2023-2024学年贵州省贵阳市高二上学期11月普通高中质量监测数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年贵州省贵阳市高二上学期11月普通高中质量监测数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={−1,0,1,2},B={xx2≤1}，则A∩B=
A. {0,1}B. {−1,0,1}C. {−1,1}D. {0,1,2}
2.复数52−i的共轭复数是( )
A. −2−iB. −2+iC. 2−iD. 2+i
3.已知x>0，则x+1x
A. 有最大值1B. 有最小值1C. 有最大值2D. 有最小值2
4.若lga(a>0)与lgb(b>0)互为相反数，则
A. a+b=0B. a+b=1C. ab=1D. ab=1
5.已知u=(3,a+b,a−b)(a,b∈R)是直线l的方向向量，n=(1,2,3)是平面α的法向量．若l//α，则b−5a=
A. 3B. 4C. 5D. 6
6.方程lnx+2x−6=0的实数解x0所在的区间是
A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)
7.共享充电宝是指企业提供给用户的充电租赁设备，使用者可以随借随还，非常方便，某品牌的共享充电宝由甲、乙、丙三家工厂供货，相关统计数据如下表所示：
则该品牌共享充电宝的平均合格率的估计值为
A. 0.975B. 0.980C. 0.986D. 0.988
8.如图，在四面体OABC中，OA=a，OB=b，OC=c.点M在OA上，且OM=2MA，N为BC中点，则MN等于
．( )
A. 12a→−23b→+12c→B. −23a→+12b→+12c→C. 12a→+12b→−12c→D. 23a→+23b→−12c→
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列函数中，既是奇函数，又在区间(0,+∞)上是增函数的是
( )
A. y=1xB. y=x3C. y=x|x|D. y=x2
10.已知直线l:Ax+By+C=0，其中A,B不全为0，则下列说法正确的是
A. 当C=0时，l过坐标原点
B. 当AB>0时，l的倾斜角为锐角
C. 当B=0,C≠0时，l和x轴平行
D. 若直线l过点P(x0,y0)，直线l的方程可化为A(x−x0)+B(y−y0)=0
11.已知函数f(x)=sin(2x+π3)，则下列结论正确的是
A. f(x)的一个周期为π
B. y=f(x)的图象关于直线x=7π12对称
C. f(x)在(0,π2)上单调递增
D. f(x)的图像向右平移π6个单位后得函数y=sin2x
12.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别为BD1，B1C1的中点，点P在正方体的表面上运动，且满足MP⊥CN.下列说法中错误的是
( )
A. 点P可以是棱BB1的中点B. 线段MP长度的最大值为 52
C. 点P的轨迹是正方形D. 点P的轨迹长度为2+ 5
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知sinα=35，且α∈(π2,π)，则tanα的值是________．
14.从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50∼350kw⋅ℎ之间，进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出频率分布直方图如图所示．则在被调查的用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为________.
15.已知直三棱柱ABC−A1B1C1的6个顶点都在球O的表面上，若AC⊥AB，AB=3，AC=4,AA1=12，则球O的表面积为________．
