重庆南开中学校2024届高三第四次12月期中质量检测数学试卷

这是一份重庆南开中学校2024届高三第四次12月期中质量检测数学试卷，共17页。试卷主要包含了12，设集合，则集合的真子集个数为，已知，，，则向量与的夹角等于，已知实数a、b、c满足，在正方体中，为棱上任意一点等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.（ ）
A.B.C.D.
2.设集合，则集合的真子集个数为（ ）
A.32B.31C.16D.15
3.已知直线a、b与平面、，下列命题正确的是（ ）
A.若，，则B.若，，则
C.若，，则D.若，，则
4.已知，，，则向量与的夹角等于（ ）
A.B.C.D.
5.已知实数a、b、c满足：，则下列关系不可能成立的是（ ）
A.B.C.D.
6.如图，将钢琴上的12个键依次记为，，…，.设，若且，则称，为原位大三和弦.现随机按下两个白键和一个黑键，则恰好按下的是一个原位大三和弦的概率为（ ）
A.B.C.D.
7.设抛物线的准线与轴的交点为N，O为坐标原点，经过O、N两点的圆C与直线相切，圆C与抛物线E的另一个交点为P，若，则（ ）
A.2或B.2或4C.或D.2或
8.将一张如图所示的两直角边长度分别为8和15的直角三角形硬纸片，沿虚线剪成四块，这四块纸片恰好可以通过折叠，拼接形成一个密封的直三棱柱模型，则所得直三棱柱模型的体积为（ ）
A.30B.24C.20D.18
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5-分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分；
9.已知函数是定义在上的奇函数，则下列说法正确的有（ ）
A.函数是偶函数B.函数的图象关于点对称
C.函数是偶函数D.函数是奇函数
10.在正方体中，为棱上任意一点（含端点），下列说法正确的有（ ）
A.直线与直线一定异面B.直线与直线一定垂直
C.直线可能与平面平行D.直线可能与平面垂直
11.已知数列和都是等差数列，，，，设集合，，，若将集合中的元素从小到大排列，形成一个新数列，下列结论正确的有（ ）
A. B. C.D.数列的前20项和为610
12.如图，双曲线的左右焦点分别为和，点、分别在双曲线的左、右两支上，为坐标原点，且，则下列说法正确的有（ ）
A.双曲线的离心率 B.若且，则的渐近线方程为
C.若，则 D.若，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若直线与直线平行，则实数的值为__________.
14.已知，则__________.
15.已知直线与圆交于A、B两点，则弦长的最大值为__________.
16.已知函数，曲线的一个对称中心为，一条对称轴为，则的最小值为__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，，
（1）求的面积；
（2）设为线段上一点，且，求的值.
18.（本小题满分12分）为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽取了40名学生，按照性别和体育锻炼情况整理得到如下的列联表：
（1）根据上表数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素会影响学生体育锻炼的经常性？
（2）如果将表中的数据都扩大为原来的倍，在相同的检验标准下，得到与（1）中不一样的结论.
（i）求的最小值；
（ii）如果抽样方式不变，你认为（1）和（2）的结论哪个更可靠，并说明理由.
附：，其中
19.（本小题满分12分）在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，面，为棱的中点，经过、、三点的平面交棱于点.
（1）求证：平面；
（2）若直线与平面所成角大小为，求平面与平面所成角的余弦值.
20.（本小题满分20分）已知数列满足，，，.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）记数列的前项和为，数列的前项和为，是否存在常数，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
21.（本小题满分12分）已知函数，，.
（1）若曲线在点处的切线与曲线也相切，求实数的值.
（2）若不等式对任意的恒成立，求的取值范围.（…为自然对数的底数）
22.（本小题满分12分）椭圆的左右焦点为和，为椭圆的中心，过作直线、，分别交椭圆于、和、，且的最大值为，的最小值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设线段、的中点分别为、，记的面积为，的面积为，若直线、的斜率为、且，求证：为定值，并求出这个定值.
重庆市高2024届高三第四次质量检测
数学试题参考答案与评分细则
一、单项选择题：
1.C
【解析】.
2.D
【解析】A集合，又，
的真子集个数为：.
3.C
【解析】A选项没说；B选项平面内存在与直线不平行的直线；D选项要满足直线垂直于两平面的交线.
4.B
【解析】，，.
5.D
【解析】令，画出，，，图象可知：
当在①位置时，
当在②位置时，
当在③位置时，.
6.A
【解析】随机按下两个白键和一个黑键的方法数为：，原位大三和弦的组合有，，，，，其中满足两个白键和一个黑键的只有，两种情况，故恰好按下的是一个原位大三和弦的概率为.
