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2023-2024学年浙江省9+1高中联盟高二上学期11月期中考试数学试题（含解析）
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这是一份2023-2024学年浙江省9+1高中联盟高二上学期11月期中考试数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知直线l:x+ 3y−1=0，则直线l的倾斜角α为( )
A. π3B. 2π3C. 5π6D. π6
2.若复数z满足：z(1+2i)=8+i，则复数z的虚部为( )
A. −3B. 2C. 3D. −3i
3.“x<1”是“lnx<0”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
4.若函数f(x)=cs(2x+φ)的图象关于直线x=−56π对称，则|φ|的最小值是( )
A. 4π3B. 2π3C. π3D. π6
5.直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥BC，AB=BC=AA1，D，E分别为AC，BC的中点，则异面直线C1D与B1E所成角的余弦值为( )
A. 33B. 55C. 1010D. 3010
6.若关于x的不等式x2−(m+1)x+9≤0在[1,4]上有解，则实数m的最小值为( )
A. 9B. 5C. 6D. 214
7.设椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线C2:x2a2−y2b2=1的离心率分别为e1，e2，且双曲线C2的渐近线的斜率小于 155，则e2e1的取值范围是( )
A. (1,4)B. (4,+∞)C. (1,2)D. (2,+∞)
8.如图，四棱锥P−ABCD中，AB//CD，AB=2CD=2，△ACD是正三角形，PA⊥AC，平面PAC⊥平面PBC，若点F是△PAD所在平面内的动点，且满足|FA|+|FD|=2，点E是棱PC(包含端点)上的动点，则当直线AE与CD所成角取最小值时，线段EF的长度不可能为( )
A. 52B. 62C. 264D. 72
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列命题正确的是( )
A. 集合A={a,b,c}的子集共有8个
B. 若直线l1:x+ay−1=0与l2:a2x−y+1=0垂直，则a=1
C. 若x2+y2=1(x,y∈R)，则3x−4y的最大值为5
D. 长、宽、高分别为1、2、3的长方体的外接球的表面积是14π
10.已知向量a=(− 2,csθ)，b=(sinθ,1)，则下列命题正确的是( )
A. 不存在θ∈R，使得a//b
B. 当tanθ= 22时，a⊥b
C. 对任意θ∈R，都有|a|≠|b|
D. 当a⋅b= 3时，a在b方向上的投影向量的模为35 5
11.已知直线l:(λ+1)x+(1−λ)y+2λ=0，⊙C:x2+y2−4y=0，则下列结论正确的是( )
A. 直线l恒过定点(−2,4)
B. 直线l与⊙C必定相交
C. ⊙C与⊙C1:x2+y2−4x=0公共弦所在直线方程为y=x
D. 当λ=0时，直线l与⊙C的相交弦长是 2
12.设椭圆C:x24+y2=1的左、右焦点分别为F1、F2，椭圆C的右顶点为A，点P、Q都在椭圆C上且P、Q关于原点对称，直线x=m与椭圆C相交于点M、N，则下列说法正确的是( )
A. 四边形PF1QF2不可能是矩形
B. △PQF2周长的最小值为6
C. 直线PA，QA的斜率之积为定值−14
D. 当△F2MN的周长最大时，△F2MN的面积是 3
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.若双曲线16x2−9y2−144=0上一点M与它的一个焦点的距离为9，则点M与另一个焦点的距离为 ．
14.已知圆锥的侧面积为6π，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积是 ．
15.若直线l:x+y+m=0与曲线C:y= 9−x2只有一个公共点，则实数m的取值范围是 ．
16.已知扇形OPQ中，半径r=2，圆心角为θ(0<θ<π2)，若要在扇形上截取一个面积为1的矩形ABCD，且一条边在扇形的一条半径上，如图所示，则tanθ的最小值为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10.0分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且bsinA+ 3acsB=0．
(1)求角B的大小;
(2)若a=2，AC边上的中线BD= 3，求△ABC的面积S．
18.(本小题12.0分)
亚洲运动会简称亚运会，是亚洲规模最大的综合性运动会，由亚洲奥林匹克理事会的成员国轮流主办，每四年举办一届.1951年第1届亚运会在印度首都新德里举行，七十多年来亚洲运动员已成为世界体坛上一支不可忽视的力量，而中国更是世界的体育大国和亚洲的体育霸主.第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举办，为普及体育知识，增强群众体育锻炼意识，衢州举办了亚运知识竞赛活动.活动分为男子组和女子组进行，最终决赛男女各有40名选手参加，下图是其中男子组成绩的频率分布直方图(成绩介于85到145之间)，
(1)求图中缺失部分的直方图的高度，并估算男子组成绩排名第8的选手分数;
(2)若计划从男子组中105分以下的选手中随机抽样调查2个同学的答题状况，则抽到的选手中至多有1位是95分以下选手的概率是多少?
