第二十四讲随机变量分布列解析版

这是一份第二十四讲随机变量分布列解析版，共32页。
古典概率
列举法 列表法 画树状图法
条件概率
已知发生，在此条件下发生，相当于发生，要求，相当于把看作新的基本事件空间计算发生的概率，即．
相互独立事件
设，为两个事件，若，则称事件与事件相互独立．
随机变量分布列
（1）分布列：若离散型随机变量可能取的不同值为，取每一个值的概率，以表格的形式表示如下：
我们将上表称为离散型随机变量的概率分布列，简称为的分布列．有时为了简单起见，也用等式，表示的分布列．
期望或者均值
若离散型随机变量的分布列为
称为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
方差
为随机变量的方差，并称其算术平方根为随机变量的标准差．
两点分布、二项分布、超几何分布及正态分布
两点分布的均值与方差：若随机变量服从参数为的两点分布，则，．
（2）二项分布的期望、方差
若，则，．
（3）超几何分布
（4）正态分布
正态分布完全由参数，确定，因此正态分布常记作．如果随机变量服从正态分布，则记为．
【典型题型讲解】
考点一：古典概率
【典例例题】
例1．（2021·广东汕头·高三期末）某市场一摊位的卖菜员发现顾客来此摊位买菜后选择只用现金支付的概率为0.2，选择既用现金支付又用非现金支付的概率为0.1，且买菜后无赊账行为，则选择只用非现金支付的概率为（ ）
A．0.5B．0.6C．0.7D．0.8
【答案】C
【详解】设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付，事件C为既用现金支付又用非现金支付，事件D为买菜后支付，则，
因为，所以．
故选：C
例2．（2022·广东揭阳·高三期末）袋中有大小和形状都相同的3个白球和2个黑球，现从袋中不放回地依次抽取两个球，则在第一次取到白球的条件下，第二次也取到白球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】记第次取得白球为事件，
故选：C.
【方法技巧与总结】
(1)分别求出基本事件的个数与所求事件中所包含的基本事件个数；
(2)利用公式求出事件的概率．
【变式训练】
1．（2022·广东·一模）从集合的非空子集中随机选择两个不同的集合A，B，则的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：集合的非空子集有共7个，
从7个中选两个不同的集合A，B，共有种选法，
因为，
当时，则可为共3种，
当时，共1种，
同理当时，则可为共3种，
当时，共1种，
则符合的共有种，
所以的概率为.
故选：A.
2．（2022·广东汕头·一模）有4名大学生志愿者参加2022年北京冬奥会志愿服务.冬奥会志愿者指挥部随机派这4名志愿者参加冰壶、短道速滑、花样滑冰3个项目比赛的志愿服务，则每个项目至少安排一名志愿者进行志愿服务的概率（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】先将4人分成3组，其一组有2人，另外两组各1人，共有种分法，
然后将3个项目全排列，共有种排法，
所以每个项目至少安排一名志愿者进行志愿服务的方法数为种，
因为4名志愿者参加3个项目比赛的志愿服务的总方法数种，
所以每个项目至少安排一名志愿者进行志愿服务的概率为，
故选：D
3．（2022·广东广州·一模）如图，在数轴上，一个质点在外力的作用下，从原点O出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，则事件“质点位于的位置”的概率为___________.
【答案】
【详解】由图可知，若想通过6次移动最终停在-2的位置上，则必然需要向右移动2次且向左移动4次，记向右移动一次为R，向左移动一次为L，
则该题可转化为RRLLLL六个字母排序的问题，故落在-2上的排法为
所有移动结果的总数为，所有落在-2上的概率为
故答案为：
4．（2022·广东·铁一中学高三期末）马林·梅森(MarinMersenne，1588-1648)是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物.梅森在欧几里得､费马等人研究的基础上对作了大量的计算､验证工作，人们为纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如(其中是素数)的素数，称为梅森素数.在不超过40的素数中，随机选取两个不同的数，至少有一个为梅森素数的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】可知不超过40的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37共12个，
其中梅森素数有3，7，37共3个，
则在不超过40的素数中，随机选取两个不同的数共有种，
其中至少有一个为梅森素数有种，
所以至少有一个为梅森素数的概率是.
