第二十一讲空间向量在立体几何中的应用原卷版

这是一份第二十一讲空间向量在立体几何中的应用原卷版，共18页。

1.法向量的求解
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①法向量一定是非零向量； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②一个平面的所有法向量都互相平行； = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有．
第一步：写出平面内两个不平行的向；
第二步：那么平面法向量，满足．
第三步：化解方程组令其中一个为1，求其它两个值.
2.判定直线、平面间的位置关系
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线，的方向向量分别为，．
若∥，即，则；若，即，则．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②直线与平面的位置关系：直线的方向向量为，平面的法向量为，且．
若∥，即，则；若，即，则．

3.平面与平面的位置关系
平面的法向量为，平面的法向量为．
若∥，即，则；若⊥，即，则⊥．

4.空间角公式．
（1）异面直线所成角公式：设，分别为异面直线，上的方向向量，为异面直线所成角的大小，则．
（2）线面角公式：设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为
与所成角的大小，则．
（3）二面角公式：
设，分别为平面，的法向量，二面角的大小为，则或（需要根据具体情况判断相等或互补），其中．
5.点到平面的距离
为平面外一点（如图），为平面的法向量，过作平面的斜线及垂线．
【典型题型讲解】
考点一：直线与平面所成的角
【典例例题】
例1．（2022·广东茂名·一模）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，E为CD的中点，.
(1)证明： ；
(2)若三角形AED为等边三角形，PA=AD=6，F为PB上一点，且，求直线EF与平面PAE所成角的正弦值.
【方法技巧与总结】
设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为与所成角的大小，则．
【变式训练】
1．（2022·广东惠州·一模）如图1所示，梯形ABCD中，AB=BC=CD=2，AD=4，E为AD的中点，连结BE，AC交于F，将△ABE沿BE折叠，使得平面ABE⊥平面BCDE（如图2）.
(1)求证：AF⊥CD；
(2)求平面AFC与平面ADE的夹角的余弦值.
2．（2022·广东广州·一模）如图，在五面体ABCDE中，平面ABC，，，.
(1)求证：平面平面ACD；
(2)若，，五面体ABCDE的体积为，求直线CE与平面ABED所成角的正弦值.
3．（2022·广东汕头·一模）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，为底面直径，，是底面的内接正三角形，且，P是线段上一点.
(1)是否存在点P，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(2)当为何值时，直线与面所成的角的正弦值最大.
考点二：二面角
【典例例题】
例1．（2021·广东佛山·一模）某商品的包装纸如图1，其中菱形的边长为3，且，，，将包装纸各三角形沿菱形的边进行翻折后，点E，F，M，N汇聚为一点P，恰好形成如图2的四棱锥形的包裹．
(1)证明底面；
(2)设点T为BC上的点，且二面角的正弦值为，试求PC与平面PAT所成角的正弦值．
【方法技巧与总结】
设是二面角的两个半平面的法向量，其方向一个指向二面角内侧，另一个指向二面角的外侧，则二面角的余弦值为．
【变式训练】
1．（2022·广东·一模）如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于，的母线.
(1)证明：平面DEF；
(2)若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值.
2．（2022·广东湛江·一模）如图，在三棱柱中，平面平面，，，四边形是菱形，，是的中点.
(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值.
3．（2022·广东深圳·一模）如图，在四棱锥E-ABCD中，，，E在以AB为直径的半圆上（不包括端点），平面平面ABCD，M，N分别为DE，BC的中点．
(1)求证：平面ABE；
(2)当四棱锥E-ABCD体积最大时，求二面角N-AE-B的余弦值．
4．（2022·广东广东·一模）如图，在四棱锥中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是等腰梯形，，，，M，N分别是AB，AD的中点．