(3)若女子组40位选手的平均分为117，标准差为11，试求所有选手的平均分和方差．
19.(本小题12.0分)
已知双曲线C的渐近线方程是y=± 3x，点M(2,3)在双曲线C上．
(1)求双曲线C的离心率e的值;
(2)若动直线l:y=kx+1与双曲线C交于A，B两点，问直线MA，MB的斜率之和是否为定值?若是，求出该定值;若不是，请说明理由．
20.(本小题12.0分)
如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，BC=4，PC=PD=CD=2，M为AD的中点．
(1)若BM⊥PC，求证：BM⊥PM;
(2)若二面角P−CD−A的余弦值为 33，求直线PB与平面PAD所成角θ的正弦值．
21.(本小题12.0分)
已知函数f(x)=3x2−(2x−a)|x−a|．
(1)当a=0时，求函数f(x)的值域;
(2)若不等式f(x)≥33对x∈R恒成立，求实数a的最小值．
22.(本小题12.0分)
已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F(1,0)，且长轴长是短轴长的 2倍.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设过焦点F的直线l与椭圆C交于A、B两点，F1是椭圆的另一个焦点，若△ABF1内切圆的半径r= 23，求直线l的方程．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查直线的倾斜角和斜率，属于基础题．
求出直线 l 的斜率，结合直线倾斜角的取值范围可求得直线 l 的倾斜角．
【解答】
解：设直线 l 的倾斜角为 α ，则 tanα=−1 3=− 33 ，
又因为 0≤α<π ，因此， α=5π6 ．
故选：C．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，得答案．
【解答】解：由已知得z=8+i1+2i=(8+i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=10−15i5=2−3i，
所以其虚部为−3，
故选A．
3.【答案】B
【解析】解：由lnx<0得0则“x<1”是“lnx<0”的必要不充分条件，
故选：B．
求出不等式的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
本题主要考查必要不充分条件的判断，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查余弦函数的图象及性质，属于基础题．
由函数图象关于直线x=−5π6对称，得到2×(−5π6)+φ=kπ(k∈Z)，进而得到答案．
【解答】解： 因为f(x)的图象关于直线x=−5π6对称，
所以2×(−5π6)+φ=kπ(k∈Z)，解得φ=kπ+5π3(k∈Z)，
当k =−2时，φ=−π3，|φ|=π3，
故选：C．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查异面直线所成角的计算，属于基础题．
根据直三棱柱的几何性质，利用异面直线夹角的定义，可得答案．
【解答】
解：设AB=2，取A1B1的中点F，连接C1F，DF，
则DF//B1E，∠C1DF为异面直线C1D与B1E所成的角或补角．
易求DF=B1E= 5，C1F= 5，C1D= 6，
所以cs∠C1DF=12C1DDF= 62 5= 3010．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查一元二次不等式的求解，属于基础题．
原条件等价于(m+1)x≥x2+9有解，即m+1≥x+9x有解，求出(x+9x)min，即可求得实数m的最小值．
【解答】
解：关于x的不等式x2−(m+1)x+9≤0在[1,4]上有解，等价于(m+1)x≥x2+9有解，
即m+1≥x+9x有解
则m+1≥(x+9x)min=6，当且仅当x=3时等号成立．
所以m≥5，
故选B．
7.【答案】C
【解析】【分析】本题考查了椭圆和双曲线的离心率，及双曲线的渐近线，属于中档题．
由题意先求出椭圆C1与双曲线C2 的离心率，表示出e2e1，结合双曲线C2的渐近线的斜率小于 155，求出e2e1的取值范围．
【解答】解：由椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0) 知：c12=a2−b2⇒c1= a2−b2 ，所以e1=c1a= a2−b2a ，
又因为双曲线C2:x2a2−y2b2=1 知：c22=a2+b2⇒c2= a2+b2 ，所以e2=c2a= a2+b2a ，则
e2e1= a2+b2a a2−b2a= a2+b2 a2−b2= 1+2ab2−1，因为双曲线C2的渐近线的斜率小于 155，即令x2a2−y2b2=0，解得k1=ba< 155= 3 5，k2=−ba<0< 155，即ab2>53，解得：e2e1<2，又因为e2e1>1，
故选：C．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查轨迹，线线角，线段的长度，较难．
得到点F的轨迹是椭圆，再利用csθ=cs∠EAC⋅cs∠CAB=12cs∠EAC≤12，此时E与C重合，设AD的中点为O，则CO= 32，由OF∈[ 32,1]，则EF=CF= CO2+OF2∈[ 62, 72]，即可解决．
【解答】
解：FA+FD=2=2a⇒a=1，AD=1=2c⇒c=12，
a>c，点F的轨迹是椭圆，则b= 32，
AE与CD所成的角等于AE与AB所成的角θ，即θ=∠EAB，
△ABC中，AC=1，AB=2，∠CAB=60°，
由余弦定理可得BC= 3，
∴AC2+BC2=AB2，即AC⊥BC，
过A作AM⊥PC于M，
∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面PBC=PC，AM⊂平面APC，
∴AM⊥平面PBC，
又BC⊂平面PBC，∴AM⊥BC，
又BC⊥AC，AC∩AM=A，AC、AM⊂平面PAC，
∴BC⊥平面PAC，又PA⊂平面PAC，∴BC⊥PA，
∵PA⊥AC，AC∩BC=C，AC、BC⊂平面ABC，
∴PA⊥平面ABCD．
过E作EG⊥AC于G，过G⊥AB于H，连接EH，
则EG//PA，EG⊥平面ABCD，
