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高考物理一轮复习第4章第2节抛体运动课件
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这是一份高考物理一轮复习第4章第2节抛体运动课件，共60页。PPT课件主要包含了链接教材·夯基固本，梳理·必备知识，激活·基本技能，基本规律，v0cosθ，v0sinθ，细研考点·突破题型，考点1，考点2，考点3等内容，欢迎下载使用。
一、平抛运动 1．定义 将物体以一定的初速度沿________抛出，物体只在____作用下所做的运动。 2．性质 加速度为g的______曲线运动，运动轨迹是______。
3．条件：v0≠0，沿________；只受____作用。 4．研究方法 平抛运动可以分解为水平方向的________运动和竖直方向的________ 运动。
(1)位移关系
(2)速度关系
二、斜抛运动 1．定义：将物体以初速度v0________或斜向下方抛出，物体只在____作用下的运动。 2．性质：斜抛运动是加速度为_的______曲线运动，运动轨迹是______。 3．研究方法：运动的合成与分解 (1)水平方向：____直线运动； (2)竖直方向：______直线运动。
4．基本规律(以斜上抛运动为例，如图所示) (1)水平方向：v0x＝_________，F合x＝0； (2)竖直方向：v0y＝_________，F合y＝mg。
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)以一定的初速度水平抛出的物体的运动是平抛运动。( ) (2)平抛运动的轨迹是抛物线，速度方向时刻变化，加速度方向也可能时刻变化。( ) (3)平抛运动在相等的时间内速度的改变量相等。( )
(4)平抛运动中速度和加速度方向之间的夹角一直减小。( ) (5)两个做平抛运动的物体，初速度大的落地时速度大。( ) (6)做平抛运动的物体初速度越大，在空中运动的时间越短。( ) (7)无论初速度是斜向上方还是斜向下方的斜抛运动都是匀变速曲线运动。( )
二、教材习题衍生 1．(人教版必修第二册改编)(多选)为了验证做平抛运动的小球在竖直方向上做自由落体运动，用如图所示的装置进行实验。小锤打击弹性金属片后，A球水平抛出，同时B球被松开，自由下落。关于该实验，下列说法中正确的是( ) A．两球的质量应相等 B．两球应同时落地 C．应改变装置的高度，多次实验 D．实验也能说明A球在水平方向上做匀速直线运动
BC [两球从同一高度同时开始运动，竖直方向均做自由落体运动，落地时间一定相等，不需要两球质量相等，为了验证平抛运动在竖直方向的分运动为自由落体运动，应改变高度多次实验才能验证猜想，故A错误，B、C正确；本实验无法说明平抛运动在水平方向的运动是匀速直线运动，D错误。]
2．(鲁科版必修第二册改编)一架投放救援物资的飞机在某个受援区域的上空水平匀速飞行，从飞机上每隔1 s投下1包救援物资，先后共投下4包，若不计空气阻力，则4包物资落地前( ) A．在空中任何时刻总是排成抛物线，它们的落地点是等间距的 B．在空中任何时刻总是排成抛物线，它们的落地点不是等间距的 C．在空中任何时刻总在飞机正下方排成竖直的直线，它们的落地点是等间距的 D．在空中任何时刻总在飞机正下方排成竖直的直线，它们的落地点不是等间距的
C [匀速飞行的飞机上落下的物资做平抛运动，在水平方向做匀速直线运动，且与飞机的速度相同，因此，4包物资在空中任何时刻总在飞机正下方排成竖直线，因各物资落地间隔时间相等，落地点是等间距的，故选项C正确，A、B、D均错误。]
3．(人教版必修第二册改编)为践行新形势下的强军目标，在某次军事演习中，水平匀速飞行的无人机在斜坡底端A的正上方投弹，炸弹垂直击中倾角为θ＝37°、长为L＝300 m的斜坡的中点P，如图，若sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，g取10 m/s2，则无人机距A点的高度h和飞行的速度v分别为( ) A．h＝170 m v＝30 m/s B．h＝135 m v＝40 m/s C．h＝80 m v＝30 m/s D．h＝45 m v＝40 m/s
