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2023-2024学年河北省石家庄二十三中高二上学期第一次月考（10月）数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年河北省石家庄二十三中高二上学期第一次月考（10月）数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设出倾斜角，求出其正切值，即斜率，进而可得倾斜角.
【详解】设直线的倾斜角为，，
则，.
故选：D.
2．已如点，，者在平面内，则平面的一个法向量的坐标可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设出法向量，利用向量垂直得到方程组，取求出，与共线的向量也是法向量，得到答案.
【详解】由，，，得，，
设是平面的一个法向量，则即,
取，则，故，则与共线的向量也是法向量，
经验证，只有C正确..
故选：C．
3．直线与直线平行，则的值为（ ）
A．B．C．D．或
【答案】C
【分析】求出已知二直线不相交时的a值，再验证作答.
【详解】依题意，直线与直线平行或重合时，，
解得或，
当时，直线与直线重合，
当时，直线与直线平行，
所以的值为.
故选：C
4．在四面体中，，点在上，且,为中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据空间向量的线性运算可得答案.
【详解】点在线段上，且，为中点，
，，
．
故选：B．
5．集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据指数函数的单调性及分式不等式的解法化简集合，由交集运算求解.
【详解】因为，，
所以，
故选：B
6．已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】A
【分析】利用空间向量的基底的定义，逐项判断作答.
【详解】假定向量，，共面，则存在不全为0的实数，
使得，显然不成立，
所以向量不共面，能构成空间的一个基底，故A正确；
由于，则，，共面，故B错误；
由于，则，，共面，故C错误；
由于，则，，共面，故D错误；
故选：A.
7．已知，且，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】结合题意，化简，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由，且，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值是.
故选：D.
8．如图所示，在正方体中，为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可得到结果.
【详解】
根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
则，
则，
设平面的法向量为，
则，解得，令，则，
所以平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
则.
故选：D
二、多选题
9．下列说法中，正确的有（ ）
A．过点且在轴，轴截距相等的直线方程为
B．直线在轴的截距是2
C．直线的倾斜角为30°
D．过点且倾斜角为90°的直线方程为
【答案】CD
【分析】根据直线的截距、倾斜角、直线方程等知识确定正确答案.
【详解】A选项，直线过点且在轴，轴截距相等，所以A选项错误.
B选项，直线在轴上的截距是，B选项错误.
C选项，直线的斜率为，倾斜角为，C选项正确.
D选项，过点且倾斜角为90°的直线方程为，D选项正确.
故选：CD
10．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ）
A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则
B．两个不同的平面，的法向量分别是，，则
C．直线的方向向量，平面的法向量是，则
D．直线的方向向量，平面的法向量是，则
【答案】AB
【分析】利用方向向量、法向量之间的共线关系或垂直关系，判断线线、线面的位置关系即可.
【详解】解：A项，因为，，即，且直线，不重合，所以，故A项正确；
B项，因为，，即，所以，所以，故B项正确；
C项，因为，，即，所以，所以，故C项错误；
D项，因为，，即，所以，所以，故D项错误.
故选：AB.
11．下面四个命题中的真命题为（ ）
A．若复数z满足，则
B．若复数z满足，则
C．若复数，满足，则
D．若复数，则
【答案】AD
【分析】根据复数的分类，结合复数的性质，逐项分析，得到命题的真假，即可求解.
【详解】对于A中，设，可得，
因为，可得，则，所以A正确；
对于B中，若复数时，可得，此时，所以B为假命题；
对于C中，若复数，可得，则，所以C为假命题；
对于D中，若复数，则，所以D为真命题.
故选：AD.
12．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，分别是的中点，是棱上的动点，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．存在点，使平面
C．存在点，使直线与所成的角为
D．点到平面与平面的距离和为定值
【答案】ABD
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】依题意可知两两相互垂直，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
设，
，设，，
所以，所以，A选项正确.
点到平面与平面的距离和为为定值，D选项正确.
，，
设平面的法向量为，
则，故可设，
要使平面，平面，
则，
解得，所以存在点，使平面，B选项正确.