又AB⊂平面ABCD，∴EG⊥AB，
∵GH⊥AB，GH∩EG=G，EH、EG⊂平面EGH，
∴AB⊥平面EGH，又EH⊂平面EGH，∴AB⊥EH，
∴cs∠EAB=AHAE=AHAG·AGAE=cs∠GAH·cs∠EAG．
则csθ=cs∠EAC⋅cs∠CAB=12cs∠EAC≤12，
当且仅当E与C重合时上式取等，
故当直线AE与CD所成角取最小值时，E与C重合，
设AD的中点为O，则CO= 32，
∵PA⊥平面ABCD，CO⊂平面ABCD，∴PA⊥CO，
又AD∩PA=A，AD、AP⊂平面PAD，∴CO⊥平面PAD，
∵OF∈[ 32,1]，∴EF=CF= CO2+OF2∈[ 62, 72]，
故选A．
9.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查了集合的子集个数、两条直线垂直、直线与圆的位置关系中的最值问题和球的切、接问题，是中档题．
根据集合的子集个数、两条直线垂直、直线与圆的位置关系中的最值问题和球的切、接问题逐一判定即可．
【解答】
解：A的子集共有23=8个，故 A正确;
a2−a=0⇒a=0或1，故B不正确;
令x=csθ，y=sinθ⇒3x−4y=3csθ−4sinθ=5cs(θ+φ)≤5，
其中sinφ=45,csφ=35，
故C正确;
长方体的外接球直径就是长方体的体对角线，
长方体对角线长为 12+22+32= 14，
故2R= 14⇒R= 142⇒S=4πR2=14π，故D正确;
故选：ACD．
10.【答案】ABD
【解析】【分析】本题考查了向量的数量积、向量的投影，平面向量的坐标运算，属于基础题．
由平面向量的坐标运算结合向量的数量积公式可判断各选项．
【解答】
解：因为向量a=(− 2,csθ)，b=(sinθ,1)，
若a//b，则− 2−csθsinθ=0，即12sin2θ=− 2，得sin2θ=−2 2<−1，这样的θ不存在，故A正确；
若tanθ= 22，则满足a⋅b=− 2sinθ+csθ=0，即a与b垂直，故B正确；
若|a|=|b|，则cs2θ+2=1+sin2θ，即1+sin2θ=1−sin2θ+2，所以sin2θ=1，
故当θ=π2时，|a|=|b|，故C错误；
若a⋅b= 3，则− 2sinθ+csθ= 3cs(θ+φ)= 3，θ+φ=0
此时csφ= 33，sinφ= 63，sinθ=−sinφ=− 63，则b=(− 63,1)，
所以a在b方向上的投影向量模长为a·b|b|= 3 23+1=3 55，
故D正确．
故选ABD．
11.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查直线过定点、直线与圆、圆与圆的位置关系，属于一般题．
求出直线的定点坐标，再对选项逐个判断即可．
【解答】
解：直线l:(λ+1)x+(1−λ)y+2λ=0，即λ(x−y+2)+(x+y)=0
令x−y+2=0x+y=0⇒x=−1y=1
则直线l恒过定点(−1,1)，故A不正确;
因为1+1−4<0，所以定点(−1,1)在⊙C内，即直线l与⊙C必定相交，故B正确;
将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为−4y+4x=0，即y=x，故C正确;
当λ=0时，即l:x+y=0，
又⊙C:x2+y2−4y=0，即x2+(y−2)2=4，圆心为C(0,2)，半径为r=2
则圆心C到直线l的距离为d=|0+2| 2= 2
则弦长为2 r2−d2=2 2，故D不正确;故选：BC
12.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查了椭圆的性质，同时还涉及了直线的斜率以及三角形的面积等知识，考查运算求解能力，属中档题．
由椭圆的性质逐一判断即可得解．
【解答】解：a=2，b=1⇒c= 3，⇒PQ∈[2,4]，F1F2=2 3⇒PQ=F1F2有可能成立，故A不正确;
由对称性知：QF2=PF1，∴周长为2a+PQ=4+PQ≥6，故B正确;
A(2,0)，P(x1,y1)，Q(−x1,−y1)⇒kAP⋅kAQ=y1x1−2．−y1−x1−2=−y124−x12=x12−444−x12=−14，故C正确;
根据椭圆的性质可知，m∈(−2,0)，
设M(2csθ,sinθ)，θ∈(π2,π)⇒MF2=a−e⋅2csθ=2− 3csθ，
NF2=2− 3csθ，周长为4−2 3csθ+2sinθ=4+4sin(θ−π3)≤8，此时sin(θ−π3)=1，
⇒θ−π3=π2⇒θ=56π⇒m=2csθ=− 3⇒S△MNF2=12⋅1⋅2 3= 3，故D正确;
故选BCD
13.【答案】15或3
【解析】【分析】
本题考查双曲线的概念及标准方程，属于基础题．
首先将双曲线方程化成标准方程，从而得出参数a、b的值，然后根据双曲线的定义得出 ||MF1|−|MF2||=2a，根据题中的已知数据，可以求出点M到另一个焦点的距离．
【解答】
解：双曲线化解可得x29−y216=1⇒a=3，b=4⇒c=5
设|MF1|=9，
∵||MF1|−|MF2||=2a，
|9−MF2|=2a=6，
MF2=15或3．
经检验，都满足题意，
故答案为15或3．
14.【答案】3π
【解析】【分析】
本题考查圆锥及其结构特征，圆锥的侧面积与体积，旋转体展开图问题，属于中档题．
设圆锥的底面的半径为r，圆锥的母线为l，圆锥的高为h，由题意求得r= 3，l=2 3，求出圆锥的高h，再由圆锥的体积公式可得．
【解答】
解：设圆锥的底面的半径为r，圆锥的母线为l，圆锥的高为h，
则由它的侧面展开图是一个半圆得：πl=2πr，得l=2r，
由扇形面积公式得：12×2πr×2r=6π，
故r2=3，得r= 3，l=2 3，
所以圆锥的高h= l2−r2= 2 32− 32=3，
所以此圆锥的体积为13×π× 32×3=3π．
故答案为3π．
15.【答案】(−3,3]∪{−3 2}
【解析】【分析】
本题主要考查直线和圆的位置关系，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．
曲线C表示一个半圆，利用数形结合可得m的范围．
【解答】
解：l:y=−x−m，C:x2+y2=9(y≥0)，
由图：
可得：−m∈[−3,3)⇒m∈(−3,3];
若相切，则d=|m| 2=3⇒|m|=3 2，
∴−m=3 2⇒m=−3 2，
故答案为：(−3,3]∪{−3 2}.