考点1 平抛运动的规律及应用 师生共研
北京卷 2022·T17
新高考甲卷 2022·T24
海南卷 2022·T13
2．速度和位移的变化规律 (1)速度的变化规律 ①任一时刻的速度水平分量均等于初速度v0。 ②任一相等时间间隔Δt内的速度变化量方向竖直向下，大小Δv＝Δvy＝gΔt(如图所示)。
(2)位移变化规律 ①任一相等时间间隔内，水平位移相同，即Δx＝v0Δt。 ②连续相等的时间间隔Δt内，竖直方向上的位移差不变，即Δy＝g(Δt)2。
(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任意位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ。
[典例1] (多选)(2020·江苏卷)如图所示，小球A、B分别从2l和l的高度水平抛出后落地，上述过程中A、B的水平位移分别为l和2l。忽略空气阻力，则( ) A．A和B的位移大小相等 B．A的运动时间是B的2倍 C．A的初速度是B的 D．A的末速度比B的大
思路点拨：解此题的关键有两点 (1)灵活将平抛运动沿水平和竖直两个方向分解，并灵活应用基本规律。 (2)充分应用小球A、B的高度和水平位移关系。
规律方法 分解思想在平抛运动中的应用 (1)解答平抛运动问题时，一般的方法是将平抛运动的位移沿水平和竖直两个方向分解，这样分解的优点是不用分解初速度也不用分解加速度。 (2)画出速度(或位移)分解图，通过几何知识建立合速度(合位移)、分速度(分位移)及其方向间的关系，通过速度(位移)的矢量三角形求解未知量。
[跟进训练] 1．(单体物体的平抛运动)(2022·广东卷)如图所示，在竖直平面内，截面为三角形的小积木悬挂在离地足够高处，一玩具枪的枪口与小积木上P点等高且相距为L。当玩具子弹以水平速度v从枪口向P点射出时，小积木恰好由静止释放，子弹从射出至击中积木所用时间为t。不计空气阻力。下列关于子弹的说法正确的是( )
2．(多体物体的平抛运动)(2023·山东师大附中月考)如图所示，将a、b两小球以大小为20 m/s的初速度分别从A、B两点相差1 s先后水平相向抛出，a小球从A点抛出后，经过时间t，a、b两小球恰好在空中相遇，且速度方向相互垂直，不计空气阻力，g取10 m/s2，则抛出点A、B间的水平距离是( )
3．(平抛运动推论的应用)如图所示，从倾角为θ且足够长的斜面的顶点A，先后将同一小球以不同的初速度水平向右抛出，第一次初速度为v1，小球落到斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为φ1，第二次初速度为v2，小球落在斜面上前一瞬间的速度方向与斜面间的夹角为φ2，若v2>v1，则φ1和φ2的大小关系是( ) A．φ1＞φ2 B．φ1＜φ2 C．φ1＝φ2 D．无法确定
C [根据平抛运动的推论，做平抛或类平抛运动的物体在任一时刻或任一位置时，设其速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为β，则tan α＝2tan β。由上述关系式结合题图中的几何关系可得θ＋φ＝α，β＝θ，则tan(φ＋θ)＝2tan θ，此式表明小球的速度方向与斜面间的夹角φ仅与θ有关，而与初速度无关，因此φ1＝φ2，即以不同初速度平抛的物体，落在斜面上各点的速度方向是互相平行的，故C正确。]
1．对平抛运动的约束条件常见的有“斜面”约束和“曲面”约束，解决此类问题的关键： (1)灵活运用平抛运动的位移和速度分解方法。 (2)充分运用斜面倾角，找出斜面倾角与位移偏向角、速度偏向角的关系。 (3)“曲面”约束类要灵活应用平抛运动的推论。
考点2 有约束条件的平抛运动 多维探究
广东卷 2022·T6
角度1 斜面约束的平抛运动 [典例2] (多选)如图所示，固定斜面PO、QO与水平面MN的夹角均为45°，现由PO斜面上的A点分别以v1、v2先后沿水平方向抛出两个小球(可视为质点)，不计空气阻力，其中以v1抛出的小球恰能垂直于QO落于C点，飞行时间为t，以v2抛出的小球落在PO斜面上的B点，且B、C在同一水平面上，则( )