故选：A.
5．（2022·广东东莞·高三期末）甲乙两人在数独APP上进行“对战赛”，每局两人同时解一道题，先解出题的人赢得一局，假设无平局，且每局甲乙两人赢的概率相同，先赢3局者获胜，则甲获胜且比赛恰进行了4局的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】甲乙两人各自解题是相互独立事件，又知每局中甲乙两人赢的概率相同，
即甲赢的概率为，甲输的概率为.
则甲获胜且比赛恰进行了4局的比赛情况是：甲在前三局中赢了两局，第四局赢了.
其概率是
故选：D
6（2022·广东汕头·高三期末）“四书”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》的合称，又称“四子书”，在世界文化史、思想史上地位极高，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义和参考价值．某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动，某班有A、B两位同学参赛，比赛时每位同学从这4本书中随机抽取1本选择其中的内容诵读，则A、B两位同学抽到同一本书的概率为______．
【答案】
【详解】每位同学从这4本书中随机抽取1本，基本事件总数为个，
其中A、B两位同学抽到同一本书，基本事件有个，
所以A、B两位同学抽到同一本书的概率为．
故答案为：
7.（2022·广东珠海·高三期末）接种疫苗是预防控制新冠疫情最有效的方法．我国自年月日起实施全民免费接种新冠疫苗．截止到年月底，国家已推出了三种新冠疫苗（腺病毒载体疫苗、新冠病毒灭活疫苗、重组新冠病毒疫苗）供接种者选择，每位接种者任选其中一种．若人去接种新冠疫苗，恰有人接种同一种疫苗的概率为______．
【答案】
【详解】由题意，每位接种者等可能地从种任选一种接种，
由分步乘法计算原理知，共有不同的结果，
恰有人接种同一种疫苗，可先从5人中任选3人并成一组，有种结果，
这个小团体有种疫苗可选，另外两人各有种疫苗可选，故共有种，
故恰有三人接种同一种疫苗共有种不同结果，
由古典概型概率计算公式得：．
故答案为：.
8．（2022·广东韶关·一模）在某校开展的知识竞赛活动中，共有三道题，答对分别得2分､2分､4分，答错不得分.已知甲同学答对问题的概率分别为，乙同学答对问题的概率均为，甲､乙两位同学都需回答这三道题，且各题回答正确与否相互独立.
(1)求甲同学至少有一道题不能答对的概率；
(2)运用你学过的统计学知识判断，谁的得分能力更强
【答案】(1) (2)乙
（1）
设甲同学三道题都答对的事件为,则，
所以甲同学至少有一道题不能答对的概率为.
（2）
设甲同学本次竞赛中得分为，则的可能取值为分，
则,
,
,
,
,
所以的概率分布列为：
所以
设乙同学本次竞赛中得分为，由的可能取值为分
,
,
,
,
,
所以的概率分布列为：
所以,
所以，所以乙的得分能力更强
考点二：条件概率
【典例例题】
例1.甲､乙两人到一商店购买饮料，他们准备分别从加多宝､农夫山泉､雪碧这3种饮品中随机选择一种，且两人的选择结果互不影响.记事件“甲选择农夫山泉”，事件“甲和乙选择的饮品不同”，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】事件“甲选择农夫山泉”，则
事件“甲和乙选择的饮品不同”，
则事件=“甲选择农夫山泉，乙选择的是加多宝或者雪碧”
所以
所以，
故选：D
【方法技巧与总结】
用定义法求条件概率的步骤
（1）分析题意，弄清概率模型；
（2）计算，；
（3）代入公式求．
【变式训练】
1.现有甲、乙、丙、丁四位同学到夫子庙、总统府、中山陵、南京博物馆4处景点旅游，每人只去一处景点，设事件为“4个人去的景点各不相同”，事件为“只有甲去了中山陵”，则____________.