16.【答案】43
【解析】【分析】
本题考查扇形面积公式的应用，训练了利用三角函数求最值，考查运算求解能力，是中档题．
连接OC，设∠COP=α(0<α<θ)，求得AD，AB，代入四边形面积公式，求得csαsinα=2即tanα=12，再求tanθ的最小值．
【解答】
解：如图：
连接OC，设∠COP=α(0<α<θ)，则
AD=BC=2sinα，OB=2csα，
OA=ADtanθ=2sin αtan θ，
AB=OB−OA=2csα−2sin αtan θ，
可得SABCD=AB·AD=(2csα−2sin αtan θ)·2sinα=4sinαcsα−4sin2αtanθ=1，
所以4sin2αtanθ=4sinαcsα−1，tanθ=4sin2α4sinαcsα−1=44csαsinα−(csαsinα)2−1
当csαsinα=2即tanα=12时，tanθ取得最小值为43．
17.【答案】解：(1)因为bsinA+ 3acsB=0，
由正弦定理得sinBsinA+ 3sinAcsB=0，
由sinA≠0得sinB=− 3csB，则tanB=− 3，
由B为三角形内角，得B=23π;
(2)由AC边上的中线BD得BD=12(BA+BC)，
得BD2=14(BA+BC)2，
则3=14[c2+4+2⋅2c(−12)]
即c2−2c−8=0得c=4(舍负)，
所以S=12acsinB=12⋅2⋅4⋅ 32=2 3．
【解析】本题主要考查解三角形的应用，利用三角形面积公式和正弦定理是解决本题的关键．
(1)根据正弦定理的公式进行化简，即可求角B的大小；
(2)根据向量的数量积以及三角形的面积公式进行化简求解即可．
18.【答案】解：(1)0.05+0.2+0.2+0.3+10h=1⇒h=0.025，∴图中缺失部分的直方图的高度h=0.025；
0.1×40=4人，0.25×40=10人，135−x10=410⇒x=131，∴排名第8的选手分数为131；
(2)0.05×40=2人，0.1×40=4人，总数=5+4+3+2+1=15，
P(2)=115⇒P=1−P(2)=1415，抽到的选手中至多有1位是95分以下选手的概率是1415；
(3)男子组40位选手的平均分：
y=0.05×90+0.1×100+0.2×110+0.3×120+0.25×130+0.1×140=119，
∴所有选手的平均分z=117+1192=118；
女子组的方差Sx2=121，
男子组的方差Sy2=(90−119)2×0.05+192×0.1+92×0.2+12×0.3+112×0.25+212×0.1=169，
Sx2=140(x12+⋯+x402)−1172=121⇒x12+⋯+x402=40(121+1172)，
Sy2=140(y12+⋯+y402)−1192=169⇒y12+⋯+y402=40(169+1192)，
所有选手的方差Sz2=180(x12+⋯+x402+y12+⋯+y402)−1182
=121+1172+169+1192−2×11822=290+119+118−117−1182=146，
综述：所有选手的平均分z=118，所有选手的方差Sz2=146．
【解析】本题考查频率分布直方图，考查古典概型的应用，考查平均数，方差，标准差，考查分析与计算能力，属于中档题．
(1)先求出所有矩形的面积，再用1减去这个面积可得缺失部分的面积，除以10可得其高度，计算可求得结果;
(2)求得105以下合计6个人，总数为15，计算求解即可．
(3)利用平均数和方差的定义求解即可．
19.【答案】解：(1)设C:3x2−y2=λ，∵M(2,3)，
λ=12−9=3⇒C:x2−y23=1，
⇒a=1，b= 3，c=2⇒e=2；
(2)设A(x1,y1)B(x2,y2)，
3x2−y2=3y=kx+1⇒(3−k2)x2−2kx−4=0的根为x1，x2，
Δ=48−12k2>0⇒k2<4且k2≠3，
x1+x2=2k3−k2，x1x2=−43−k2，
kMA=y1−3x1−2=kx1+1−3−2k+2kx1−2=k+2k−2x1−2，
同理：kMB=k+2k−2x2−2，
则kMA+kMB=2k+(2k−2)(1x1−2+1x2−2)
=2k+2(k−1)x1+x2−4x1x2+4−2(x1+x2)
=2k+2(k−1)−2k3−k2−4−43−k2+4−22k3−k2，
=2k+2(k−1)2k−12+4k2−4+12−4k2−4k
=2k−(k−1)2k2+k−6k2+k−2=2k−(k−1)(k+2)(2k−3)(k+2)(k−1)=3．
【解析】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，是中档题．
(1)结合题中条件，得到双曲线的方程即可解答．
(2)设A(x1,y1)B(x2,y2)，联立3x2−y2=3y=kx+1结合韦达定理即可解答．
20.【答案】解：(1)AB=AM=2，AB⊥AM⇒∠AMB=45∘，同理：∠CMD=45∘⇒MB⊥MC，
∵MB⊥PC，⇒MB⊥平面PMC，⇒MB⊥PM;
(2)设CD的中点为N，AB的中点为E，正△PCD⇒CD⊥PN，∵CD⊥NE
∴∠PNE=P−CD−A=α⇒csα=1 3，∵PN= 3，作PO⊥NE于点O⇒ON=1，
PO= 2，⇒OB= 10⇒PB=2 3，设dB−PAD=h，则sinθ=hPB=h2 3，
VB−PAD=VP−ABD⇒13SΔPAD⋅h=13SΔABD⋅ 2⇒h= 2SΔABDSΔPAD，SΔABD=12⋅4⋅2=4，
PD=2，AD=4，PA=PB=2 3⇒PA2+PD2=AD2⇒PA⊥PD
⇒S△PAD=12⋅2⋅2 3=2 3，∴h=4 22 3=2 2 3⇒sinθ=2 2 3⋅12 3= 23．
【解析】本题考查线面垂直的判定与证明，考查线面角的正弦值的求法，属于中档题．
(1)由线面垂直的判定定理得到MB⊥平面PMC，再根据线面垂直的性质即可解答．
(2)设CD的中点为N，AB的中点为E，利用等积法结合解三角形即可求出直线PB与平面PAD所成角的正弦值．
21.【答案】解：(1)a=0⇒f(x)=3x2−2x|x|，
①x≥0⇒f(x)=x2∈[0,+∞);
②x<0⇒f(x)=5x2∈(0,+∞)，
综述：函数f(x)的值域是[0,+∞);
(2)f(x)={x2+3ax−a2,x⩾a5x2−3ax+a2,x ①a≤0⇒a≤−32a⇒f(−32a)<0，不符题意，∴a≤0舍去;
②a>0⇒a>−32a，a>310a⇒f(x)min=f(310a)=5·9a2100−3a·310a+a2≥33
⇒a2≥60⇒a≥2 15;
综述：a≥2 15，即实数a的最小值为2 15．