思路点拨：解此题要把握以下关键信息： (1)小球恰能垂直于QO落于C点，则此时小球两分速度大小相等。 (2)两小球的落点B、C在同一水平面上，飞行时间相等。 (3)两小球的水平分位移的差值与B、C两点的距离相等。
角度2 曲面约束的平抛运动 [典例3] (2023·河北省衡水市高三检测)如图所示，B为半径为R的竖直光滑圆弧的左端点，B点和圆心O连线与竖直方向的夹角为α，一个质量为m的小球在圆弧轨道左侧的A点以水平速度v0抛出，恰好沿圆弧在B点的切线方向进入圆弧轨道。已知重力加速度为g。下列说法正确的是( )
[跟进训练] 1．(斜面约束的平抛运动)(2022·广东卷)如图是滑雪道的示意图。可视为质点的运动员从斜坡上的M点由静止自由滑下，经过水平NP段后飞入空中，在Q点落地。不计运动员经过N点的机械能损失，不计摩擦力和空气阻力。下列能表示该过程运动员速度大小v或加速度大小a随时间t变化的图像是( )
A B C D
C [设斜坡倾角为θ，运动员在斜坡MN段做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律mgsin θ＝ma1，可得a1＝gsin θ，运动员在水平NP段做匀速直线运动，加速度a2＝0，运动员从P点飞出后做平抛运动，加速度为重力加速度a3＝g，设在P点的速度为v0，则从P点飞出后速度大小的表达式为v＝ ，由分析可知从P点飞出后速度大小与时间的图像不可能为直线，且a1
A．两球抛出的速率之比为1∶3 B．若仅增大v1，则两球将在落入坑中之前相撞 C．两球的初速度无论怎样变化，只要落在坑中的同一点，两球抛出的速率之和不变 D．若仅从M点水平抛出小球，改变小球抛出的速度，小球可能垂直坑壁落入坑中
AB [由于两球抛出的高度相等，则运动时间相等，x1＝v1t，x2＝v2t，由几何关系可知x2＝3x1，所以两球抛出的速率之比为1∶3，故A正确；由2R＝(v1＋v2)t可知，若仅增大v1，时间减小，所以两球将在落入坑中之前相撞，故B正确；要使两小球落在坑中的同一点，必须满足水平位移之和等于半球形坑的直径，即(v1＋v2)t＝2R，落点不同，竖直方向位移就不同，t也不同，所以两球抛出的速度之和不是定值，故C错误；由平抛运动速度的反向延长线过水平位移的中点可知，如果小球垂直坑壁落入坑中，速度反向延长线过圆心，则水平位移为2R，应打在N点，所以小球不可能垂直坑壁落入坑中，故D错误。]
1．临界点的确定 (1)若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点。 (2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些“起止点”往往就是临界点。 (3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值点，这些极值点也往往是临界点。
考点3 平抛中的临界、极值问题 师生共研
重庆卷 2022·T16
2．求解平抛运动临界问题的一般思路 (1)找出临界状态对应的临界条件。 (2)分解速度或位移。 (3)若有必要，画出临界轨迹。
[典例4] 一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h。不计空气的作用，重力加速度大小为g。若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是( )
思路点拨：(1)发射机安装于台面左侧边缘的中点。 (2)乒乓球落在右侧台面的台角处时，速度取最大值。 (3)乒乓球沿正前方且恰好擦网而过时，速度取最小值。
规律方法 求解平抛运动中临界问题的三个关键点 (1)确定运动性质——匀变速曲线运动。 (2)确定临界状态。一般用极限法分析，即把平抛运动的初速度增大或减小，使临界状态呈现出来。 (3)确定临界状态的运动轨迹，并画出轨迹示意图。画示意图可以使抽象的物理情境变得直观，更可以使有些隐藏于问题深处的条件暴露出来。
[跟进训练] 1．(应用基本规律求临界极值问题)某科技比赛中，参赛者设计了一个轨道模型，如图所示。模型放到0.8 m 高的水平桌子上，最高点距离水平地面2 m，右端出口水平。现让小球由最高点静止释放，忽略阻力作用，为使小球飞得最远，右端出口距离桌面的高度应设计为( ) A．0 B．0.1 m C．0.2 m D．0.3 m