16.已知圆心在x轴上的圆C和直线l:4x+3y−6=0相切于点P(35,65)，则圆C的方程是________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
已知|a|=1,a⋅b=12,(a−b)⋅(a+b)=12．
(1)求a与b的夹角θ；
(2)a−b与a+b夹角α的余弦值．
18.(本小题12分)
已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acsC+ 3asinC=b+c．
(1)求角A；
(2)若a=2，△ABC的面积为 3，求b，c．
19.(本小题12分)
某学会创办了一个微信公众号，设定了一些固定栏目定期发布文章．为了扩大其影响力，后台统计了反映读者阅读情况的一些数据，其中阅读跳转率f(x)记录了在阅读某文章的所有读者中，阅读至该篇文章总量的x%时退出该页面的读者占阅读此文章所有读者的百分比．例如：阅读跳转率f(20)=5%表示阅读某篇文章的所有读者中，阅读量至该篇文章总量的20%时退出该页面的读者占阅读此篇文章的所有读者的5%.现从该公众号某两个栏目中各随机选取一篇文章．分别记为篇目A，B，其阅读跳转率的折线图如图所示．用频率来估计概率．
(1)随机选取一名篇目A的读者，估计他退出页面时阅读量大于文章总量的80%的概率；
(2)现用分层随机抽样的方法，在阅读量没有达到30%的篇目B的读者中抽取6人，任选其中2人进行访谈，求这两人退出页面时阅读量都为文章总量的10%的概率；
20.(本小题12分)
在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1B和C1C上异于端点的动点，将经过三点A、E、F的平面被正方体截得的图形记为Γ.如图中BE=CF时截面图形Γ为矩形．
(1)在图中作出截面图形Γ为梯形的情形；(直接画出图形即可，不需说明)
(2)当点E为BB1中点时，求A1C与平面EAC所成角的正弦值．
21.(本小题12分)
已知圆C:(x−1)2+(y−2)2=25，直线l:(2m+1)x+(m+1)y−7m−4=0，m∈R．
(1)求证：直线l恒过定点；
(2)求直线l被圆C截得的弦最短时m的值，并求出此最短弦长．
22.(本小题12分)
阅读材料：
差分和差商
古希腊的著名哲学家芝诺，曾经提出“飞矢不动”的怪论.他说箭在每一个时刻都有一个确定的位置，因而在每一时刻都没有动.既然每个时刻都没有动，他怎么能够动呢？
为了驳倒这个怪论，就要抓住概念，寻根究底.讨论有没有动的问题，就要说清楚什么叫动，什么叫没有动．
如果一个物体的位置在时刻u和后来的一个时刻v不同，我们就说他在时刻u和v之间动了，反过来，如果他在任意时刻t∈[u,v]都有相同的位置，就说它在u到v这段时间没有动．
这样，芝诺怪论的漏洞就暴露出来了.原来，动或不动都是涉及两个时刻的概念。芝诺所说“在每一个时刻都没有动”的论断是没有意义的！
函数可以用来描述物体的运动或变化。研究函数，就是研究函数值随自变量变化而变化的规律。变化的情形至少要看两个自变量处的值，只看一点是看不出变化的。
设函数y=f(x)在实数集S上有定义。为了研究f(x)的变化规律，需要考虑它在S中两点处的函数值的差。
定义(差分和差商)称f(v)−f(u)为函数f(x)从u到v的差分，这里若无特别说明，均假定u≠v.通常记ℎ=v−u，ℎ叫做差分的步长，可正可负.差分和它的步长的比值f(v)−f(u)v−u叫做f(x)在u和v的差商．
显然，当u和v位置交换时，差分变号，差商不变．
随着f(x)所描述的对象不同，差商可以是平均速度，可以是割线的斜率，也可以是曲边梯形的平均高度.一般而言，当u显然，函数和它的差商有下列关系：
某区间S上，单调递增函数的差商处处为正，反之亦然；
某区间S上，单调递减函数的差商处处为负，反之亦然．
可见，差商是研究函数性质的一个有用的工具．
回答问题：
(1)计算一次函数f(x)=kx+c的差商．
(2)请通过计算差商研究函数f(x)=x22+1x的增减性．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查简单二次不等式的解法以及集合交集的运算，属于基础题．
首先化简集合B，然后进行交集的运算即可.