(1)证明：平面PMN⊥平面PAD；
(2)若二面角的大小为60°，求四棱锥的体积．
5．（2022·广东韶关·一模）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，是以为斜边的等腰直角三角形，为中点，.
(1)求证：；
(2)点为棱上一点，若，求二面角的余弦值.
6.如图，四棱锥的底面ABCD是平行四边形，且底面ABCD，，点E是线段BC（包括端点）上的动点．
（1）探究点E位于何处时，平面平面PED；
（2）设二面角的平面角的大小为，直线AD与平面PED所成角为，求证：
考点三：点到平面距离
【典例例题】
例1．（2022·广东中山·高三期末）已知圆锥的底面半径为2，母线长为，点C为圆锥底面圆周上的一点，O为圆心，D是的中点，且．
（1）求三棱锥的表面积；
（2）求A到平面的距离．
例2.在正方体中，E为的中点，过的平面截此正方体，得如图所示的多面体，F为棱上的动点．
（1）点H在棱BC上，当时，平面，试确定动点F在棱上的位置，并说明理由；
（2）若，求点D到平面AEF的最大距离．
【方法技巧与总结】
如图所示，平面的法向量为，点是平面内一点，点是平面外的任意一点，则点到平面的距离，就等于向量在法向量方向上的投影的绝对值，即或
【变式训练】
1．（2022·广东梅州·二模）如图①，在直角梯形中，，，，，､分别是，的中点，将四边形沿折起，如图②，连结，，.
(1)求证：；
(2)当翻折至时，设是的中点，是线段上的动点，求线段长的最小值.
2.如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且．
（1）求证：平面；
（2）若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离．
3.如图，矩形和梯形，，平面平面，且，过的平面交平面于．
（1）求证：与相交；
（2）当为中点时，求点到平面的距离：
4.某市在滨海文化中心有滨海科技馆，其建筑有鲜明的后工业风格，如图所示，截取其中一部分抽象出长方体和圆台组合，如图所示，长方体中，，圆台下底圆心为的中点，直径为2，圆与直线交于，圆台上底的圆心在上，直径为1．
（1）求与平面所成角的正弦值；
（2）圆台上底圆周上是否存在一点使得，若存在，求点到直线的距离，若不存在则说明理由．
【巩固练习】
一、单选题
1．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面BCD，，且，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，正方体的棱长为a，E是棱的动点，则下列说法正确的（ ）个．
①若E为的中点，则直线平面
②三棱锥的体积为定值
③E为的中点时，直线与平面所成的角正切值为
④过点，C，E的截面的面积的范围是
A．1B．2C．3D．4
二、多选题
2．在空间直角坐标系中，已知点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．点关于平面对称的点的坐标为
B．若平面的法向量，则直线平面
C．若，分别为平面，的法向量，则平面平面
D．点到直线的距离为
3．直三棱柱，中，，，点D是线段上的动点（不含端点），则（ ）
A．平面 B．与不垂直
C．的取值范围为 D．的最小值为
三、填空题
4．如图，在棱长为的正方体中，点为棱的中点，点为底面内一点，给出下列三个论断：
①；②；③．
以其中的一个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个正确的命题：___________．
5．如图，在正方体中，分别为棱，的中点，则与平面所成角的正弦值为___________．
四、解答题
6．如图，在三棱柱中，，．
（1）证明：平面平面．
（2）设P是棱的中点，求AC与平面所成角的正弦值．
7．如图，ABCD是边长为6的正方形，已知，且并与对角线DB交于G，H，现以ME，NF为折痕将正方形折起，且BC，AD重合，记D，C重合后为P，记A，B重合后为Q．
（1）求证：平面平面HGQ；
（2）求平面GPN与平面GQH所成二面角的正弦值．
8.如图所示，在直四棱柱中，底面ABCD是等腰梯形，，，，四边形是正方形．
（1）指出棱与平面的交点E的位置（无需证明），并在图中将平面截该四棱柱所得的截面补充完整；
（2）求二面角的余弦值．
9.如图，圆锥PO的母线长为，是⊙的内接三角形，平面PAC⊥平面PBC．，．
（1）证明：；
（2）设点Q满足，其中，且二面角的大小为，求的值．
10.如图，在三棱柱中，底面，的中点为，四面体的体积为，四边形的面积为．
（1）求到平面的距离；
（2）设与交于点O，是以为直角的等腰直角三角形且．求直线与平面所成角的正弦值．