2．(运用极限分析法求临界、极值问题)在真空环境内探测微粒在重力场中能量的简化装置如图所示。P是个微粒源，能持续水平向右发射质量相同、初速度不同的微粒。高度为h的探测屏AB竖直放置，离P点的水平距离为L，上端A与P点的高度差也为h，重力加速度大小为g。
(1)若微粒打在探测屏AB的中点，求微粒在空中飞行的时间；
(2)求能被屏探测到的微粒的初速度范围。
1．类平抛运动 (1)类平抛运动的受力特点 物体所受的合外力为恒力，且与初速度的方向垂直。 (2)类平抛运动的运动特点 在初速度v0方向上做匀速直线运动，在合外力方向上做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝ 。
考点4 类平抛运动及斜抛运动 多维探究
河北卷 2022·T10
辽宁卷 2022·T14
(3)类平抛运动的求解方法 ①常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合外力的方向)的匀加速直线运动。两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性。 ②特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度a分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向列方程求解。
2．斜抛运动 (1)斜上抛运动一般分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动。 (2)斜面上的斜抛运动可以沿垂直斜面方向和沿斜面方向分解，然后研究各方向的运动规律，再进行合成。
角度1 类平抛运动 [典例5] 如图所示，有一倾角为30°足够宽的光滑斜面，斜面长l为10 m，一小球从斜面顶端以10 m/s的速度沿水平方向抛出(g取10 m/s2)，求：
(1)小球沿斜面滑到底端的时间t和沿v0方向水平位移x的大小； (2)小球到达斜面底端时的速度v的大小。
[答案] (1)2 s 20 m (2)14.1 m/s
角度2 斜抛运动 [典例6] (多选)(2022·山东卷)如图所示，某同学将离地1.25 m的网球以13 m/s的速度斜向上击出，击球点到竖直墙壁的距离4.8 m。当网球竖直分速度为零时，击中墙壁上离地高度为8.45 m的P点。网球与墙壁碰撞后，垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍。平行墙面的速度分量不变。重力加速度g取10 m/s2，网球碰墙后的速度大小v和着地点到墙壁的距离d分别为( )
山东卷 2022·T11
A．v＝5 m/sB．v＝ m/s C．d＝3.6 mD．d＝3.9 m
[跟进训练] 1．(类平抛运动)(多选)如图所示，两个足够大的倾角分别为30°、45°的光滑斜面放在同一水平面上，两斜面间距大于小球直径，斜面高度相等，有三个完全相同的小球a、b、c，开始均静止于斜面同一高度处，其中b小球在两斜面之间。若同时释放，a、b、c小球到达该水平面的时间分别为t1、t2、t3。若同时沿水平方向抛出，初速度方向如图所示，到达水平面的时间分别为t′1、t′2、t′3。下列关于时间的关系正确的是( )
A．t1>t3>t2 B．t1＝t′1、t2＝t′2、t3＝t′3 C．t′1>t′3>t′2 D．t1
由数学知识得：t1>t3>t2；
第二种情况：a、c两个球都做类平抛运动，沿斜面向下方向都做初速度为零的匀加速直线运动，a的加速度为gsin 30°，c的加速度为gsin 45°，b球做平抛运动，则有
比较可知，t1＝t′1、t2＝t′2、t3＝t′3，故A、B、C正确，D错误。]
2．(斜抛运动)(2022·浙江省杭州市质检)如图所示，从水平地面上的A、B两点分别斜抛出两小球，两小球均能垂直击中前方竖直墙面上的同一点P。已知点P距地面的高度h＝0.8 m，A、B两点距墙的距离分别为0.8 m 和0.4 m。不计空气阻力，取g＝10 m/s2，则从A、B两点抛出的两小球( )