【解析】本题考查函数的值域及不等式恒成立问题，属于中档题．
(1)由a=0可得f(x)=3x2−2x|x|，讨论x≥0和x<0，再求值域即可；
(2)f(x)=x2+3ax−a2,x⩾a5x2−3ax+a2,x0，根据条件可得关于a的不等式，求解即可．
22.【答案】解：(1)由c=1，焦点在x轴上，2a2b= 2可得a= 2b，
即a= 2，b=c=1
则C:x22+y2=1；
(2)设A(x1,y1)B(x2,y2)，直线l：x=ty+1，
联立方程得x2+2y2=2x=ty+1，
则(t2+2)y2+2ty−1=0的根为y1，y2，
所以SΔABF1=12⋅4a⋅r=43，
又∵SΔABF1=12⋅2c⋅|y2−y1|=|y2−y1|= Δt2+2=2 2⋅ t2+1t2+2，
∴2 2⋅ t2+1t2+2=43
解得t=±1，
所以l:x=±y+1．
【解析】本题考查椭圆的标准方程和直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
(1)由条件可求得a和b的值，即可求得椭圆方程的标准方程;
(2)设A(x1,y1)B(x2,y2)，直线l：x=ty+1，代入椭圆方程，消去x，得到关于y的一元二次方程，由面积公式
SΔABF1=12⋅2c⋅|y2−y1|=12⋅4a⋅r=43，建立等式，解出t，即可求得直线l的方程．
1.已知直线l:x+ 3y−1=0，则直线l的倾斜角α为( )
A. π3B. 2π3C. 5π6D. π6
2.若复数z满足：z(1+2i)=8+i，则复数z的虚部为( )
A. −3B. 2C. 3D. −3i
3.“x<1”是“lnx<0”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
4.若函数f(x)=cs(2x+φ)的图象关于直线x=−56π对称，则|φ|的最小值是( )
A. 4π3B. 2π3C. π3D. π6
5.直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥BC，AB=BC=AA1，D，E分别为AC，BC的中点，则异面直线C1D与B1E所成角的余弦值为( )
A. 33B. 55C. 1010D. 3010
6.若关于x的不等式x2−(m+1)x+9≤0在[1,4]上有解，则实数m的最小值为( )
A. 9B. 5C. 6D. 214
7.设椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线C2:x2a2−y2b2=1的离心率分别为e1，e2，且双曲线C2的渐近线的斜率小于 155，则e2e1的取值范围是( )
A. (1,4)B. (4,+∞)C. (1,2)D. (2,+∞)
8.如图，四棱锥P−ABCD中，AB//CD，AB=2CD=2，△ACD是正三角形，PA⊥AC，平面PAC⊥平面PBC，若点F是△PAD所在平面内的动点，且满足|FA|+|FD|=2，点E是棱PC(包含端点)上的动点，则当直线AE与CD所成角取最小值时，线段EF的长度不可能为( )
A. 52B. 62C. 264D. 72
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列命题正确的是( )
A. 集合A={a,b,c}的子集共有8个
B. 若直线l1:x+ay−1=0与l2:a2x−y+1=0垂直，则a=1
C. 若x2+y2=1(x,y∈R)，则3x−4y的最大值为5
D. 长、宽、高分别为1、2、3的长方体的外接球的表面积是14π
10.已知向量a=(− 2,csθ)，b=(sinθ,1)，则下列命题正确的是( )
A. 不存在θ∈R，使得a//b
B. 当tanθ= 22时，a⊥b
C. 对任意θ∈R，都有|a|≠|b|
D. 当a⋅b= 3时，a在b方向上的投影向量的模为35 5
11.已知直线l:(λ+1)x+(1−λ)y+2λ=0，⊙C:x2+y2−4y=0，则下列结论正确的是( )
A. 直线l恒过定点(−2,4)
B. 直线l与⊙C必定相交
C. ⊙C与⊙C1:x2+y2−4x=0公共弦所在直线方程为y=x
D. 当λ=0时，直线l与⊙C的相交弦长是 2
12.设椭圆C:x24+y2=1的左、右焦点分别为F1、F2，椭圆C的右顶点为A，点P、Q都在椭圆C上且P、Q关于原点对称，直线x=m与椭圆C相交于点M、N，则下列说法正确的是( )
A. 四边形PF1QF2不可能是矩形
B. △PQF2周长的最小值为6
C. 直线PA，QA的斜率之积为定值−14
D. 当△F2MN的周长最大时，△F2MN的面积是 3
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.若双曲线16x2−9y2−144=0上一点M与它的一个焦点的距离为9，则点M与另一个焦点的距离为 ．
14.已知圆锥的侧面积为6π，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积是 ．
15.若直线l:x+y+m=0与曲线C:y= 9−x2只有一个公共点，则实数m的取值范围是 ．
16.已知扇形OPQ中，半径r=2，圆心角为θ(0<θ<π2)，若要在扇形上截取一个面积为1的矩形ABCD，且一条边在扇形的一条半径上，如图所示，则tanθ的最小值为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10.0分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且bsinA+ 3acsB=0．
(1)求角B的大小;
(2)若a=2，AC边上的中线BD= 3，求△ABC的面积S．
18.(本小题12.0分)
亚洲运动会简称亚运会，是亚洲规模最大的综合性运动会，由亚洲奥林匹克理事会的成员国轮流主办，每四年举办一届.1951年第1届亚运会在印度首都新德里举行，七十多年来亚洲运动员已成为世界体坛上一支不可忽视的力量，而中国更是世界的体育大国和亚洲的体育霸主.第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举办，为普及体育知识，增强群众体育锻炼意识，衢州举办了亚运知识竞赛活动.活动分为男子组和女子组进行，最终决赛男女各有40名选手参加，下图是其中男子组成绩的频率分布直方图(成绩介于85到145之间)，
(1)求图中缺失部分的直方图的高度，并估算男子组成绩排名第8的选手分数;
(2)若计划从男子组中105分以下的选手中随机抽样调查2个同学的答题状况，则抽到的选手中至多有1位是95分以下选手的概率是多少?
