山西省太原市第五中学2023届高三一模数学试题（AB卷）(含答案)

这是一份山西省太原市第五中学2023届高三一模数学试题（AB卷）(含答案)，共21页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、设集合,则选项正确的是( )
A.B.C.D.
2、已知向量,满足,,则( )
A.-2B.-1C.0D.2
3、""是“"的( )
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
4、被1000除的余数是( )
A.-1B.-99C.1D.901
5、复平面内复数满足,则的最小值为( )
A.1B.C.D.3
6、如图,大正方形的中心与小正方形的中心重合,且大正方形边长为,小正方形边长为2,截去图中阴影部分后,翻折得到正四棱锥（A,B,C,D四点重合于点P）,则此四棱锥的体积为( )
A.B.C.D.
7、现有甲､乙两组数据,每组数据均由六个数组成,其中甲组数据的平均数为3,方差为5,乙组数据满足如下条件时,若将这两组数据混合成一组,则关于新的一组数据说法错误的是( )
A.若乙组数据的平均数为3,则新的一组数据平均数为3
B.若乙组数据的方差为5,则新的一组数据方差为5
C.若乙组数据的平均数为3,方差为5,则新的一组数据方差为5
D.若乙组数据的平均数为5,方差为3,则新的一组数据方差为5
8、已知a,b,c均为正实数,e为自然对数的底数,若,则下列不等式一定成立的是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、函数的图象可以是( )
A.B.
C.D.
10、已知,是双曲线的左､右焦点,且到C的一条渐近线的距离为,O为坐标原点,点,P为C右支上的一点,则( )
A.
B.过点M且斜率为1的直线与C有两个不同的交点
C.若,斜率存在,则
D.的最小值为
11、在平行六面体中,已知,则下列说法错误的是( )
A.为中点,为中点,则DE与BF为异面直线
B.线段的长度为
C.为中点,则平面
D.直线与平面ABCD所成角的正弦值为
12、已知定义域为R的函数对任意实数x,y都有,且,则以下结论一定正确的有( )
A.B.是偶函数
C.关于中心对称D.
三、填空题
13、已知函数的图象与直线相切,则________________.
14、直线分别与x轴､y轴交于A,B两点,点P在圆上,则面积的取值范围是________.
15、已知直线l与椭圆交于M,N两点,线段MN中点P在直线上,且线段MN的垂直平分线交x轴于点,则椭圆E的离心率是__________________.
16、数列满足,则___________.
四、解答题
17、如图,AC为圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,B为圆周上不与点A,C重合的点,连接PB,PC,AB,BC,作于点S,于点N.
(1)求证：是二面角的平面角;
(2)若,求二面角的正弦值.
18、数列满足,,.
(1)求证：是等比数列;
(2)若,求的前n项和为.
19、在中,D是边BC上的点,,.
(1)求;
(2)若,求的面积.
20、近几年,随着生活水平的提高,人们对水果的需求量也随之增加,我市精品水果店大街小巷遍地开花,其中中华猕猴桃的口感甜酸、可口,风味较好,广受消费者的喜爱.在某水果店,某种猕猴桃整盒出售,每盒20个.已知各盒含0,1个烂果的概率分别为0.8,0.2.
(1)顾客甲任取一盒,随机检查其中4个猕猴桃,若当中没有烂果,则买下这盒猕猴桃,否则不会购买此种猕猴桃.求甲购买一盒猕猴桃的概率;
(2)顾客乙第1周网购了一盒这种猕猴桃,若当中没有烂果,则下一周继续网购一盒;若当中有烂果,则隔一周再网购一盒;以此类推,求乙第5周网购一盒猕猴桃的概率
21、已知函数的周期为,图象的一个对称中心为,将函数图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）,再将所得图象向右平移个单位长度后得到函数的图象.
(1)求函数与的解析式;
(2)求实数a与正整数n,使得在内恰有2023个零点.