A．从抛出到击中墙壁的时间之比为2∶1 B．击中墙面的速率之比为1∶1 C．抛出时的速率之比为 D．抛出时速度方向与地面夹角的正切值之比为1∶2
一、平抛运动 1．定义 将物体以一定的初速度沿________抛出，物体只在____作用下所做的运动。 2．性质 加速度为g的______曲线运动，运动轨迹是______。
3．条件：v0≠0，沿________；只受____作用。 4．研究方法 平抛运动可以分解为水平方向的________运动和竖直方向的________ 运动。
(1)位移关系
(2)速度关系
二、斜抛运动 1．定义：将物体以初速度v0________或斜向下方抛出，物体只在____作用下的运动。 2．性质：斜抛运动是加速度为_的______曲线运动，运动轨迹是______。 3．研究方法：运动的合成与分解 (1)水平方向：____直线运动； (2)竖直方向：______直线运动。
4．基本规律(以斜上抛运动为例，如图所示) (1)水平方向：v0x＝_________，F合x＝0； (2)竖直方向：v0y＝_________，F合y＝mg。
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)以一定的初速度水平抛出的物体的运动是平抛运动。( ) (2)平抛运动的轨迹是抛物线，速度方向时刻变化，加速度方向也可能时刻变化。( ) (3)平抛运动在相等的时间内速度的改变量相等。( )
(4)平抛运动中速度和加速度方向之间的夹角一直减小。( ) (5)两个做平抛运动的物体，初速度大的落地时速度大。( ) (6)做平抛运动的物体初速度越大，在空中运动的时间越短。( ) (7)无论初速度是斜向上方还是斜向下方的斜抛运动都是匀变速曲线运动。( )
二、教材习题衍生 1．(人教版必修第二册改编)(多选)为了验证做平抛运动的小球在竖直方向上做自由落体运动，用如图所示的装置进行实验。小锤打击弹性金属片后，A球水平抛出，同时B球被松开，自由下落。关于该实验，下列说法中正确的是( ) A．两球的质量应相等 B．两球应同时落地 C．应改变装置的高度，多次实验 D．实验也能说明A球在水平方向上做匀速直线运动
BC [两球从同一高度同时开始运动，竖直方向均做自由落体运动，落地时间一定相等，不需要两球质量相等，为了验证平抛运动在竖直方向的分运动为自由落体运动，应改变高度多次实验才能验证猜想，故A错误，B、C正确；本实验无法说明平抛运动在水平方向的运动是匀速直线运动，D错误。]
2．(鲁科版必修第二册改编)一架投放救援物资的飞机在某个受援区域的上空水平匀速飞行，从飞机上每隔1 s投下1包救援物资，先后共投下4包，若不计空气阻力，则4包物资落地前( ) A．在空中任何时刻总是排成抛物线，它们的落地点是等间距的 B．在空中任何时刻总是排成抛物线，它们的落地点不是等间距的 C．在空中任何时刻总在飞机正下方排成竖直的直线，它们的落地点是等间距的 D．在空中任何时刻总在飞机正下方排成竖直的直线，它们的落地点不是等间距的
C [匀速飞行的飞机上落下的物资做平抛运动，在水平方向做匀速直线运动，且与飞机的速度相同，因此，4包物资在空中任何时刻总在飞机正下方排成竖直线，因各物资落地间隔时间相等，落地点是等间距的，故选项C正确，A、B、D均错误。]
3．(人教版必修第二册改编)为践行新形势下的强军目标，在某次军事演习中，水平匀速飞行的无人机在斜坡底端A的正上方投弹，炸弹垂直击中倾角为θ＝37°、长为L＝300 m的斜坡的中点P，如图，若sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，g取10 m/s2，则无人机距A点的高度h和飞行的速度v分别为( ) A．h＝170 m v＝30 m/s B．h＝135 m v＝40 m/s C．h＝80 m v＝30 m/s D．h＝45 m v＝40 m/s
考点1 平抛运动的规律及应用 师生共研
北京卷 2022·T17
新高考甲卷 2022·T24
海南卷 2022·T13
2．速度和位移的变化规律 (1)速度的变化规律 ①任一时刻的速度水平分量均等于初速度v0。 ②任一相等时间间隔Δt内的速度变化量方向竖直向下，大小Δv＝Δvy＝gΔt(如图所示)。