若直线与直线所成角为，
则，
，无解，所以C选项错误.
故选：ABD
三、填空题
13．过点且与直线垂直的直线方程为 .
【答案】
【分析】根据垂直直线斜率之积为，结合点斜式求解即可.
【详解】直线斜率为，故与之垂直的直线斜率为，故过点且与直线垂直的直线方程为，即.
故答案为：
14．已知，，且，则 .
【答案】
【分析】由空间向量的坐标运算求解，
【详解】，，
而，故
即，解得，
故答案为：
15．已知的内角的对边分别为，若的面积为，则 ．
【答案】
【解析】利用三角形面积公式和余弦定理可求得，由同角三角函数关系可求得结果.
【详解】，，，
又，，，.
故答案为：.
16．在直棱柱中，分别是，的中点，．则二面角的余弦值是 ．
【答案】
【分析】建系，分别求平面、平面的法向量，利用空间向量求二面角.
【详解】如图，以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
可得，
设平面的法向量为，则，
令，则，即，
由题意可得：平面的法向量，
则，
由图形可知：二面角为钝角，所以其余弦值为.
故答案为：.
四、解答题
17．已知，．
(1)求；
(2)当时，求实数的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据数量积得运算律结合数量积的坐标公式计算即可；
（2）由，得，再根据数量积得运算律结合数量积的坐标公式计算即可.
【详解】（1）已知，，
则，，，
所以；
（2）因为，
所以，
解得或．
18．在平行四边形中，，点E是线段的中点．
(1)求直线的方程；
(2)求过点A且与直线垂直的直线．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根据中点坐标公式求出E的坐标，根据直线方程的两点式或点斜式即可求AE的方程；
（2）设，根据平行四边形对角线互相平分列方程组求出D的坐标，根据两直线垂直，斜率之积为-1求出直线斜率，再根据直线方程的点斜式即可得到答案．
【详解】（1）由中点坐标公式得，
∴，
∴直线的方程为，即．
（2）设点，∵平行四边形的对角线互相平分，
即BD中点和AC中点重合，
∴，解得，即D(1，－2)，
∴，
则过点A且与直线垂直的直线斜率为：，
方程为：，即．
19．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且与、的夹角都等于，在棱上，，设，，．
(1)试用，，表示出向量；
(2)求与所成的角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量线性运算，化简即得用，，表示向量的式子；
（2）利用空间的数量积和向量夹角公式进行求解即可．
【详解】（1）因为，则，
因为ABCD是边长为1的正方形，则，
且，可得，
又因为，，，所以.
（2）由题意可知：，，与、的夹角均为60°，与的夹角为90°，
则
，
可得，
又因为
，
设与所成的角为，所以．
五、证明题
20．如图，在三棱柱中，，点D为棱AC的中点，平面平面，，且．
(1)求证：平面ABC；
(2)若，求二面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据面面垂直的性质定理证明；
（2）利用空间向量的坐标运算求二面角.
【详解】（1）如图，连接．因为侧面为菱形，且，
所以为等边三角形，所以．
又因为平面平面，
平面，
平面平面，
所以平面ABC．
（2）
由（1）的过程可知，可以点D为坐标原点，
分别以DB，DC，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系D-xyz．
不妨设，由题可知，，，，．
由，可得．
设平面的法向量为，
而，，则有,
取，得．
设平面的法向量为，
而，，
则有，
取，得．
设平面与平面夹角为，
则，
所以，
即平面与平面夹角的正弦值为．
六、解答题
21．第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，而亚运会志愿者的服务工作是举办一届成功的亚运会的重要保障.为配合亚运会志愿者选拔，某高校举行了志愿者选拔面试，面试成绩满分100分，现随机抽取了80名候选者的面试成绩，绘制成如下频率分布直方图.
(1)求的值，并估计这80名候选者面试成绩平均值，众数，中位数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，中位数精确到0.1）
(2)乒乓球项目场地志愿服务需要3名志愿者，有3名男生和2名女生通过该项志愿服务选拔，需要通过抽签的方式决定最终的人选，现将3张写有“中签”和2张写有“未中签”字样的字条随机分配给每一位候选人，求中签者中男生比女生多的概率.