【解答】
解：集合A={−1,0,1,2},，
B=xx2≤1=x−1⩽x⩽1，
则A∩B=−1,0,1．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查复数代数形式的乘除运算和共轭复数，是基础题．
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．
【解答】
解：∵52−i=5(2+i)(2−i)(2+i)=5(2+i)22+(−1)2=2+i，
∴复数52−i的共轭复数是2−i．
故选：C．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题．
利用基本不等式求最值即可．
【解答】
解：∵x>0，
∴ x+1x⩾2 x·1x=2，
当且仅当x=1x，即x=1时取等号，
故x+1x最小值为2，无最大值．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查的是对数与对数的运算，属于基础题．
根据lga(a>0)与lgb(b>0)互为相反数，可以得到lga+lgb=0，从而算出ab=1，得出答案．
【解析】
解：∵lga(a>0)与lgb(b>0)互为相反数，
∴lga+lgb=0，
∴lgab=0，
∴ab=1，
故选C．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查利用空间向量判断线面平行，属于基础题．
利用u·n=0即可求解．
【解答】
解：由题意，得u·n=(3,a+b,a−b)·1,2,3=3+2a+b+3a−b=5a−b+3=0，
则b−5a=3
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了对数函数的性质，函数零点存在性定理，属于基础题．
构造函数f(x)=lnx+2x−6，从而利用函数的零点的判定定理判断即可．
【解答】
解：令f(x)=lnx+2x−6，
易知其在定义域上连续且单调递增，
f(1)=ln1+2−6=−4<0，
f(2)=ln2+4−6=ln2−2<0，
f(3)=ln3+6−6=ln3>0，
故f(2)f(3)<0，
故实根所在区间是(2,3)．
故选C．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考察的平均数的计算方法，属于容易题．
根据已知条件和平均数的计算方法求得结果．
【解答】
解：0.99×0.6+0.98×0.3+0.98×0.1=0.986
该品牌共享充电宝的平均合格率大约为0.986，故选C．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查空间向量定理及其应用．
根据空间向量定理利用向量加法和减法的运算得出答案．
【解答】
解：(1)∵OA=a，OB=b，OC=c，点M在OA上，且OM=2MA，N为BC的中点，
∴OM=23OA=23a
ON=12(OB+OC)=12b+12c
∴MN=ON−OM=−23a+12b+12c
故选B
9.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．
【解答】
解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y=1x，为反比例函数，是奇函数，但在区间(0,+∞)上是减函数，不符合题意；
对于B，y=x3既是奇函数又在区间(0,+∞)上是增函数，符合题意；
对于C，易知y=x|x|为奇函数，且y=x|x|=x2,x⩾0−x2,x<0在区间(0,+∞)上是增函数，符合题意；
对于D，y=x2，是二次函数，是偶函数，不符合题意．
故选BC．
10.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查了直线一般方程的应用，属于中档题．
结合直线方程依次判断各个选项即可．
【解答】
解：直线l:Ax+By+C=0，其中A,B不全为0，
当C=0时，直线为：Ax+By=0，过原点，故A正确；
当AB>0时，直线斜率为k=−AB<0，故直线倾斜角为钝角，故B错误；
当B=0,C≠0时，直线为：x=−CA，l和y 轴平行，故C错误；
若直线l过点P(x0,y0)，则Ax0+By0+C=0⇒C=−Ax0+By0，给直线l的方程可化为A(x−x0)+B(y−y0)=0，故D正确．
11.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．
由题意利用正弦型函数的图象和性质，得出结论．
【解答】
解：选项A:周期T=2π2=π，故A正确;
选项B:f(712π)=sin32π=−1，故B正确;
选项C:∵x∈(0,π2)，∴2x+π3∈(π3,4π3)，
y=sinx在(π3,4π3)上不单调，故C错误;
选项D:y=sin2x向左平移π6个单位得到y=sin2(x+π6)=sin(2x+π3)，故D正确，
故选ABD．
12.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查利用空间向量利用空间向量判定线线的垂直，立体几何综合题(探索性问题、轨迹问题等)，属于较难题.