7.A
【解析】设圆心，半径为，已知，，
在中，由正弦定理得，
，.
又圆与直线相切，
当时，则圆心到直线距离，得；
当时，则圆心到直线距离.
即，或（舍），综上或.
8.B
【解下】易知两块全等的小三角形作为直三棱柱的底面，剩下两部分拼接成直三棱柱的侧面.
、分别为、中点，，即直三棱柱的高为4，
又底面三角形周长恰好为长度，，故，恰好满足题意，直三棱柱体积为.
二、多项选择题
9.AD
【解析】对于A：令，，为偶函数，A，正确.
对于B：向左移1个单位得到图像，故对称中心为，B错误.
令，，为奇函数，故C错D对.
10.BCD
【解析】对于A：当P与重合时，，A错
对于B：垂直于所在平面，故，B正确
对于C：当P与重合时，，面，，C正确
对于D：当与重合时，面，D正确
11.ACD
【解析】对于A：由，，解得，，
所以，，所以A对；
对于B、C：令，所以当，时，，且相邻公共项之间依次有，，，所以当时，所以B错，C对；
对于D：由B可知，记前项和为，则约前20项和为，1，2，3，4时，用以D对.
12.ACD
【解析】对于A：，两渐近线夹角小于，，，A正确；
对于B：时为等腰直角三角形，，又点在双曲线上，代入双曲线方程得，，渐近线方程为，B错；
对于C：在双曲线上取B关于原点的对称点M，连接，，，.
，，又，.
又，为中点，，必有，，三点共线
为角平分线，，C正确；
对于D：作上取一点使得，，，
，，又，，
，，D正确.
三、填空题
13.或
【解析】两直线平行，即，得或
14.
【解析】令，则，
.
15.
【解析】已知圆的半径，设圆心到直线距离（时取等），又，当取最小时取得最大值，故时，.
16.9
【解析】为的一个对称中心，为的一条对称轴，
，得
，，代入①得
，当，时，.
四、解答题
17.（1）法一：由余弦定理得，整理得.
因，解得，所以
法二：由正弦定理得，因，故，所以为锐角，，
故，
所以
（2）因，故，所以，，
法一：
法二：.
18.解：（1）：学生体育锻炼的经常性与学生性别没有关系.
根据的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此认为成立，即学生体育锻炼的经常性与学生性别没有关系.
（2）（i）当表中的数据都扩大为原来的倍时，
根据的独立性检验，若推断不成立，即在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学生体育锻炼的经常性与学生性别有关系.
则有：，解得，又，故的最小值为8.
（ii）在抽样方式不变的情况下，（2）中的结论更可靠.这是因为对于随机样本而言，频率具有随机性，我们的推断可能犯错误，样本容量越小，犯错误的可能性会越大，因此在抽样方式不变的前提下，样本容量大的结果更可靠.
19.解：（1），平面，平面，平面，
又，平面，，
又是的中点，是的中点，且，
又，且，四边形是平行四边形，
又平面，平面，平面.
（2）连接，因且，，
所以且，
又平而，平而，故，
又，所以平面，故为直线与平面所成角，
从而，且.
如图，以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，.
平面的法向量为，设平面的法向量为，
则，取，得，，
所以平面与平面所成角的余弦值为.
20.解：（1）当时，
又，故数列是以2为首项，公比为4的等比数列.
（2）由（1）得，故
，，
所以
故，即存在常数满足题意.
21.解：（1），，，，
故切线方程为，即.
设切线与曲线切于点，则，
解得，.
（2）法一：因为，敌
记，，
令，，故在并单调递减，
在单调递增，所以当时，.
所以，故任单调递减，在单调递增，，
所以的取值范围为.
法二：取，由，得.
下证：当时，恒成立.
记，因，战在单调递减，
所以，
记，
，，
记，，，
故在单调递减，在单调递增，
故，
故，单调递增，又，所以在单调递减，
在单调递增，所以，得证.
综上知，的取值范围为.
22解：（1）由已知得，解得，，故椭圆方程为，
（2）由（1）得，，设直线，，
其中，，则.
由消去得：，，
设，，，则，，
，，
即，同理可得
法一：设直线的斜率为，
则.
故直线的方程为，即
将代入得，故直线恒过定点
于是点与点到直线的距离之比等于，从而.
法二：，
故
所以.性别
锻炼
合计
不经常
经常
女生
5
10
15
男生
5
20
25
合计
10
30
40
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
D
C
B
D
A
A
B
AD
BCD
ACD
ACD