【答案】(1)，，众数为70，中位数为.
(2)
【分析】（1）由频率和为1列方程可求出的值，根据平均数的定义可求出，由众数的定义可求得众数，先判断中位数的位置，再列方程求解即可；
（2）利用列举法结合古典概型的概率计算公式求解即可.
【详解】（1）由频率分布直方图可知，解得，
，
众数为70，
因为前2组的频率和为，前3组的频率和为，
所以中位数在第3组，设中位数为，则
，解得，
所以中位数为.
（2）记3名男生分别为，记2名女生分别为，则所有抽签的情况有：
未中签，中签；未中签，中签；未中签，中签；
未中签，中签；未中签，中签；未中签，中签；
未中签，中签；未中签，中签；未中签，中签；
未中签，中签，共有10种情况，
其中中签者中男生比女生多的有：未中签，中签；未中签，中签；
未中签，中签；未中签，中签；未中签，中签；
未中签，中签；未中签，中签，共7种，
所以中签者中男生比女生多的概率为.
七、证明题
22．图①是直角梯形，，，四边形是边长为的菱形，并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且.
(1)求证：平面平面；
(2)在棱上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出直线与平面所成角的正弦值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，直线与平面所成角的正弦值为
【分析】（1）由二面角平面角定义可知是二面角的平面角，利用勾股定理可说明，由此可证得结论；
（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，由点到平面距离的向量求法可构造方程求得，利用线面角的向量求法可求得结果.
【详解】（1）在图①中，连接，交于，
四边形是边长为的菱形，，，；
在图②中，相交直线均与垂直，是二面角的平面角，
，，，，平面平面.
（2）以为坐标原点，正方向为轴可建立如图②所示空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，，，
设，，
则，
设平面的一个法向量，
则，令，解得：，，；
点到平面的距离，解得：或（舍），
，，
，
直线与平面所成角的正弦值为.
一、单选题
1．已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设出倾斜角，求出其正切值，即斜率，进而可得倾斜角.
【详解】设直线的倾斜角为，，
则，.
故选：D.
2．已如点，，者在平面内，则平面的一个法向量的坐标可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设出法向量，利用向量垂直得到方程组，取求出，与共线的向量也是法向量，得到答案.
【详解】由，，，得，，
设是平面的一个法向量，则即,
取，则，故，则与共线的向量也是法向量，
经验证，只有C正确..
故选：C．
3．直线与直线平行，则的值为（ ）
A．B．C．D．或
【答案】C
【分析】求出已知二直线不相交时的a值，再验证作答.
【详解】依题意，直线与直线平行或重合时，，
解得或，
当时，直线与直线重合，
当时，直线与直线平行，
所以的值为.
故选：C
4．在四面体中，，点在上，且,为中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据空间向量的线性运算可得答案.
【详解】点在线段上，且，为中点，
，，
．
故选：B．
5．集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据指数函数的单调性及分式不等式的解法化简集合，由交集运算求解.
【详解】因为，，
所以，
故选：B
6．已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】A
【分析】利用空间向量的基底的定义，逐项判断作答.
【详解】假定向量，，共面，则存在不全为0的实数，
使得，显然不成立，
所以向量不共面，能构成空间的一个基底，故A正确；
由于，则，，共面，故B错误；
由于，则，，共面，故C错误；
由于，则，，共面，故D错误；
故选：A.
7．已知，且，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】结合题意，化简，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由，且，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值是.
故选：D.
8．如图所示，在正方体中，为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可得到结果.
【详解】
根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
则，
则，
设平面的法向量为，
则，解得，令，则，
所以平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
则.
故选：D
二、多选题
9．下列说法中，正确的有（ ）
A．过点且在轴，轴截距相等的直线方程为
B．直线在轴的截距是2
C．直线的倾斜角为30°
D．过点且倾斜角为90°的直线方程为
【答案】CD
【分析】根据直线的截距、倾斜角、直线方程等知识确定正确答案.