以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1方向为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，设Px,y,z，对各选项逐项判定，即可求出结果．
【解答】
解：在正方体ABCD−A1B1C1D1中，
以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1方向为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，
因为该正方体的棱长为1，M，N分别为BD1，B1C1的中点，
则D0,0,0,M12,12,12,N12,1,1,C0,1,0，
所以CN=12,0,1，
设Px,y,z，
则MP=x−12,y−12,z−12，
因为MP⊥CN，
所以12x−12+z−12=0，即2x+4z−3=0，
当x=1时，z=14，
当x=0时，z=34，
取E1,0,14,F1,1,14,G0,1,34,H0,0,34，
连接EF，FG，GH，HE，
则EF=HG=0,1,0,EH=FG=−1,0,12，
所以四边形EFGH为矩形，
则EF·CN=0,EH·CN=0，即EF⊥CN,EH⊥CN，
又EF∩EH=E，EF,EH⊂平面EFGH，
所以CN⊥平面EFGH，
又EM=−12,12,14,MG=−12,12,14，
所以M为EG的中点，
则M∈平面EFGH，
所以为使MP⊥CN，且点P在正方体的表面上运动，
所以点P的轨迹为四边形EFGH，
因此点P不可能是棱BB1的中点，故A错误；
又EF=GH=1,EH=FG= 52，
所以EF≠EH，
则点P的轨迹不是正方形，且矩形EFGH的周长为2+2× 52=2+ 5，故C错误，D正确；
因为点M为EG中点，
则点M为矩形EFGH的对角线交点，
所以点M到点E和点G的距离相等，且最大，
所以线段MP的最大值为34，故B错误．
故选ABC．
13.【答案】−34
【解析】【分析】
本题考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．
根据sinα=35 及α的范围求出csα，再根据tanα=sinαcsα即可求解．
【解答】
解：因为sinα=35，且α∈(π2,π)，
所以csα=− 1−sin2α=−45，
所以tanα=sinαcsα=−34．
14.【答案】70
【解析】【分析】
本题考查频率分布直方图，属于基础题．
根据频率分布直方图中，各组的频率之和为1，我们易得到一个关于x的方程，解方程即可得到x的值，再由已知中的频率分布直方图，利用[100,250)之间各小组的纵坐标(矩形的高)乘以组距得到[100,250)的频率，利用频率乘以样本容量即可求出频数．
【解答】
解：依题意及频率分布直方图知，
0.0024×50+0.0036×50+0.0060×50+x×50+0.0024×50+0.0012×50=1，
解得x=0.0044，
样本数据落在[100,150)内的频率为0.0036×50=0.18，
样本数据落在[150,200)内的频率为0.006×50=0.3，
样本数据落在[200,250)内的频率为0.0044×50=0.22，
故在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为(0.18+0.30+0.22)×100=70．
故答案为70．
15.【答案】169π
【解析】【分析】
本题考查球的表面积，球的内接体问题，考查学生空间想象能力以及计算能力，属于中档题．
设P，Q分别为BC，B1C1的中点，则O为PQ的中点，求得球半径即可得表面积．
【解答】
解：直三棱柱ABC−A1B1C1的各顶点都在同一球面上，
AB=3，AC=4，AB⊥AC， AA1=12 ，所以BC=5，
设P，Q分别为BC，B1C1的中点，则O为PQ的中点，
则球的半径为OB= 522+1222=132，
球O 的表面积为4π×(132)2=169π．
故答案为169π．
16.【答案】(x+1)2+y2=4．
【解析】【分析】
本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．
由题意设C(a,0)，运用两直线垂直的条件，斜率之积为−1，解得a，进而得到所求圆的标准方程；
【解答】
解：由圆心在x轴上的圆C与直线l：4x+3y−6=0切于点P(35,65).
设C(a,0)，则kPC=6535−a，
∴6535−a⋅(−43)=−1，∴a=−1，
∴C(−1,0)，|CP|=2，即r=2，
∴圆C的标准方程为(x+1)2+y2=4．
故答案为：(x+1)2+y2=4．
17.【答案】解：(1)∵(a−b)⋅(a+b)=12，
∴|a|2−|b|2=12，
∵|a|=1，
∴|b|= 22 ，
∴csθ=a⋅b|a|⋅|b|=121⋅ 22= 22，
∵θ∈[0,π]，
∴θ=π4．
(2)∵(a−b)2=a2−2a·b+b2=12 ，
∴|a−b|= 22 ，
∵(a+b)2=a2+2a·b+b2=52 ，
∴|a+b|= 102，