(3)若女子组40位选手的平均分为117，标准差为11，试求所有选手的平均分和方差．
19.(本小题12.0分)
已知双曲线C的渐近线方程是y=± 3x，点M(2,3)在双曲线C上．
(1)求双曲线C的离心率e的值;
(2)若动直线l:y=kx+1与双曲线C交于A，B两点，问直线MA，MB的斜率之和是否为定值?若是，求出该定值;若不是，请说明理由．
20.(本小题12.0分)
如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，BC=4，PC=PD=CD=2，M为AD的中点．
(1)若BM⊥PC，求证：BM⊥PM;
(2)若二面角P−CD−A的余弦值为 33，求直线PB与平面PAD所成角θ的正弦值．
21.(本小题12.0分)
已知函数f(x)=3x2−(2x−a)|x−a|．
(1)当a=0时，求函数f(x)的值域;
(2)若不等式f(x)≥33对x∈R恒成立，求实数a的最小值．
22.(本小题12.0分)
已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F(1,0)，且长轴长是短轴长的 2倍.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设过焦点F的直线l与椭圆C交于A、B两点，F1是椭圆的另一个焦点，若△ABF1内切圆的半径r= 23，求直线l的方程．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查直线的倾斜角和斜率，属于基础题．
求出直线 l 的斜率，结合直线倾斜角的取值范围可求得直线 l 的倾斜角．
【解答】
解：设直线 l 的倾斜角为 α ，则 tanα=−1 3=− 33 ，
又因为 0≤α<π ，因此， α=5π6 ．
故选：C．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，得答案．
【解答】解：由已知得z=8+i1+2i=(8+i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=10−15i5=2−3i，
所以其虚部为−3，
故选A．
3.【答案】B
【解析】解：由lnx<0得0
故选：B．
求出不等式的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
本题主要考查必要不充分条件的判断，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查余弦函数的图象及性质，属于基础题．
由函数图象关于直线x=−5π6对称，得到2×(−5π6)+φ=kπ(k∈Z)，进而得到答案．
【解答】解： 因为f(x)的图象关于直线x=−5π6对称，
所以2×(−5π6)+φ=kπ(k∈Z)，解得φ=kπ+5π3(k∈Z)，
当k =−2时，φ=−π3，|φ|=π3，
故选：C．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查异面直线所成角的计算，属于基础题．
根据直三棱柱的几何性质，利用异面直线夹角的定义，可得答案．
【解答】
解：设AB=2，取A1B1的中点F，连接C1F，DF，
则DF//B1E，∠C1DF为异面直线C1D与B1E所成的角或补角．
易求DF=B1E= 5，C1F= 5，C1D= 6，
所以cs∠C1DF=12C1DDF= 62 5= 3010．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查一元二次不等式的求解，属于基础题．
原条件等价于(m+1)x≥x2+9有解，即m+1≥x+9x有解，求出(x+9x)min，即可求得实数m的最小值．
【解答】
解：关于x的不等式x2−(m+1)x+9≤0在[1,4]上有解，等价于(m+1)x≥x2+9有解，
即m+1≥x+9x有解
则m+1≥(x+9x)min=6，当且仅当x=3时等号成立．
所以m≥5，
故选B．
7.【答案】C
【解析】【分析】本题考查了椭圆和双曲线的离心率，及双曲线的渐近线，属于中档题．
由题意先求出椭圆C1与双曲线C2 的离心率，表示出e2e1，结合双曲线C2的渐近线的斜率小于 155，求出e2e1的取值范围．
【解答】解：由椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0) 知：c12=a2−b2⇒c1= a2−b2 ，所以e1=c1a= a2−b2a ，
又因为双曲线C2:x2a2−y2b2=1 知：c22=a2+b2⇒c2= a2+b2 ，所以e2=c2a= a2+b2a ，则
e2e1= a2+b2a a2−b2a= a2+b2 a2−b2= 1+2ab2−1，因为双曲线C2的渐近线的斜率小于 155，即令x2a2−y2b2=0，解得k1=ba< 155= 3 5，k2=−ba<0< 155，即ab2>53，解得：e2e1<2，又因为e2e1>1，
故选：C．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查轨迹，线线角，线段的长度，较难．
得到点F的轨迹是椭圆，再利用csθ=cs∠EAC⋅cs∠CAB=12cs∠EAC≤12，此时E与C重合，设AD的中点为O，则CO= 32，由OF∈[ 32,1]，则EF=CF= CO2+OF2∈[ 62, 72]，即可解决．
【解答】
解：FA+FD=2=2a⇒a=1，AD=1=2c⇒c=12，
a>c，点F的轨迹是椭圆，则b= 32，
AE与CD所成的角等于AE与AB所成的角θ，即θ=∠EAB，
△ABC中，AC=1，AB=2，∠CAB=60°，
由余弦定理可得BC= 3，
∴AC2+BC2=AB2，即AC⊥BC，
过A作AM⊥PC于M，
∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面PBC=PC，AM⊂平面APC，
∴AM⊥平面PBC，
又BC⊂平面PBC，∴AM⊥BC，
又BC⊥AC，AC∩AM=A，AC、AM⊂平面PAC，
∴BC⊥平面PAC，又PA⊂平面PAC，∴BC⊥PA，
∵PA⊥AC，AC∩BC=C，AC、BC⊂平面ABC，
∴PA⊥平面ABCD．
过E作EG⊥AC于G，过G⊥AB于H，连接EH，
则EG//PA，EG⊥平面ABCD，