【详解】A选项，直线过点且在轴，轴截距相等，所以A选项错误.
B选项，直线在轴上的截距是，B选项错误.
C选项，直线的斜率为，倾斜角为，C选项正确.
D选项，过点且倾斜角为90°的直线方程为，D选项正确.
故选：CD
10．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ）
A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则
B．两个不同的平面，的法向量分别是，，则
C．直线的方向向量，平面的法向量是，则
D．直线的方向向量，平面的法向量是，则
【答案】AB
【分析】利用方向向量、法向量之间的共线关系或垂直关系，判断线线、线面的位置关系即可.
【详解】解：A项，因为，，即，且直线，不重合，所以，故A项正确；
B项，因为，，即，所以，所以，故B项正确；
C项，因为，，即，所以，所以，故C项错误；
D项，因为，，即，所以，所以，故D项错误.
故选：AB.
11．下面四个命题中的真命题为（ ）
A．若复数z满足，则
B．若复数z满足，则
C．若复数，满足，则
D．若复数，则
【答案】AD
【分析】根据复数的分类，结合复数的性质，逐项分析，得到命题的真假，即可求解.
【详解】对于A中，设，可得，
因为，可得，则，所以A正确；
对于B中，若复数时，可得，此时，所以B为假命题；
对于C中，若复数，可得，则，所以C为假命题；
对于D中，若复数，则，所以D为真命题.
故选：AD.
12．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，分别是的中点，是棱上的动点，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．存在点，使平面
C．存在点，使直线与所成的角为
D．点到平面与平面的距离和为定值
【答案】ABD
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】依题意可知两两相互垂直，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
设，
，设，，
所以，所以，A选项正确.
点到平面与平面的距离和为为定值，D选项正确.
，，
设平面的法向量为，
则，故可设，
要使平面，平面，
则，
解得，所以存在点，使平面，B选项正确.
若直线与直线所成角为，
则，
，无解，所以C选项错误.
故选：ABD
三、填空题
13．过点且与直线垂直的直线方程为 .
【答案】
【分析】根据垂直直线斜率之积为，结合点斜式求解即可.
【详解】直线斜率为，故与之垂直的直线斜率为，故过点且与直线垂直的直线方程为，即.
故答案为：
14．已知，，且，则 .
【答案】
【分析】由空间向量的坐标运算求解，
【详解】，，
而，故
即，解得，
故答案为：
15．已知的内角的对边分别为，若的面积为，则 ．
【答案】
【解析】利用三角形面积公式和余弦定理可求得，由同角三角函数关系可求得结果.
【详解】，，，
又，，，.
故答案为：.
16．在直棱柱中，分别是，的中点，．则二面角的余弦值是 ．
【答案】
【分析】建系，分别求平面、平面的法向量，利用空间向量求二面角.
【详解】如图，以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
可得，
设平面的法向量为，则，
令，则，即，
由题意可得：平面的法向量，
则，
由图形可知：二面角为钝角，所以其余弦值为.
故答案为：.
四、解答题
17．已知，．
(1)求；
(2)当时，求实数的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据数量积得运算律结合数量积的坐标公式计算即可；
（2）由，得，再根据数量积得运算律结合数量积的坐标公式计算即可.
【详解】（1）已知，，
则，，，
所以；
（2）因为，
所以，
解得或．
18．在平行四边形中，，点E是线段的中点．
(1)求直线的方程；
(2)求过点A且与直线垂直的直线．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根据中点坐标公式求出E的坐标，根据直线方程的两点式或点斜式即可求AE的方程；
（2）设，根据平行四边形对角线互相平分列方程组求出D的坐标，根据两直线垂直，斜率之积为-1求出直线斜率，再根据直线方程的点斜式即可得到答案．
【详解】（1）由中点坐标公式得，
∴，
∴直线的方程为，即．
（2）设点，∵平行四边形的对角线互相平分，
即BD中点和AC中点重合，
∴，解得，即D(1，－2)，
∴，
则过点A且与直线垂直的直线斜率为：，
方程为：，即．
19．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且与、的夹角都等于，在棱上，，设，，．
(1)试用，，表示出向量；
(2)求与所成的角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量线性运算，化简即得用，，表示向量的式子；
（2）利用空间的数量积和向量夹角公式进行求解即可．
【详解】（1）因为，则，
因为ABCD是边长为1的正方形，则，
且，可得，
又因为，，，所以.