∴csα=(a−b)⋅(a+b)|a−b|⋅a+b=12 22. 102= 55．

【解析】本题考查平面向量的数量积的运算及应用，向量的夹角，模的计算，属于中档题．
(1)运用公式cs=a⋅b|a||b|求解即可．
(2)求解|a−b|= 22，|a+b|= 102，运用夹角公式求解．
18.【答案】解：(1)由正弦定理可得：sinAcsC+ 3sinAsinC=sinB+sinC，
由A+B+C=π，则sinB=sin(A+C)=sinAcsC+csAsinC，
∴sinAcsC+ 3sinAsinC=sinAcsC+csAsinC+sinC，
整理得： 3sinA−csA=1，即2sin(A−π6)=1，sin(A−π6)=12，
则A−π6=π6+2kπ或A−π6=5π6+2kπ，
由0(2)由△ABC的面积为S=12bcsinA= 3，则bc=4，
由余弦定理可得：a2=b2+c2−2bccsA，整理得：b+c=4，
解得：b=c=2，
∴b=c=2．
【解析】(1)利用正弦定理将边转化成角，将已知等式中涉及的边和角进行转化，利用辅助角公式即可求得A的值；
(2)根据三角形的面积公式及余弦定理即可求得b和c的值．
本题考查三角函数的恒等变换，考查正弦定理及余弦定理的应用，考查转化思想，属于中档题．
19.【答案】解：(1)阅读量大于文章总量的80%的概率为0.3+0.1=0.4;
(2)阅读量没有达到30%，即为10%和20%的频率相等，因此抽取的6人各有3人，
分别计10%的编号为A，B，C，20%的编号为a，b，c，
任取2人的样本空间为：{AB,AC,Aa,Ab,Ac,BC,Ba,Bb,Bc,Ca,Cb,Cc,ab,ac,bc}共15个样本点，其中均为10%的有ab，ac，bc共3个，
所求概率为P=315=15．
【解析】本题考查了折线图的应用，古典概率概率公式的应用，读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题．
(1)利用题中折线图中的数据，由频率估计概率即可；
(2)利用分层抽样的特点，得到10%抽取3人，20%的抽取3人，然后由古典概型的概率公式求解即可；
20.【答案】解：(1)如图所示是一种作法．∵平面AA1B1B//平面CC1D1D，
平面AEF∩平面AA1B1B=AE，平面AEF∩平面CC1D1D=FG，由面面平行的
性质定理可得AE//FG，当BE>CF时，过点D作DH//FG交CC1于点H，易知DH=AE且FG故此时截面图形厂为梯形．
(2)以A为坐标原点，分别以AB、AD、AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标
系，设正方体棱长为1，则A(0,0,0)，E(1,0,12)，C(1,1,0)，A1(0,0,1)，
设平面AEC法向量n=(x,y,z)，
所以n⋅AE=0n⋅AC=0⇒x+12z=0x+y=0,
令z=2，得x=−1，y=1，
所以n=(−1,1,2)，A1C=(1,1,−1)，
设A1C与平面AEC所成角为θ，
所以sinθ=|A1C⋅n||A1C|⋅|n|=|−1+1−2| 6× 3= 23．
【解析】本题考查了简单几何体的结构特征以及线面角，是一般题．
(1)根据面面平行的性质可以得出答案；
(2)建立空间直角坐标系，根据线面角公式求出答案．
21.【答案】(1)证明：直线l的方程(2m+1)x+(m+1)y−7m−4=0，
整理得(2x+y−7)m+(x+y−4)=0，
此方程对于任意实数m成立，于是有2x+y−7=0x+y−4=0，解得x=3y=1，
所以直线l恒过定点D(3,1);
(2)解：因为直线l恒经过圆C内的定点D，
所以当直线l垂直于CD时被截得的弦长最短，
由C(1,2)，D(3,1)，可知kCD=−12，
所以当直线l被圆C截得的弦最短时，直线l的斜率为2，
于是有−2m+1m+1=2，解得m=−34，
此时直线l的方程为y−1=2(x−3)，即2x−y−5=0．
又|CD|= 5，所以最短弦长为2 25−5=4 5．
【解析】本题考查了直线与圆的位置关系，考查直线过定点问题，属于中档题．
(1)令m的系数为0可得直线过定点；
(2)直线l过定点D(3,1)，由几何知识可得，直线l与CD垂直时，所得弦长最短．
22.【答案】解：(1)一次函数f(x)=kx+c的定义域内任取u，v∈R，
∵f(v)−f(u)=kv+c−ku−c=k(v−u)，
∴f(v)−f(u)v−u=k(v−u)v−u=k，
一次函数f(x)=kx+c的差商处处为k;
(2)设u因为函数f(x)在x=0处没有意义，故分别在(−∞,0)和(0,+∞)上来讨论。
当u有f(v)−f(u)v−u=u+v2−1uv<0，故函数在(−∞,0)递减;
当0若u从而f(v)−f(u)v−u=u+v2−1uv<0，故函数在(0,1]递减;
若1≤u1>1uv，
从而f(v)−f(u)v−u=u+v2−1uv>0，
故函数在[1,+∞)递增．
【解析】本题考查新定义，考查函数的单调性，属于较难题．
(1)利用差商的定义即可求解;
(2)利用差商的定义，结合函数的单调性即可求解．工厂名称
合格率
供货量占比
甲
99.0%
0.6
乙
98.0%
0.3
丙
98.0%
0.1