又AB⊂平面ABCD，∴EG⊥AB，
∵GH⊥AB，GH∩EG=G，EH、EG⊂平面EGH，
∴AB⊥平面EGH，又EH⊂平面EGH，∴AB⊥EH，
∴cs∠EAB=AHAE=AHAG·AGAE=cs∠GAH·cs∠EAG．
则csθ=cs∠EAC⋅cs∠CAB=12cs∠EAC≤12，
当且仅当E与C重合时上式取等，
故当直线AE与CD所成角取最小值时，E与C重合，
设AD的中点为O，则CO= 32，
∵PA⊥平面ABCD，CO⊂平面ABCD，∴PA⊥CO，
又AD∩PA=A，AD、AP⊂平面PAD，∴CO⊥平面PAD，
∵OF∈[ 32,1]，∴EF=CF= CO2+OF2∈[ 62, 72]，
故选A．
9.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查了集合的子集个数、两条直线垂直、直线与圆的位置关系中的最值问题和球的切、接问题，是中档题．
根据集合的子集个数、两条直线垂直、直线与圆的位置关系中的最值问题和球的切、接问题逐一判定即可．
【解答】
解：A的子集共有23=8个，故 A正确;
a2−a=0⇒a=0或1，故B不正确;
令x=csθ，y=sinθ⇒3x−4y=3csθ−4sinθ=5cs(θ+φ)≤5，
其中sinφ=45,csφ=35，
故C正确;
长方体的外接球直径就是长方体的体对角线，
长方体对角线长为 12+22+32= 14，
故2R= 14⇒R= 142⇒S=4πR2=14π，故D正确;
故选：ACD．
10.【答案】ABD
【解析】【分析】本题考查了向量的数量积、向量的投影，平面向量的坐标运算，属于基础题．
由平面向量的坐标运算结合向量的数量积公式可判断各选项．
【解答】
解：因为向量a=(− 2,csθ)，b=(sinθ,1)，
若a//b，则− 2−csθsinθ=0，即12sin2θ=− 2，得sin2θ=−2 2<−1，这样的θ不存在，故A正确；
若tanθ= 22，则满足a⋅b=− 2sinθ+csθ=0，即a与b垂直，故B正确；
若|a|=|b|，则cs2θ+2=1+sin2θ，即1+sin2θ=1−sin2θ+2，所以sin2θ=1，
故当θ=π2时，|a|=|b|，故C错误；
若a⋅b= 3，则− 2sinθ+csθ= 3cs(θ+φ)= 3，θ+φ=0
此时csφ= 33，sinφ= 63，sinθ=−sinφ=− 63，则b=(− 63,1)，
所以a在b方向上的投影向量模长为a·b|b|= 3 23+1=3 55，
故D正确．
故选ABD．
11.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查直线过定点、直线与圆、圆与圆的位置关系，属于一般题．
求出直线的定点坐标，再对选项逐个判断即可．
【解答】
解：直线l:(λ+1)x+(1−λ)y+2λ=0，即λ(x−y+2)+(x+y)=0
令x−y+2=0x+y=0⇒x=−1y=1
则直线l恒过定点(−1,1)，故A不正确;
因为1+1−4<0，所以定点(−1,1)在⊙C内，即直线l与⊙C必定相交，故B正确;
将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为−4y+4x=0，即y=x，故C正确;
当λ=0时，即l:x+y=0，
又⊙C:x2+y2−4y=0，即x2+(y−2)2=4，圆心为C(0,2)，半径为r=2
则圆心C到直线l的距离为d=|0+2| 2= 2
则弦长为2 r2−d2=2 2，故D不正确;故选：BC
12.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查了椭圆的性质，同时还涉及了直线的斜率以及三角形的面积等知识，考查运算求解能力，属中档题．
由椭圆的性质逐一判断即可得解．
【解答】解：a=2，b=1⇒c= 3，⇒PQ∈[2,4]，F1F2=2 3⇒PQ=F1F2有可能成立，故A不正确;
由对称性知：QF2=PF1，∴周长为2a+PQ=4+PQ≥6，故B正确;
A(2,0)，P(x1,y1)，Q(−x1,−y1)⇒kAP⋅kAQ=y1x1−2．−y1−x1−2=−y124−x12=x12−444−x12=−14，故C正确;
根据椭圆的性质可知，m∈(−2,0)，
设M(2csθ,sinθ)，θ∈(π2,π)⇒MF2=a−e⋅2csθ=2− 3csθ，
NF2=2− 3csθ，周长为4−2 3csθ+2sinθ=4+4sin(θ−π3)≤8，此时sin(θ−π3)=1，
⇒θ−π3=π2⇒θ=56π⇒m=2csθ=− 3⇒S△MNF2=12⋅1⋅2 3= 3，故D正确;
故选BCD
13.【答案】15或3
【解析】【分析】
本题考查双曲线的概念及标准方程，属于基础题．
首先将双曲线方程化成标准方程，从而得出参数a、b的值，然后根据双曲线的定义得出 ||MF1|−|MF2||=2a，根据题中的已知数据，可以求出点M到另一个焦点的距离．
【解答】
解：双曲线化解可得x29−y216=1⇒a=3，b=4⇒c=5
设|MF1|=9，
∵||MF1|−|MF2||=2a，
|9−MF2|=2a=6，
MF2=15或3．
经检验，都满足题意，
故答案为15或3．
14.【答案】3π
【解析】【分析】
本题考查圆锥及其结构特征，圆锥的侧面积与体积，旋转体展开图问题，属于中档题．
设圆锥的底面的半径为r，圆锥的母线为l，圆锥的高为h，由题意求得r= 3，l=2 3，求出圆锥的高h，再由圆锥的体积公式可得．
【解答】
解：设圆锥的底面的半径为r，圆锥的母线为l，圆锥的高为h，
则由它的侧面展开图是一个半圆得：πl=2πr，得l=2r，
由扇形面积公式得：12×2πr×2r=6π，
故r2=3，得r= 3，l=2 3，
所以圆锥的高h= l2−r2= 2 32− 32=3，
所以此圆锥的体积为13×π× 32×3=3π．
故答案为3π．
15.【答案】(−3,3]∪{−3 2}
【解析】【分析】
本题主要考查直线和圆的位置关系，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．
曲线C表示一个半圆，利用数形结合可得m的范围．
【解答】
解：l:y=−x−m，C:x2+y2=9(y≥0)，
由图：
可得：−m∈[−3,3)⇒m∈(−3,3];
若相切，则d=|m| 2=3⇒|m|=3 2，
∴−m=3 2⇒m=−3 2，
故答案为：(−3,3]∪{−3 2}.