(2)位移变化规律 ①任一相等时间间隔内，水平位移相同，即Δx＝v0Δt。 ②连续相等的时间间隔Δt内，竖直方向上的位移差不变，即Δy＝g(Δt)2。
(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任意位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ。
[典例1] (多选)(2020·江苏卷)如图所示，小球A、B分别从2l和l的高度水平抛出后落地，上述过程中A、B的水平位移分别为l和2l。忽略空气阻力，则( ) A．A和B的位移大小相等 B．A的运动时间是B的2倍 C．A的初速度是B的 D．A的末速度比B的大
思路点拨：解此题的关键有两点 (1)灵活将平抛运动沿水平和竖直两个方向分解，并灵活应用基本规律。 (2)充分应用小球A、B的高度和水平位移关系。
规律方法 分解思想在平抛运动中的应用 (1)解答平抛运动问题时，一般的方法是将平抛运动的位移沿水平和竖直两个方向分解，这样分解的优点是不用分解初速度也不用分解加速度。 (2)画出速度(或位移)分解图，通过几何知识建立合速度(合位移)、分速度(分位移)及其方向间的关系，通过速度(位移)的矢量三角形求解未知量。
[跟进训练] 1．(单体物体的平抛运动)(2022·广东卷)如图所示，在竖直平面内，截面为三角形的小积木悬挂在离地足够高处，一玩具枪的枪口与小积木上P点等高且相距为L。当玩具子弹以水平速度v从枪口向P点射出时，小积木恰好由静止释放，子弹从射出至击中积木所用时间为t。不计空气阻力。下列关于子弹的说法正确的是( )
2．(多体物体的平抛运动)(2023·山东师大附中月考)如图所示，将a、b两小球以大小为20 m/s的初速度分别从A、B两点相差1 s先后水平相向抛出，a小球从A点抛出后，经过时间t，a、b两小球恰好在空中相遇，且速度方向相互垂直，不计空气阻力，g取10 m/s2，则抛出点A、B间的水平距离是( )
3．(平抛运动推论的应用)如图所示，从倾角为θ且足够长的斜面的顶点A，先后将同一小球以不同的初速度水平向右抛出，第一次初速度为v1，小球落到斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为φ1，第二次初速度为v2，小球落在斜面上前一瞬间的速度方向与斜面间的夹角为φ2，若v2>v1，则φ1和φ2的大小关系是( ) A．φ1＞φ2 B．φ1＜φ2 C．φ1＝φ2 D．无法确定
C [根据平抛运动的推论，做平抛或类平抛运动的物体在任一时刻或任一位置时，设其速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为β，则tan α＝2tan β。由上述关系式结合题图中的几何关系可得θ＋φ＝α，β＝θ，则tan(φ＋θ)＝2tan θ，此式表明小球的速度方向与斜面间的夹角φ仅与θ有关，而与初速度无关，因此φ1＝φ2，即以不同初速度平抛的物体，落在斜面上各点的速度方向是互相平行的，故C正确。]
1．对平抛运动的约束条件常见的有“斜面”约束和“曲面”约束，解决此类问题的关键： (1)灵活运用平抛运动的位移和速度分解方法。 (2)充分运用斜面倾角，找出斜面倾角与位移偏向角、速度偏向角的关系。 (3)“曲面”约束类要灵活应用平抛运动的推论。
考点2 有约束条件的平抛运动 多维探究
广东卷 2022·T6
角度1 斜面约束的平抛运动 [典例2] (多选)如图所示，固定斜面PO、QO与水平面MN的夹角均为45°，现由PO斜面上的A点分别以v1、v2先后沿水平方向抛出两个小球(可视为质点)，不计空气阻力，其中以v1抛出的小球恰能垂直于QO落于C点，飞行时间为t，以v2抛出的小球落在PO斜面上的B点，且B、C在同一水平面上，则( )
思路点拨：解此题要把握以下关键信息： (1)小球恰能垂直于QO落于C点，则此时小球两分速度大小相等。 (2)两小球的落点B、C在同一水平面上，飞行时间相等。 (3)两小球的水平分位移的差值与B、C两点的距离相等。