22、如图,小明同学先把一根直尺固定在画板上,把一块三角板的一条直角边紧靠在直尺边沿,再取一根细绳,它的长度与另一直角边相等,让细绳的一端固定在三角板的顶点处,另一端固定在画板上点F处,用铅笔尖扣紧绳子,让细绳紧贴住三角板的直角边,然后将三角板沿着直尺上下滑动,这时笔尖在平面上留下轨迹.已知细绳长度为,经测量,当笔尖运动到点P处时,,.设直尺边沿所在直线为a,以过F垂直于直尺的直线为x轴,以过F垂直于a的垂线段的中垂线为y轴,以为单位长度,建立平面直角坐标系.
(1)求C的方程;
(2)过点且斜率为k的直线l与C交于M,N两点,k的取值范围为,探究：是否存在,使得,若存在,求出.的取值范围,若不存在,说明理由.
参考答案
1、答案：B
解析：根据,可得B是集合的子集,且;
当时,满足题意.
若,则,故A错误;
若,则,所以,故B正确;
若,则,故C错误;
若,则,故D错误.
故选：B.
2、答案：C
解析：.
故选：C.
3、答案：C
解析：因为,所以,
即或,所以或,
故“是“”的必要不充分条件.
故选：C.
4、答案：C
解析：,
所以展开式中从第二项开始都是1000的倍数,因此被1000除的余数是1.
故选：C.
5、答案：B
解析：设,
因为,所以,即z在复平面内对应点的轨迹为圆,如图,
又,
所以表示圆C上的动点到定点的距离,
所以为,
故选：B.
6、答案：C
解析：如图：取BC的中点M,连接FM,连接AC交CF于N,如图.
由题意知,设,在直角三角形CFM中,.
在直角三角形CFM中,,即,
所以,化简得,
结合,,解得,
所以,.
过点P作平面EFGH,连接ON,
如图
则正四棱锥的高,
所以正四棱锥的体积.
故选：C.
7、答案：B
解析：设甲组数据的平均数为,方差为,
乙组数据的平均数为,方差为,
混合后的新数据的平均数为,方差为,
则,,
对于A,新的一组数据平均数,A正确;
对于B,由于不能确定乙组数据的平均数,故由公式可知无法确定新的一组数据方差,B错误;
对于C,因为乙组数据的平均数为3,方差为5,即,,
所以,
所以,C正确;
对于D,因为乙组数据的平均数为5,方差为3,即,,
所以,
所以,D正确;
故选：B.
8、答案：D
解析：已知a,b,c均为正实数,,
当,时,,满足成立,
对于A,,故A错误;
对于B,,故B错误;
对于C,,故C错误,
对于D,由已知,则,.
由 则,
所以,即,得,,即.
下面证明,.
设,,所以在区间上单调递增,
所以>,即.
所以,故D正确,
故选：D.
9、答案：BC
解析：由函数解析式可知,a是不变号零点,b是变号零点,
A.由图可知,变号零点是0,则,则,不成立,故A错误;
B.由图可知,变号零点小于0,不变号零点为0,则,此时,当,,当,,当时,,满足图象,故B正确;
C.由图可知,,,当时,,当时,,当时,,满足图象,故C正确;
D.由图可知,,,当时,,与图象不符,所以D错误.
故选：BC.
10、答案：AD
解析：设双曲线的半焦距为,其中一条渐近线为：
因为到C的一条渐近线的距离为,
即,所以,又,所以,故A正确;
对于B,双曲线的一条渐近线的斜率为1,所以过点M且斜率为1的直线为,
联立,消去得：,只有一个交点,故B错误;
对于C,设,则,,故C错误;
对于D,由双曲线的定义可知,当且仅当P,M,三点共线时取得等号,故D正确,
故选：AD.
11、答案：ABD
解析：对于A,如图,连接EF,DE,BF,E为中点,F为中点,
由图可知,且,
设,,则重合,
即DE与BF相交,故A错误;
对于B,因为,
所以,
所以
所以,故B错误;
因为M为中点,连接AC交BD于点O,
再连接OM,BM,DM,
则在中,,
平面BDM,平面BDM,
所以平面BDM,C正确;
对于D:在平行六面体中,
四边形ABCD是菱形,则,
又,
所以,,AC,平面,
所以平面,
又因为平面ABCD,
所以平面平面ABCD,
过点作于点P,
平面平面,
平面所以平面ABCD,
所以直线与平面ABCD所成角为,
,
所以,
所以,所以,故D错误;
故选:ABD.
