分的人称为“阅读达人”,
则这100名学生中的男生“阅读达人”中,按分层抽样的方式抽取.
内应抽取3人,内应抽取2人,
所以,X的取值为0,1,2,
,
,
所以X的分布列为;
所以X的数学期望是.
18、答案：(1)证明见解析;
(2)-3.
解析：（1）, , ,
,
又, ,
所以数列是以为首项和公差的等差数;
（2）由(1)知：,
所以,
,
,
又满足上式,
,
因为,
所以,
所以,
记,
又在上单调递减,在上单调递增,
又因为,
所以,
所以,
所以的最大值为-3.
19、答案：(1)证明见解析
(2)存在,且点M为PO的中点
解析：（1）证明：连接AO,为等边三角形,O为BC的中点,则,
因为点P在底面ABC上的射影为点O,则平面ABC,
平面ABC,,
,AO、平面APO,平面APO,
平面APO,.
（2）因为平面ABC,,以点O为坐标原点,OB、AO、OP所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,
因为平面ABC,所以,PB与底面ABC所成的角为,
则、、,设点,其中,
,,设平面PAB的法向量为,
则,取,则,
,设平面ABM的法向量为,
则,取,则,
由已知可得,可得,
,解得,即点.
因此,当点M为PO的中点时,二面角的余弦值为.
20、答案：(1)
(2)8
解析：（1）将, 代入椭圆中,
,解得,
故椭圆C方程为;
（2）设直线,,
由,
得
,
又,
故
由k,得,得,
故或.
①当时,直线,过定点,与已知不符,舍去;
②当时,直线,过定点,即直线l过左焦点,此时,符合题意.
所以的周长为.
21、答案：(1)
(2)证明见解析
解析：（1）由题知：,其定义域为,
,
令,则,
在上单调递增,
,,
设,得,,得,
所以在上单调递减,在上单调递减,
;
（2）设 ,
设,则,易知 在R上单调递增,
要使方程有两个不同的实根,而函数 只存在1个零点,设为 ,
所以方程 在上存在2个根,设为,且,则且 ,
所以即,要证,即证,
即证：
, ,
设 ,设,所以 ,
所以在（0,1）单调递减,,即,
故,所以即;
综上,.
22、答案：(1)
(2)
解析：（1）变形为,
即,
因为,故,
即;
（2）变形为,
与联立得：,
故,
故.
23、答案：(1)2;
(2)或.
解析：（1）化简得,
当时,,
当时等号成立,所以的最小值为2;
（2）由基本不等式得,
当且仅当,即时,等号成立.
又因为,
当且仅当时,等号成立.
所以,
或
或.
年份
2018
2019
2020
2021
2022
年份序号x
1
2
3
4
5
报考人数y（万人）
1.1
1.6
2
2.5
m
男生
2
3
5
15
18
12
女生
0
5
10
10
7
13
阅读爱好者
非阅读爱好者
总计
男生
女生
总计
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
阅读爱好者
非阅读爱好者
合计
男生
45
10
55
女生
30
15
45
合计
75
25
100
X
0
1
2
P