（2）由题意可知：，，与、的夹角均为60°，与的夹角为90°，
则
，
可得，
又因为
，
设与所成的角为，所以．
五、证明题
20．如图，在三棱柱中，，点D为棱AC的中点，平面平面，，且．
(1)求证：平面ABC；
(2)若，求二面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据面面垂直的性质定理证明；
（2）利用空间向量的坐标运算求二面角.
【详解】（1）如图，连接．因为侧面为菱形，且，
所以为等边三角形，所以．
又因为平面平面，
平面，
平面平面，
所以平面ABC．
（2）
由（1）的过程可知，可以点D为坐标原点，
分别以DB，DC，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系D-xyz．
不妨设，由题可知，，，，．
由，可得．
设平面的法向量为，
而，，则有,
取，得．
设平面的法向量为，
而，，
则有，
取，得．
设平面与平面夹角为，
则，
所以，
即平面与平面夹角的正弦值为．
六、解答题
21．第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，而亚运会志愿者的服务工作是举办一届成功的亚运会的重要保障.为配合亚运会志愿者选拔，某高校举行了志愿者选拔面试，面试成绩满分100分，现随机抽取了80名候选者的面试成绩，绘制成如下频率分布直方图.
(1)求的值，并估计这80名候选者面试成绩平均值，众数，中位数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，中位数精确到0.1）
(2)乒乓球项目场地志愿服务需要3名志愿者，有3名男生和2名女生通过该项志愿服务选拔，需要通过抽签的方式决定最终的人选，现将3张写有“中签”和2张写有“未中签”字样的字条随机分配给每一位候选人，求中签者中男生比女生多的概率.
【答案】(1)，，众数为70，中位数为.
(2)
【分析】（1）由频率和为1列方程可求出的值，根据平均数的定义可求出，由众数的定义可求得众数，先判断中位数的位置，再列方程求解即可；
（2）利用列举法结合古典概型的概率计算公式求解即可.
【详解】（1）由频率分布直方图可知，解得，
，
众数为70，
因为前2组的频率和为，前3组的频率和为，
所以中位数在第3组，设中位数为，则
，解得，
所以中位数为.
（2）记3名男生分别为，记2名女生分别为，则所有抽签的情况有：
未中签，中签；未中签，中签；未中签，中签；
未中签，中签；未中签，中签；未中签，中签；
未中签，中签；未中签，中签；未中签，中签；
未中签，中签，共有10种情况，
其中中签者中男生比女生多的有：未中签，中签；未中签，中签；
未中签，中签；未中签，中签；未中签，中签；
未中签，中签；未中签，中签，共7种，
所以中签者中男生比女生多的概率为.
七、证明题
22．图①是直角梯形，，，四边形是边长为的菱形，并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且.
(1)求证：平面平面；
(2)在棱上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出直线与平面所成角的正弦值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，直线与平面所成角的正弦值为
【分析】（1）由二面角平面角定义可知是二面角的平面角，利用勾股定理可说明，由此可证得结论；
（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，由点到平面距离的向量求法可构造方程求得，利用线面角的向量求法可求得结果.
【详解】（1）在图①中，连接，交于，
四边形是边长为的菱形，，，；
在图②中，相交直线均与垂直，是二面角的平面角，
，，，，平面平面.
（2）以为坐标原点，正方向为轴可建立如图②所示空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，，，
设，，
则，
设平面的一个法向量，
则，令，解得：，，；
点到平面的距离，解得：或（舍），
，，
，
直线与平面所成角的正弦值为.
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