3.辽宁省五校（大连二十四中、东北育才等）2022-2023学年高一下学期期末考试数学试题

这是一份3.辽宁省五校（大连二十四中、东北育才等）2022-2023学年高一下学期期末考试数学试题，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若是纯虚数，则（ ）
A．B．C．D．1
2．设，，，则有（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量，满足，，与的夹角为，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
4．在中，平分，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
5．正四棱锥的底面边长为2，高为2，E是边的中点，动点P在表面上运动，并且总保持，则动点P的轨迹的周长为（ ）
A．B．C．4D．
6．已知底面半径为的圆锥，其轴截面为正三角形，若它的一个内接圆柱的底面半径为，则此圆柱的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数在上单调，且的图象关于点对称，则（ ）
A．的周期为
B．若，则
C．将的图像向右平移个单位长度后对应的函数为偶函数
D．函数在上有2个零点
8．如图所示，在直三棱柱中，棱柱的侧面均为矩形，，，，是线段上的一动点，则最小值为（ ）

A．B．C．D．
二、多选题
9．已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A．B．的虚部为－2
C．在复平面内对应的点在第四象限D．的共轭复数为
10．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列命题是真命题的是（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．若，，，则只有一解
C．若，则
D．若为锐角三角形，则
11．如图，四棱锥的底面为正方形，底面ABCD，，点E是棱PB的中点，过A，D，E三点的平面与平面PBC的交线为l，则（ ）
A．直线l与平面PAD有一个交点
B．
C．直线PA与l所成角的余弦值为
D．平面截四棱锥所得的上下两个几何体的体积之比为
12．在棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，则（ ）
A．异面直线与所成角的正切值为
B．点为正方形内一点，当平面时，的最小值为
C．过点，，的平面截正方体所得的截面周长为
D．当三棱锥的所有顶点都在球的表面上时，球的表面积为
三、填空题
13．已知，，，则 .
14．在中，，D为BC边上一点，且，则的最小值为 .
15．在中，、分别为、的中点，交于点.若，，，则 .
16．某园区有一块三角形空地（如图），其中，现计划在该空地上划分三个区域种植不同的花卉，若要求，则的最小值为 ．

四、解答题
17．在中，角的对边分别是，且满足．
(1)求C；
(2)若，的面积为，求边长c的值．
18．直三棱柱中，，D为的中点，.
(1)求证：平面平面ABD；
(2)若，求三棱锥的体积.
19．在长方体中，，，E、F、G分别为AB、BC、的中点.

(1)求三棱锥的体积；
(2)点P在矩形内，若直线平面，求线段长度的最小值.
20．在中，角，，所对的边分别为，，，.
(1)求；
(2)若点为边的中点，点，分别在边，上，，.设，将的面积表示为的函数，并求的取值范围.
21．如图，在三棱锥中，是边长为的等边三角形，且，平面，垂足为平面，垂足为，连接并延长交于点.

(1)求二面角的余弦值；
(2)在平面内找一点，使得平面，说明作法及理由，并求四面体PDEF的体积.
22．已知点是锐角的外心，分别为角的对边，，
(1)求角；
(2)若，求面积的最大值；
(3)若，求x的取值范围．
参考答案：
1．B2．C3．D4．C5．A6．C7．B8．B
9．BC10．ACD11．BD 12．BC
13．14．15．16．
17．(1)
(2)
【详解】（1）解：因为，
由正弦定理得，即，即，
由余弦定理得，
又因为，所以．
（2）解：由的面积为，
所以，可得，
又由，所以．
18．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）为直三棱柱，，
又，，平面
平面，①
设，则，，
，，
，，故②
由①②，，，且，知平面ABD
又平面，平面平面ABD
（2）由，得，解得
的面积
由（1）知平面，三棱锥的体积
三棱锥的体积
19．(1)
(2)
【详解】（1）依题意有，
所以三棱锥的体积；
（2）如图，

连结，
∵分别为的中点，
∴平面，平面，
∴平面
∵平面，平面，
∴平面，
∵，∴平面平面，
∵平面，
∴点在直线上，在中，，
，
∴当时，线段的长度最小，最小值为＝.
20．(1)；
(2)，.
【详解】（1）因为，所以，
即，所以.
因为，所以.
（2）由及可知为等边三角形.
又因为，，所以.
在中，，
由正弦定理可得,，即.
在中，,
由正弦定理可得，，即.
所以.
因为
，
因为，所以，
所以，所以.
所以，所以，
所以.
所以的取值范围为.
21．(1)；
(2)答案见解析，.
【详解】（1）
，并且是等边三角形，
三棱锥是正三棱锥，D是的中心，点G是AB边的中点；
由平面， 平面，平面，可知，平面PDG，平面PDG，
所以平面，进而得，
所以就是二面角的平面角，
又是边长为的等边三角形，且，，
是等腰直角三角形，同理都是等腰直角三角形；
，，
，即二面角的余弦值为；
（2）平面，平面，
平面，
同理平面，又平面，
，与点P，D，C共面，即E点在线段PG上，
又，，，
过E点在平面PAB内作PB的平行线，与PA交于F，则平面，
也是等腰直角三角形，，
又平面PAB，平面PAB，，将作为底面，则ED是三棱锥的高，
，即四面体的体积为.
22．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为，则，
由余弦定理可得，
因为，所以；
（2）因为，则，
当且仅当时，等号成立，
所以，
所以面积的最大值为.
（3）分别取AB，BC的中点D，E，连接OD，OE，
可得，
同理可得，
由得，，
所以，
即，
在中，由正弦定理得：，（为的外接圆的半径）
代入上式得，
则，
由正弦定理得，，
代入上式得，；所以，
所以，即，
因为，且为锐角三角形，，所以，
所以，所以，
即的取值范围．