6.湖南省长沙市长郡中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题

这是一份6.湖南省长沙市长郡中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（ ）
A．B．C．D．
2．定义：若，则称复数是复数的平方根.根据定义，复数的平方根为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．与向量垂直的单位向量为（ ）
A．B．或
C．D．或
4．若一个球的外切正方体的表面积等于6 cm2，则此球的体积为（ ）
A．cm3B．cm3C．cm3D．cm3
5．在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的外接球半径为（ ）
A．3B．C．D．6
6．下列命题正确的为（ ）
①若在平面外，它的三条边所在的直线分别交于P、Q，R，则P，Q，R三点共线；
②若三条直线a，b、c互相平行且分别交直线于A、B、C三点，则这四条直线共面；
③已知a，b，c为三条直线，若a，b异面，b，c异面，则a，c异面；
④已知a，b，c为三条直线，若，，则.
A．①③B．②③C．②④D．①②
7．如图，在中，已知，，，、边上的两条中线，相交于点，则的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，某人用长的绳索，施力，把重物沿着坡度为30°的斜面向上拖了，拖拉点在竖直方向距离斜面的高度为，则此人对该物体所做的功为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知为复数，是的共轭复数，则下列命题一定正确的是（ ）
A．若为纯虚数，则B．若，则
C．若，则的最大值为2D．
10．关于直线，与平面，，以下四个命题中真命题是
A．若，且，则B．若，且，则
C．若，且，则D．若，且，则
11．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论，其中正确的是（ ）
A．B．与所成的角为60°
C．与是异面直线D．平面
12．已知两个不相等的非零向量,，两组向量,,,,和,,,,均由2个和3个排列而成.记，表示所有可能取值中的最小值.则下列命题中真命题为（ ）
A．可能有5个不同的值
B．若，则与无关
C．若，则
D．若，，则与的夹角为
三、填空题
13．如图，将一个长方体沿着相邻三个面的对角线截出一个棱锥，则此棱锥的体积与剩下的几何体体积的比是 .

14．已知向量 , ，则向量的模的最大值是 .
15．在复平面内，为原点，向量，对应复数为，将绕点沿逆时针方向旋转，且将向量的模变为原来的倍，得向量，此时向量对应的复数为.现有一平行四边形，如图，，，，，则点直角坐标为 .
16．如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，D，E，F分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是 .
四、解答题
17．已知复数，，其中是实数．
(1)若，求实数的值；
(2)若是纯虚数，是正实数，求．
18．某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动.处有一栋大楼，某学生选，两处作为测量点，测得的距离为，，，在处测得大楼楼顶的仰角为75°.
(1)求两点间的距离；
(2)求大楼的高度.
19．已知在直角三角形中，，（如图所示）
(1)若以为轴，直角三角形旋转一周，求所得几何体的表面积.
(2)一只蚂蚁在问题（1）形成的几何体上从点绕着几何体的侧面爬行一周回到点，求蚂蚁爬行的最短距离.
20．在锐角中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知边，且.
(1)若，求的面积；
(2)记边的中点为，求的最大值，并说明理由.
21．如图所示，点是所在平面上一点，并且满足，已知，，.

(1)若是的外心，求、的值；
(2)如果是的平分线上某点，则当达到最小值时，求的值.
22．如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，，，底面ABCD，，点E在棱PD上，且.
(1)证明：平面平面ACE；
(2)求二面角的余弦值.
参考答案：
1．D2．C3．B4．A5．C6．D7．A8．B
9．BCD10．BC11．ACD12．BC
13．14．15．16．
17．(1)2
(2)
【详解】（1）∵，，
∴
从而，解得a=2
所以实数a的值为2．
（2）依题意得：
因为是纯虚数，所以：，从而a=2或；
又因为a是正实数，所以a=2．
当a=2时，，
因为，，，，……，，，，，（）
所以
所以
18．(1)
(2)
【详解】（1）因为，
在中，由正弦定理得，
即，所以m，
即AC两点的距离为m；
（2）在中，因为，，
所以，
又，
所以m，
即大楼的高度为m.
19．(1)
(2)
【详解】（1）在直角三角形中，由
即，得，若以为轴旋转一周，
形成的几何体为以为半径，高的圆锥，
则，其表面积为.
（2）由问题（1）的圆锥，要使蚂蚁爬行的最短距离，
则沿点的母线把圆锥侧面展开为平面图形，
最短距离就是点到点的距离，，
在中，由余弦定理得.
20．(1)
(2)，理由见解析
【详解】（1）在中，，
∴，
由正弦定理得：，即，
由余弦定理得：，又，则，
∵，∴，
∴，
∴，
∵，∴，即，
当时，为正三角形，得，
∴；
（2）由余弦定理得：，
∵，，∴，
∵边的中点为，∴，
∴，
∴，
又∵，∴，∴，
∴，∴，当且仅当时，等号成立，
故的最大值为.
21．(1)，
(2)
【详解】（1）设的中点为，因为是的外心，故，

而，
故，
由，可得，
故，
设的中点为，则，
，
由，
即，
即，；
（2）因为是的平分线上某点，
所以，
所以由，可得，，
由，当且仅当时取等号，即时取等号，
此时，，
所以，
所以.
22．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：平面ABCD，，
又底面ABCD是菱形，，
而，平面，
平面PBD，
而平面ACE，
所以平面平面ACE.
（2）观察图可知平面平面PBD，
故CE在面PBD内的射影为OE，
，，
又由（1）可得，，，
故是二面角的平面角，
菱形ABCD中，，，
∴，，
又，∴，
∴，
∴，
即二面角的余弦值为.