16.【答案】43
【解析】【分析】
本题考查扇形面积公式的应用，训练了利用三角函数求最值，考查运算求解能力，是中档题．
连接OC，设∠COP=α(0<α<θ)，求得AD，AB，代入四边形面积公式，求得csαsinα=2即tanα=12，再求tanθ的最小值．
【解答】
解：如图：
连接OC，设∠COP=α(0<α<θ)，则
AD=BC=2sinα，OB=2csα，
OA=ADtanθ=2sin αtan θ，
AB=OB−OA=2csα−2sin αtan θ，
可得SABCD=AB·AD=(2csα−2sin αtan θ)·2sinα=4sinαcsα−4sin2αtanθ=1，
所以4sin2αtanθ=4sinαcsα−1，tanθ=4sin2α4sinαcsα−1=44csαsinα−(csαsinα)2−1
当csαsinα=2即tanα=12时，tanθ取得最小值为43．
17.【答案】解：(1)因为bsinA+ 3acsB=0，
由正弦定理得sinBsinA+ 3sinAcsB=0，
由sinA≠0得sinB=− 3csB，则tanB=− 3，
由B为三角形内角，得B=23π;
(2)由AC边上的中线BD得BD=12(BA+BC)，
得BD2=14(BA+BC)2，
则3=14[c2+4+2⋅2c(−12)]
即c2−2c−8=0得c=4(舍负)，
所以S=12acsinB=12⋅2⋅4⋅ 32=2 3．
【解析】本题主要考查解三角形的应用，利用三角形面积公式和正弦定理是解决本题的关键．
(1)根据正弦定理的公式进行化简，即可求角B的大小；
(2)根据向量的数量积以及三角形的面积公式进行化简求解即可．
18.【答案】解：(1)0.05+0.2+0.2+0.3+10h=1⇒h=0.025，∴图中缺失部分的直方图的高度h=0.025；
0.1×40=4人，0.25×40=10人，135−x10=410⇒x=131，∴排名第8的选手分数为131；
(2)0.05×40=2人，0.1×40=4人，总数=5+4+3+2+1=15，
P(2)=115⇒P=1−P(2)=1415，抽到的选手中至多有1位是95分以下选手的概率是1415；
(3)男子组40位选手的平均分：
y=0.05×90+0.1×100+0.2×110+0.3×120+0.25×130+0.1×140=119，
∴所有选手的平均分z=117+1192=118；
女子组的方差Sx2=121，
男子组的方差Sy2=(90−119)2×0.05+192×0.1+92×0.2+12×0.3+112×0.25+212×0.1=169，
Sx2=140(x12+⋯+x402)−1172=121⇒x12+⋯+x402=40(121+1172)，
Sy2=140(y12+⋯+y402)−1192=169⇒y12+⋯+y402=40(169+1192)，
所有选手的方差Sz2=180(x12+⋯+x402+y12+⋯+y402)−1182
=121+1172+169+1192−2×11822=290+119+118−117−1182=146，
综述：所有选手的平均分z=118，所有选手的方差Sz2=146．
【解析】本题考查频率分布直方图，考查古典概型的应用，考查平均数，方差，标准差，考查分析与计算能力，属于中档题．
(1)先求出所有矩形的面积，再用1减去这个面积可得缺失部分的面积，除以10可得其高度，计算可求得结果;
(2)求得105以下合计6个人，总数为15，计算求解即可．
(3)利用平均数和方差的定义求解即可．
19.【答案】解：(1)设C:3x2−y2=λ，∵M(2,3)，
λ=12−9=3⇒C:x2−y23=1，
⇒a=1，b= 3，c=2⇒e=2；
(2)设A(x1,y1)B(x2,y2)，
3x2−y2=3y=kx+1⇒(3−k2)x2−2kx−4=0的根为x1，x2，
Δ=48−12k2>0⇒k2<4且k2≠3，
x1+x2=2k3−k2，x1x2=−43−k2，
kMA=y1−3x1−2=kx1+1−3−2k+2kx1−2=k+2k−2x1−2，
同理：kMB=k+2k−2x2−2，
则kMA+kMB=2k+(2k−2)(1x1−2+1x2−2)
=2k+2(k−1)x1+x2−4x1x2+4−2(x1+x2)
=2k+2(k−1)−2k3−k2−4−43−k2+4−22k3−k2，
=2k+2(k−1)2k−12+4k2−4+12−4k2−4k
=2k−(k−1)2k2+k−6k2+k−2=2k−(k−1)(k+2)(2k−3)(k+2)(k−1)=3．
【解析】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，是中档题．
(1)结合题中条件，得到双曲线的方程即可解答．
(2)设A(x1,y1)B(x2,y2)，联立3x2−y2=3y=kx+1结合韦达定理即可解答．
20.【答案】解：(1)AB=AM=2，AB⊥AM⇒∠AMB=45∘，同理：∠CMD=45∘⇒MB⊥MC，
∵MB⊥PC，⇒MB⊥平面PMC，⇒MB⊥PM;
(2)设CD的中点为N，AB的中点为E，正△PCD⇒CD⊥PN，∵CD⊥NE
∴∠PNE=P−CD−A=α⇒csα=1 3，∵PN= 3，作PO⊥NE于点O⇒ON=1，
PO= 2，⇒OB= 10⇒PB=2 3，设dB−PAD=h，则sinθ=hPB=h2 3，
VB−PAD=VP−ABD⇒13SΔPAD⋅h=13SΔABD⋅ 2⇒h= 2SΔABDSΔPAD，SΔABD=12⋅4⋅2=4，
PD=2，AD=4，PA=PB=2 3⇒PA2+PD2=AD2⇒PA⊥PD
⇒S△PAD=12⋅2⋅2 3=2 3，∴h=4 22 3=2 2 3⇒sinθ=2 2 3⋅12 3= 23．
【解析】本题考查线面垂直的判定与证明，考查线面角的正弦值的求法，属于中档题．
(1)由线面垂直的判定定理得到MB⊥平面PMC，再根据线面垂直的性质即可解答．
(2)设CD的中点为N，AB的中点为E，利用等积法结合解三角形即可求出直线PB与平面PAD所成角的正弦值．
21.【答案】解：(1)a=0⇒f(x)=3x2−2x|x|，
①x≥0⇒f(x)=x2∈[0,+∞);
②x<0⇒f(x)=5x2∈(0,+∞)，
综述：函数f(x)的值域是[0,+∞);
(2)f(x)={x2+3ax−a2,x⩾a5x2−3ax+a2,x
②a>0⇒a>−32a，a>310a⇒f(x)min=f(310a)=5·9a2100−3a·310a+a2≥33
⇒a2≥60⇒a≥2 15;
综述：a≥2 15，即实数a的最小值为2 15．
【解析】本题考查函数的值域及不等式恒成立问题，属于中档题．
(1)由a=0可得f(x)=3x2−2x|x|，讨论x≥0和x<0，再求值域即可；
(2)f(x)=x2+3ax−a2,x⩾a5x2−3ax+a2,x
22.【答案】解：(1)由c=1，焦点在x轴上，2a2b= 2可得a= 2b，
即a= 2，b=c=1
则C:x22+y2=1；
(2)设A(x1,y1)B(x2,y2)，直线l：x=ty+1，
联立方程得x2+2y2=2x=ty+1，
则(t2+2)y2+2ty−1=0的根为y1，y2，
所以SΔABF1=12⋅4a⋅r=43，
又∵SΔABF1=12⋅2c⋅|y2−y1|=|y2−y1|= Δt2+2=2 2⋅ t2+1t2+2，
∴2 2⋅ t2+1t2+2=43
解得t=±1，
所以l:x=±y+1．
【解析】本题考查椭圆的标准方程和直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
(1)由条件可求得a和b的值，即可求得椭圆方程的标准方程;
(2)设A(x1,y1)B(x2,y2)，直线l：x=ty+1，代入椭圆方程，消去x，得到关于y的一元二次方程，由面积公式
SΔABF1=12⋅2c⋅|y2−y1|=12⋅4a⋅r=43，建立等式，解出t，即可求得直线l的方程．
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