【答案】
【解析】甲、乙、丙、丁四位同学到夫子庙、总统府、中山陵、南京博物馆4处景点旅游，共有种不同的方案，
事件，“4个人去的景点各不相同”的方案有：种，
事件，“只有甲去了中山陵”的方案有种，
事件同时发生的方案有：种，
，
所以
故答案为：
2．（2022·广东深圳·一模）假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有3个小孩的家庭，随机选择一个家庭，则下列说法正确的是（ ）
A．事件“该家庭3个小孩中至少有1个女孩”和事件“该家庭3个小孩中至少有1个男孩”是互斥事件
B．事件“该家庭3个孩子都是男孩”和事件“该家庭3个孩子都是女孩”是对立事件
C．该家庭3个小孩中只有1个男孩的概率为
D．当已知该家庭3个小孩中有男孩的条件下，3个小孩中至少有2个男孩的概率为
【答案】．D
【详解】A：假设事件A：该家庭3个小孩至少有1个女孩，则包含(女，男，男)的可能，
事件B：该家庭3个小孩至少有一个男孩，则包含(女，女，男)的可能，
所以，故A错误；
B：事件“3个孩子都是男孩”与事件“3个孩子都是女孩”不可能同时发生，
是互斥但不对立事件，故B错误；
C：3个小孩可能发生的事件如下：
男男男、男男女、男女女、男女男、女女女、女女男、女男女、女男男共8种，
其中只有一个男孩的概率为：，故C错误；
D：设M={至少一个有男孩}，N={至少有2个男孩}，由选项C可知，
，所以，故D正确.
故选：D
3.端午节这天人们会悬菖蒲、吃粽子、赛龙舟、喝雄黄酒．现有9个粽子，其中2个为蜜枣馅，3个为腊肉馅，4个为豆沙馅，小明随机取两个，设事件A为“取到的两个为同一种馅”，事件B为“取到的两个均为豆沙馅”，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意不妨设2个蜜枣馅为：A，B，3个为腊肉馅为：a,b,c，4个为豆沙馅：1，2，3，4，则事件A为“取到的两个为同一种馅”，对应的事件为:AB,ab,ac,bc,12,13,14,23,24,34,所以，
事件AB为“取到的两个为同一种馅，均为豆沙馅”，对应的事件为：12,13,14,23,24,34,所以，
所以，
故选：C
4.2022年3月，全国大部分省份出现了新冠疫情，对于出现确诊病例的社区，受到了全社会的关注．为了把被感染的人筛查出来，防疫部门决定对全体社区人员筛查核酸检测，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有k个人，把这k个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k个人的血液全为阴性，因而这k个人只要检验一次就够了；如果为阳性，为了明确这k个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这k个人再逐个进行检验．假设在接受检验的人群中，随机抽一人核酸检测呈阳性概率为，每个人的检验结果是阳性还是阴性是相互独立的．
(1)若该社区约有2000人，有两种分组方式可以选择：方案一是：10人一组；方案二：8人一组．请你为防疫部门选择一种方案，并说明理由；
(2)我们知道核酸检测呈阳性，必须由专家二次确认，因为有假阳性的可能；已知该社区人员中被感染的概率为0.29%，且已知被感染的人员核酸检测呈阳性的概率为99.9%，若检测中有一人核酸检测呈阳性，求其被感染的概率．（参考数据：（，）
【解析】(1)设方案一中每组的化验次数为，则的取值为1，11，
∴，
，
∴的分布列为：
．
故方案一的化验总次数的期望值为：次．
设方案二中每组的化验次数为，则的取值为1，9
，，
∴的分布列为：
∴．
∴方案二的化验总次数的期望为次．∵260