角度2 曲面约束的平抛运动 [典例3] (2023·河北省衡水市高三检测)如图所示，B为半径为R的竖直光滑圆弧的左端点，B点和圆心O连线与竖直方向的夹角为α，一个质量为m的小球在圆弧轨道左侧的A点以水平速度v0抛出，恰好沿圆弧在B点的切线方向进入圆弧轨道。已知重力加速度为g。下列说法正确的是( )
[跟进训练] 1．(斜面约束的平抛运动)(2022·广东卷)如图是滑雪道的示意图。可视为质点的运动员从斜坡上的M点由静止自由滑下，经过水平NP段后飞入空中，在Q点落地。不计运动员经过N点的机械能损失，不计摩擦力和空气阻力。下列能表示该过程运动员速度大小v或加速度大小a随时间t变化的图像是( )
A B C D
C [设斜坡倾角为θ，运动员在斜坡MN段做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律mgsin θ＝ma1，可得a1＝gsin θ，运动员在水平NP段做匀速直线运动，加速度a2＝0，运动员从P点飞出后做平抛运动，加速度为重力加速度a3＝g，设在P点的速度为v0，则从P点飞出后速度大小的表达式为v＝ ，由分析可知从P点飞出后速度大小与时间的图像不可能为直线，且a1
A．两球抛出的速率之比为1∶3 B．若仅增大v1，则两球将在落入坑中之前相撞 C．两球的初速度无论怎样变化，只要落在坑中的同一点，两球抛出的速率之和不变 D．若仅从M点水平抛出小球，改变小球抛出的速度，小球可能垂直坑壁落入坑中
AB [由于两球抛出的高度相等，则运动时间相等，x1＝v1t，x2＝v2t，由几何关系可知x2＝3x1，所以两球抛出的速率之比为1∶3，故A正确；由2R＝(v1＋v2)t可知，若仅增大v1，时间减小，所以两球将在落入坑中之前相撞，故B正确；要使两小球落在坑中的同一点，必须满足水平位移之和等于半球形坑的直径，即(v1＋v2)t＝2R，落点不同，竖直方向位移就不同，t也不同，所以两球抛出的速度之和不是定值，故C错误；由平抛运动速度的反向延长线过水平位移的中点可知，如果小球垂直坑壁落入坑中，速度反向延长线过圆心，则水平位移为2R，应打在N点，所以小球不可能垂直坑壁落入坑中，故D错误。]
1．临界点的确定 (1)若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点。 (2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些“起止点”往往就是临界点。 (3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值点，这些极值点也往往是临界点。
考点3 平抛中的临界、极值问题 师生共研
重庆卷 2022·T16
2．求解平抛运动临界问题的一般思路 (1)找出临界状态对应的临界条件。 (2)分解速度或位移。 (3)若有必要，画出临界轨迹。
[典例4] 一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h。不计空气的作用，重力加速度大小为g。若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是( )
思路点拨：(1)发射机安装于台面左侧边缘的中点。 (2)乒乓球落在右侧台面的台角处时，速度取最大值。 (3)乒乓球沿正前方且恰好擦网而过时，速度取最小值。
规律方法 求解平抛运动中临界问题的三个关键点 (1)确定运动性质——匀变速曲线运动。 (2)确定临界状态。一般用极限法分析，即把平抛运动的初速度增大或减小，使临界状态呈现出来。 (3)确定临界状态的运动轨迹，并画出轨迹示意图。画示意图可以使抽象的物理情境变得直观，更可以使有些隐藏于问题深处的条件暴露出来。
[跟进训练] 1．(应用基本规律求临界极值问题)某科技比赛中，参赛者设计了一个轨道模型，如图所示。模型放到0.8 m 高的水平桌子上，最高点距离水平地面2 m，右端出口水平。现让小球由最高点静止释放，忽略阻力作用，为使小球飞得最远，右端出口距离桌面的高度应设计为( ) A．0 B．0.1 m C．0.2 m D．0.3 m
2．(运用极限分析法求临界、极值问题)在真空环境内探测微粒在重力场中能量的简化装置如图所示。P是个微粒源，能持续水平向右发射质量相同、初速度不同的微粒。高度为h的探测屏AB竖直放置，离P点的水平距离为L，上端A与P点的高度差也为h，重力加速度大小为g。
