广东省东莞市四校2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题(含答案)
展开命题人:李善红 王小勇 刘和阳 张秀敏 审题人:时华
一、单选题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设有四边形,为空间任意一点,且,则四边形是( )
A.空间四边形B.平行四边形C.等腰梯形D.矩形
2.已知向量,,满足,则的值为( )
A.2B.C.D.
3.直线的倾斜角是( )
A.B.C.D.
4.已知椭圆的一个焦点坐标为,则的值为( )
A.1B.3C.9D.81
5.已知直线:,:,:,若且,则的值为( )
A.B.10C.D.2
6.已知圆:和:,则两圆的位置关系是( )
A.内切B.外切C.相交D.外离
7.若圆经过点,,且圆心在直线:上,则圆的方程为( )
A.B.
C.D.
8.如图,在棱长为1的正方体中,,分别是线段,上的点,是直线上的点,满足平面,且、不是正方体的顶点,则的最小值是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题:每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分。
9.关于空间向量,以下说法正确的是( )
A.空间中的三个向量,若有两个向量共线,则这三个向量一定共面;
B.若对空间中任意一点,有,则,,,四点共面;
C.已知是空间的一组基底,若,则也是空间的一组基底;
D.若,则是锐角
10.已知直线过直线:和:的交点,且原点到直线的距离为3,则的方程可以为( )
A.B.
C.D.
11.在空间直角坐标系中,,,,则( )
A.
B.
C.异面直线与所成角的余弦值为
D.点到直线的距离是
12.已知圆:,直线,则下列结论正确的是( )
A.圆与曲线恰有三条公切线,则
B.当时,圆上有且仅有三个点到直线的距离都等于1
C.直线恒过第二象限
D.当时,上动点作圆的切线,,且,为切点,则经过点
三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。
13.,,则______.
14.已知圆的方程,圆与圆是同心圆且过点,则圆的标准方程为______.
15.已知椭圆:的左焦点为,过原点的直线交椭圆于点,,且,若,则椭圆的离心率是______.
16.在如图所示的三棱锥中,平面,,,,为中点,为内的动点(含边界),且.当在上时,______;点的轨迹的长度为______.
四、解答题:本大题共6小题,第17题10分,18、19、20、21、22题各12分,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内,超出指定区域的答案无效。
17.(本题10分)设,向量,,,且,.
(1)求;
(2)求向量与夹角的大小。
18.(本题12分)已知的顶点,.
(1)求直线的方程;
(2)若边上的中线所在直线方程为,且的面积为5,求顶点的坐标.
19.(本题12分)已知椭圆:的焦距为2,点在椭圆上,过原点作直线交椭圆于、两点,且点不是椭圆的顶点,过点作轴的垂线,垂足为,点是线段的中点,直线交椭圆于点,连接
(1)求椭圆的方程及离心率;
(2)求证:.
20.(本题12分)已知直线:与圆:相交于,不同两点.
(1)求的范围;
(2)设是圆上的一动点(异于,),为坐标原点,若,求面积的最大值.
21.(本题12分)如图甲,在矩形中,,为线段的中点,沿直线折起,使得如图乙.
甲 乙
(1)求证:平面;
(2)线段上是否存在一点,使得平面与平面所成的角为?若不存在,说明理由;若存在,求出点的位置.
22.(本题12分)已知圆心在原点的圆被直线截得的弦长为.
(1)求圆的方程;
(2)设动直线与圆交于,两点,问在轴正半轴上是否存在定点,使得直线与直线关于轴对称?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由;
2023-2024第一学期高二数学期中四校联考参考答案
一、单选题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。
二、多项选择题(全部选对的得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,16题第一空2分,第二空3分)
13.614.15.16.4,.
四、解答题:本大题共6小题,第17题10分,18、19、20、21、22题各12分,共70分。
17.解:【详解】(1)由题意,,
可得,解得,
则,,所以
故
(2)因为,所以
故向量与的夹角为
18.解:(1)直线的方程为,即
(2)中点的坐礿为,点在上,则解得
即中线所在直线的方程为,
设顶点,所以,
因为,点到直线的距离,
因为,所以,
整理得,所以或,
即或,
由,得,此时顶点
由得,此时顶点,
所以顶点的坐标为或
19.解:(1)由题可知:,,又
所以,
故椭圆的方程为,离心率
(2)设点,,
由点是线段的中点,所以
由①,②
则②①:
由,,三点共线,所以
,
则
即
所以
20.解:(1)∵直线与圆交于两点,∴,
解得,
(2)设,
将代入方程,
整理得,
∴,
,
解得,由(1)知,
所以直线的方程为,
可知圆心在直线上,∴是圆的直径,且,
∵是圆上的一动点(异于,),∴到直线的最大距离即为半径为1,
∴面积的最大值为
21.(1)证明:连接,取线段的中点,连接,,
在中,,
∴,
在中,,,,
由余弦定理可得:,
∴
在中,,∴
又,,平面,∴平面,
又平面,∴平面平面,
在中,,,∴
∵平面平面,平面,∴平面.
(2)过作的平行线,以为原点,,,分别为轴,轴,轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
,,,
平面的法向量,
在平面直角坐标系中,直线的方程为,
设的坐标为,则,
设平面的法向量为,
,
所以,
令,则,,
∴
由已知,
解之得:或9(舍去),
所以点是线段的中点
22解:(1)圆心到直线的距离,
由圆的性质可得,
所以,圆的方程为
(2)设,,
由得,,
所以,
若直线与直线关于轴对称,则,
即,
即,
化简得,
代入韦达定理,
即
所以当点为时,直线与直线关于轴对称;
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
B
A
C
B
A
A
题号
9
10
11
12
答案
ABC
AC
AC
ACD
2023-2024学年广东省东莞市四校高二上学期期中联考数学试题含答案: 这是一份2023-2024学年广东省东莞市四校高二上学期期中联考数学试题含答案,共17页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,双空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2023-2024学年广东省东莞市七校高二上学期期中联考数学试题含答案: 这是一份2023-2024学年广东省东莞市七校高二上学期期中联考数学试题含答案,共17页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2023-2024学年广东省东莞市四校高一上学期12月期中联考数学试题含答案: 这是一份2023-2024学年广东省东莞市四校高一上学期12月期中联考数学试题含答案,共14页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,双空题,解答题,应用题等内容,欢迎下载使用。