12、答案：BC
解析：令,则或,故A错误,
若时,令,则,此时是偶函数,若时,令,则,此时既是偶函数又是奇函数;因此B正确,
令,则,所以关于中心对称,故C正确,
由关于中心对称可得,结合是偶函数,所以,所以的周期为2,
令,则,故,
进而,而,由A选项知或,所以或,故D错误.
故选：BC.
13、答案：
解析：由得,
设切点坐标为,
则,解得.
故答案为：.
14、答案：
解析：因为直线分别与x轴､y轴交于A,B两点,
所以,
所以
圆的圆心的坐标为,半径,
所以圆心到直线距离,
所以P到直线距离,即,
.
故答案为：.
15、答案：
解析：设,,其中,显然点P在椭圆内,
记坐标原点为O,直线l,OP,PQ的斜率分别为,,易知三条直线斜率均存在,
又,两式相减整理可得,
即,又,所以两式相比可得,
即,代入,整理可得,
所以离心率.
故答案为：.
16、答案：-800
解析：由题可得
因为
,
又因为,
故答案为：-800.
17、答案：(1)证明见解析
(2)
解析：（1）因为PA垂直于圆O所在的平面,即平面ABC,
平面ABC,所以,
又因为为圆的直径,所以,
,PA,平面PAB,
所以平面PAB,平面PAB,所以,
又因为,,BC,平面PBC,
所以平面PBC,平面PBC,所以,
又因为,,AS,平面ASN,
所以平面ASN,平面ASN,
所以是二面角的平面角.
（2）设,因为,
所以,,
过点B作AP的平行线为z轴,并以BC,BA为x,y轴建系如图,
则,,,
设平面APC的法向量为,
,
所以令则,
所以,
设平面PBC的法向量为,
,
所以令则,
所以,
设二面角的大小为,
则,
所以.
18、答案：(1)证明见解析
(2)
解析：（1）,,
,
,
,
所以数列是以2为首项,2为公比的等比数列.
（2）由（1）可得,,所以,
设设其前n项和为,
则①
②
减②得
所以
所以.
19、答案：(1)
(2)
解析：（1）在中,由正弦定理,得①,
在中,由正弦定理,得②,
因为,所以,
故①②相比可得,
由及,得.
因为,所以或.
当时,不满足,舍;
当时,满足题意,
综上,.
（2）在中,,故,
进而,,是等腰三角形.
过C作于E,
则,
所以,
故的面积为.
20、答案：(1)0.96
(2)0.8336
解析：（1）由题意可得：甲不购买一盒猕猴桃情况为该盒有1个烂果且随机检查其中4个时抽到这个烂果,
甲购买一盒猕猴桃的概率.
（2）用“√”表示购买,“╳”表示不购买,乙第5周购买有如下可能：
故乙第5周网购一盒猕猴桃的概率.
21、答案：(1),
(2),
解析：（1）,
当时,,
因为,取,
,
将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变）,
可得函数,再将所得图像向右平移个单位长度后,
,
（2）由（1）得,,
,
不妨设或,显然,
若且,则在上必有偶数个零点,
所以中至少有一个为或,
不妨设或,
当,则,
此时在上有1个零点,在上有2个零点,即在上有3个零点,如图所示,
又,所以只需即可满足题意;
当,则,
此时在上有2个零点,在上有1个零点,即在上有3个零点,如图所示,
又,当时,在上有2022个零点,当时,增加2个零点,即在上有2024个零点,故不符合题意.
综上所述,,.
22、答案：(1),
(2)存在,使得成立.
解析：（1）依题意,笔尖到点F的距离与它到直线a的距离相等,
因此笔尖留下的轨迹为以F为焦点,a为准线的抛物线,
设其方程为,
则,由,
得,
又,
所以 ,所以点P到直线a的距离为,
由得点P的横坐标,
而抛物线的准线方程为,
则,解得,
所以轨迹C的方程为.
（2）假设存在,使得,
设,
直线l的方程为,
由消去y得：,
而,
,
,
,
由得,即,
于是,
令,,
因此,又,即,
解得或,
所以存在,使得成立.
第1周
第2周
第3周
第4周
第5周
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