(1)若微粒打在探测屏AB的中点，求微粒在空中飞行的时间；
(2)求能被屏探测到的微粒的初速度范围。
1．类平抛运动 (1)类平抛运动的受力特点 物体所受的合外力为恒力，且与初速度的方向垂直。 (2)类平抛运动的运动特点 在初速度v0方向上做匀速直线运动，在合外力方向上做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝ 。
考点4 类平抛运动及斜抛运动 多维探究
河北卷 2022·T10
辽宁卷 2022·T14
(3)类平抛运动的求解方法 ①常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合外力的方向)的匀加速直线运动。两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性。 ②特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度a分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向列方程求解。
2．斜抛运动 (1)斜上抛运动一般分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动。 (2)斜面上的斜抛运动可以沿垂直斜面方向和沿斜面方向分解，然后研究各方向的运动规律，再进行合成。
角度1 类平抛运动 [典例5] 如图所示，有一倾角为30°足够宽的光滑斜面，斜面长l为10 m，一小球从斜面顶端以10 m/s的速度沿水平方向抛出(g取10 m/s2)，求：
(1)小球沿斜面滑到底端的时间t和沿v0方向水平位移x的大小； (2)小球到达斜面底端时的速度v的大小。
[答案] (1)2 s 20 m (2)14.1 m/s
角度2 斜抛运动 [典例6] (多选)(2022·山东卷)如图所示，某同学将离地1.25 m的网球以13 m/s的速度斜向上击出，击球点到竖直墙壁的距离4.8 m。当网球竖直分速度为零时，击中墙壁上离地高度为8.45 m的P点。网球与墙壁碰撞后，垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍。平行墙面的速度分量不变。重力加速度g取10 m/s2，网球碰墙后的速度大小v和着地点到墙壁的距离d分别为( )
山东卷 2022·T11
A．v＝5 m/sB．v＝ m/s C．d＝3.6 mD．d＝3.9 m
[跟进训练] 1．(类平抛运动)(多选)如图所示，两个足够大的倾角分别为30°、45°的光滑斜面放在同一水平面上，两斜面间距大于小球直径，斜面高度相等，有三个完全相同的小球a、b、c，开始均静止于斜面同一高度处，其中b小球在两斜面之间。若同时释放，a、b、c小球到达该水平面的时间分别为t1、t2、t3。若同时沿水平方向抛出，初速度方向如图所示，到达水平面的时间分别为t′1、t′2、t′3。下列关于时间的关系正确的是( )
A．t1>t3>t2 B．t1＝t′1、t2＝t′2、t3＝t′3 C．t′1>t′3>t′2 D．t1
由数学知识得：t1>t3>t2；
第二种情况：a、c两个球都做类平抛运动，沿斜面向下方向都做初速度为零的匀加速直线运动，a的加速度为gsin 30°，c的加速度为gsin 45°，b球做平抛运动，则有
比较可知，t1＝t′1、t2＝t′2、t3＝t′3，故A、B、C正确，D错误。]
2．(斜抛运动)(2022·浙江省杭州市质检)如图所示，从水平地面上的A、B两点分别斜抛出两小球，两小球均能垂直击中前方竖直墙面上的同一点P。已知点P距地面的高度h＝0.8 m，A、B两点距墙的距离分别为0.8 m 和0.4 m。不计空气阻力，取g＝10 m/s2，则从A、B两点抛出的两小球( )
A．从抛出到击中墙壁的时间之比为2∶1 B．击中墙面的速率之比为1∶1 C．抛出时的速率之比为 D．抛出时速度方向与地面夹角的正切值之比为1∶2
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